专题04 幂函数、指数函数和对数函数(讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题04 幂函数、指数函数和对数函数(练习) 一、填空、单选、解答题 1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．结合图中的五个函数图象回答问题： (1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？ (2)写出每个函数的定义域、值域； (3)写出每个函数的单调区间； (4)从图中你发现了什么？ 3．如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 5．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 8．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 9．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 10．计算下列各式的值： (1)； (2) 11．（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 12．已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） A．  B．  C．  D．   14．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 15．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 16．.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 17．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．若，则（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 20．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（     ） A． B． C． D． 21．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 22．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时） 参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155 23．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 24．设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 28．已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 29．已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 30．已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 31．已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 32．已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 33．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 34．已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 35．已知，． (1)在定义域上是严格增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，求函数的值域； (3)已知常数，不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 36．给出函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求的取值范围； (3)若，非零实数，满足，求证：. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 幂函数、指数函数和对数函数(练习) 一、填空、单选、解答题 1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助幂函数定义可设，代入点可得，即可计算. 【解析】设，则有，即， 故. 故选：C. 2．结合图中的五个函数图象回答问题： (1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？ (2)写出每个函数的定义域、值域； (3)写出每个函数的单调区间； (4)从图中你发现了什么？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果. 【解析】（1）数形结合可知，的图象关于轴对称，故其为偶函数； 的图象关于原点对称，故都为奇函数. （2）数形结合可知：的定义域是，值域为； 的定义域都是，值域也是； 的定义域为，值域也为； 的定义域为，值域为. （3）数形结合可知：的单调增区间是：，无单调减区间； 的单调增区间是：，无单调减区间； 的单调减区间是：和，无单调增区间； 的单调减区间是，单调增区间是. （4）数形结合可知： 幂函数均恒过点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象. 对幂函数，当，其一定在是单调增函数；当，在是单调减函数. 3．如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】 根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【解析】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【解析】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 5．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递增，则，解得. 故选：B． 6．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】时，不满足单调性，或时，不满足奇偶性，当或时，满足要求，得到答案. 【解析】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求. 故选：B 7．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解析】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 8．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【解析】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即， 故选：B. 9．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 取，再验证奇偶性和函数值即可. 【解析】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 10．计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)0. 【分析】结合指数的运算性质即可求解； 结合对数的运算性质即可求解． 【解析】（1） ； （2） 11．（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【解析】（1） . （2）依题意，， 所以. 12．已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可. 【解析】因为图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得. 故，，，故. 故选：B 13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】略 14．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【解析】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 15．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【解析】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 16．.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性定义、的符号及的区间单调性，结合排除法确定正确选项. 【解析】由，则，，即为奇函数， ∴图象关于坐标原点对称，排除A； 又，排除B； ，当时，， ∴在上单调递减，排除D. 故选：C. 17．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【解析】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系； （2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 18．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，画出图象，数形结合得到答案. 【解析】令，则， ，其中， 在同一坐标系内画出， 故 故选：D 19．已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，结合可判断b的范围，再由可得，结合可判断a，c大小关系，进而可得答案. 【解析】由题得，， 由，得，即，所以． 由，得， 因为，，所以， 又，所以，所以． 由，得，即． 易知，所以，所以，故． 又，所以，所以， 所以，所以，所以． 故选：B． 【点睛】思路点睛：比较大小常用方法： （1）同构函数，利用单调性比较； （2）取中间值进行比较； （3）利用基本不等式比较大小； （4）利用作差法比较大小. 20．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数求得在单调递增，得到，得到，再由对数函数的性质，得到，再由函数的单调性与奇偶性，即可求解. 【解析】令，可得，所以在单调递增， 又由，所以，即，可得， 又由，所以， 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则在上单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 21．