第16章 二次根式 章节汇总练习 （11个知识点+33题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第16章 二次根式 章节练习 （11个知识点+33题练习） 知识点合集 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 试题练习 一．二次根式的定义（共3小题） 1．（2022秋•长宁区校级期中）下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　　． 3．（2021秋•宝山区校级月考）当　　时，二次根式有最小值，最小值为 　　． 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 4．（2022秋•宝山区期末）如果，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 5．（2023秋•杨浦区校级期中）若代数式有意义，则的取值范围是 　　． 6．（2022秋•奉贤区期中）已知，为实数，且，求的平方根． 三．二次根式的性质与化简（共3小题） 7．（2022秋•宝山区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•闵行区期末）化简：　 　． 9．（2022秋•普陀区校级期中）化简二次根式：． 四．最简二次根式（共3小题） 10．（2023秋•宝山区期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 11．（2021秋•宝山区校级月考）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 　　． 12．（2021秋•浦东新区校级月考）在、、、、中，最简二次根式是　 　． 五．二次根式的乘除法（共3小题） 13．（2022春•同安区期末）计算：　 　． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）式子成立的条件是　　 A． B． C． D．且 15．（2023秋•闵行区期中）计算：． 六．分母有理化（共3小题） 16．（2023秋•闵行区期末）下列代数式中，的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 17．（2020秋•浦东新区校级期末）的有理化因式是 　　． 18．（2022秋•宝山区校级期中）已知：，，求的平方根． 七．同类二次根式（共3小题） 19．（2023秋•静安区校级期末）下列根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•杨浦区校级期中）若最简二次根式是同类二次根式，则的值为　　 A． B．1 C．1或 D．都不是 21．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 八．二次根式的加减法（共3小题） 22．（2020秋•宝山区校级月考）下列等式成立的是　　 ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．（2023秋•静安区校级期末）计算：　　． 24．（2023秋•杨浦区校级期中）已知：，．求：的值， 九．二次根式的混合运算（共3小题） 25．（2022秋•闵行区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　　． 27．（2023秋•长宁区校级期末）（1）计算：； （2）计算：． 一十．二次根式的化简求值（共3小题） 28．（2023春•虹口区期末）若实数，则代数式的值为　　． 29．（2022秋•松江区校级期中）已知，则的值为 　　． 30．（2022秋•思明区校级期末）先化简，再求值：已知，求的值． 一十一．二次根式的应用（共3小题） 31．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于的不等式：． 32．（2020秋•浦东新区校级月考）不等式的解集是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•普陀区期中）不等式的解集为 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 章节练习 （11个知识点+33题练习） 知识点合集 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 试题练习 一．二次根式的定义（共3小题） 1．（2022秋•长宁区校级期中）下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可判断． 【解答】解：、，故无意义，故选项不符合题意； 、符合二次根式，符合题意； 、是三次根式，故选项不符合题意； 、，故无意义，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义：是二次根式，必须有． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　4　． 【分析】根据二次根式的定义得到且，然后解方程和不等式得到满足条件的的值． 【解答】解：是二次根式， ， 解得，， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 3．（2021秋•宝山区校级月考）当　　时，二次根式有最小值，最小值为 　　． 【分析】根据算术平方根具有非负性解答即可． 【解答】解：， 当时，的最小值为， 故答案为：；． 【点评】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根具有非负性是解题的关键． 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 4．（2022秋•宝山区期末）如果，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：，， 则，， 解得：， 故， 则． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出，的值是解题关键． 5．（2023秋•杨浦区校级期中）若代数式有意义，则的取值范围是 　且　． 【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 6．（2022秋•奉贤区期中）已知，为实数，且，求的平方根． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出，进而求出，根据平方根的概念计算即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， 则， ， 的平方根是． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 三．二次根式的性质与化简（共3小题） 7．（2022秋•宝山区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断． 【解答】解：、原式，故此选项不符合题意； 、原式，故此选项符合题意； 、原式，故此选项不符合题意； 、原式，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 8．（2023秋•闵行区期末）化简：　　． 【分析】把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 9．（2022秋•普陀区校级期中）化简二次根式：． 【分析】先将括号内各式化为最简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 所以原式或． 【点评】本题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简法则以及二次根式的混合运算法则． 四．最简二次根式（共3小题） 10．（2023秋•宝山区期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可 【解答】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式，掌握化成最简二次根式的方法是解题的关键． 11．（2021秋•宝山区校级月考）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 　，，　． 【分析】根据“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”进行判断即可． 【解答】解：由最简二次根式的定义可知， ，，是最简二次根式， 而，，，， 故答案为：，，． 【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的前提． 12．（2021秋•浦东新区校级月考）在、、、、中，最简二次根式是　、　． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：、是最简二次根式， 故答案为：、． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 五．二次根式的乘除法（共3小题） 13．（2022春•同安区期末）计算：　　． 【分析】根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再进行二次根式的化简． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）式子成立的条件是　　 A． B． C． D．且 【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及不等式组的解法分析得出答案． 【解答】解：式子成立， 则， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键． 15．（2023秋•闵行区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练运算法则是解题的关键． 六．分母有理化（共3小题） 16．（2023秋•闵行区期末）下列代数式中，的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式．据此进行解题即可． 【解答】解：要使有理化， 则可知，， 故选：． 【点评】本题考查分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 17．（2020秋•浦东新区校级期末）的有理化因式是 　（答案不唯一）　． 【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可． 【解答】解：的有理化因式是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了分母有理化，弄清有理化因式的找法是解本题的关键． 18．（2022秋•宝山区校级期中）已知：，，求的平方根． 【分析】先将、化简，然后即可得到、的值，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：，， ，， ． 的平方根为． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 七．同类二次根式（共3小题） 19．（2023秋•静安区校级期末）下列根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行判断． 【解答】解：．，则与不是同类二次根式，所以选项不符合题意； ．，则与不是同类二次根式，所以选项不符合题意； ．，则与是同类二次根式，所以选项符合题意； ．，则与不是同类二次根式，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 20．（2023秋•杨浦区校级期中）若最简二次根式是同类二次根式，则的值为　　 A． B．1 C．1或 D．都不是 【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：，， 当时，二次根式不是最简二次根式， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义等知识点，能得出关于的一元二次方程是解此题的关键． 21．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则　2　． 【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出和的值，代入可得出答案． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 则． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同． 八．二次根式的加减法（共3小题） 22．（2020秋•宝山区校级月考）下列等式成立的是　　 ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：①，故①不成立； ②，故②不成立； ③，故③不成立； ④，故④成立． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 23．（2023秋•静安区校级期末）计算：　　． 【分析】先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 24．（2023秋•杨浦区校级期中）已知：，．求：的值， 【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案． 【解答】解：，， ①， ②， ①②得， ， ． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确将原式变形是解题关键． 九．二次根式的混合运算（共3小题） 25．（2022秋•闵行区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可． 【解答】解：．与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意； ．，故本选项不合题意； ．，故本选项符合题意； ．，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 26．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　2　． 【分析】根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ※※ ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键． 27．（2023秋•长宁区校级期末）（1）计算：； （2）计算：． 【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先用乘法分配律，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握化为最简二次根式的方法和合并同类二次根式的法则． 一十．二次根式的化简求值（共3小题） 28．（2023春•虹口区期末）若实数，则代数式的值为　3　． 【分析】先把分母有理化，再代值计算即可解答本题． 【解答】解：， 原式， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对进行分母有理化，明确二次根式化简求值的方法． 29．（2022秋•松江区校级期中）已知，则的值为 　　． 【分析】根据题意可得，，再把原式变形为，再代入，即可求解． 【解答】解：， ，， ． 故答案为： 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 30．（2022秋•思明区校级期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【分析】先将的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【解答】解：， ， 则原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 一十一．二次根式的应用（共3小题） 31．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于的不等式：． 【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1，分母有理化可解答． 【解答】解：， 移项得：， 整理得：， ， 解得：， 分母有理化得：， 化简得：． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式解的求法和二次根式的分母有理化，解不等式时要注意系数化为1时，利用不等式性质3时，两边同时除以负数不等号方向改变． 32．（2020秋•浦东新区校级月考）不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质3，不等式的两边同除以，改变不等号的方向后 再进行二次根式的化简即可得出结论． 【解答】解：， 不等式的两边同除以， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的应用．利用不等式的性质3，不等式的两边同除以，改变不等号的方向是解题的关键． 33．（2023秋•普陀区期中）不等式的解集为 　　． 【分析】不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式的应用，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 1 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