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 22．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时） 参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155 【答案】5 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解. 【解析】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL, x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的， 由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车， 所以，两边取对数得， ， ， 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故答案为：5 23．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【解析】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 24．设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由①，②解出，，解出；结合③转化为线性规划问题解出. 【解析】函数，， 若存在实数满足：①；②， 即，且，则， 则，且，，所以， 又因为③， 则，令， 不防设，，则转化为线性规划问题， 在点处取最小值. 由解得， 代入解得. 故选：. 25．已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果. 【解析】当时，， 因为的值域是，又在上单调递减， 所以. 故选：C. 26．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【解析】若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 27．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【解析】， ， 由题意得 故答案为： 二、解答题 28．已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由的解析式可求出其定义域，由可知，由此列出相应不等式，即可求得答案； （2）由题意确定的表达式，根据函数单调性的定义，即可证明结论. 【解析】（1）由题意知函数，令， 即的定义域为， 又非空集合满足，则, 故，解得， 即实数a的取值范围为； （2），定义域为， 任取，且设， 则， 由于，且，则，， 故，即， 故是定义域上的严格增函数. 29．已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【解析】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 30．已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到在上是增函数，且，即可求解； （2）由，的得到，把不等式，转化为，结合题意，即可求解. 【解析】（1）解：由函数，设， 由且，可得函数在上是增函数，所以， 又由函数定义域可得，解得， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，可得， 又由，可得， 所以，即， 因为存在，使得成立，可得， 所以实数的最小整数值是． 31．已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 (2) 【分析】（1）按单调性的定义即可证明. （2）按题意列方程即可求解. 【解析】（1）时，记，任取 ， 故，在上单调递减 当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 （2）由恒成立可得 化简得，解得 时，，而，无意义 符合题意 故. 32．已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分有两个实根和有两个共轭虚根两种情况讨论，根据题意结合韦达定理分析运算； （2）根据题意分析可得，先根据对数函数单调性分析可得对任意恒成立，再根据恒成立问题分析运算. 【解析】（1）①当方程有两个实根时，则，即，可得，， ∵，解得； ②当方程有两个共轭虚根时，则，即， 设，则，可得，， 所以，，解得或， 即方程两根分别为，，则； 综上所述：或. （2）若，由（1）得， 由存在实数，使得不等式， 则， ∵，且在定义域内为增函数，则 ∴，则对任意恒成立， 设，则，解得， 故实数的取值范围为. 33．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】(1) (2)， (3)55 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型， （2）将，代入求解系数即可. （3）将代入解析式即可. 【解析】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选； （2）将，代入解析式得到，即， 解得，，即. 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为； （3）由，， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 34．已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【答案】(1)函数在区间上的单调递减，证明见解析； (2)当时，，当且时，. 【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性； （2）利用（1）中的结论即可得到大小关系. 【解析】（1）在区间上单调递减， 证明：当时，任取， 则， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 当时，任取， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 综上所述，在区间上单调递减， （2）当时，时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 由（1）在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 当时，，， ， ，即， ， 当时，，，，且， 所以， 综上，当时，， 当且时，. 35．已知，． (1)在定义域上是严格增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，求函数的值域； (3)已知常数，不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解之即可得解； （2），再根据二次函数的性质即可得解； （3）令，则即为关于不等式对任意恒成立，分离参数，从而可得出答案. 【解析】（1）， 因为函数在定义域上是严格增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）， 令， 则， 所以函数的值域为； （3）不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 令， 则关于不等式对任意恒成立， 即， 因为，当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以，所以. 36．给出函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求的取值范围； (3)若，非零实数，满足，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，把不等式化简为，结合对数的运算性质，即可求解； （2）根据函数奇偶性的定义，得到是偶函数，再结合函数的单调性，结合指数函数的性质，把不等式转化为，即可求解； （3）根据题意，得到，设，得到，转化为证明，设，求得，得出函数的单调性，结合，即可求解. 【解析】（1）解：若，则不等式为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为. （2）解：设，可得其定义域是， 则，所以是偶函数， 设，则，， 故，所以， 因为，所以，即， 故在上是严格减函数， 又因为，所以是偶函数，且在上是严格减函数， 所以，不等式等价于， 由单调性可得，解得的取值范围是. （3）解：若，则， 由得， 所以，所以. 设，则，，解得，，则. 要证，即证.因为，所以只需证， 即证：. 设，则， 所以在上是严格增函数，故，于是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 幂函数、指数函数和对数函数(讲义) 一、幂函数 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 二、指数运算与指数函数 Ⅰ.根式 1.如果xn＝a，那么叫做a的n次方根； 2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数； 3.()n＝．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝ Ⅱ.分数指数幂的意义 1.分数指数幂 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2.实数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． Ⅲ．指数函数的概念、图象与性质 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 温馨提示：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0,1) 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 温馨提示： 1. 指数幂运算原则 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2. 指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 2.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解； (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．　 3.比较指数式的大小的方法是 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 三、对数运算与对数函数 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 温馨提示： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 4、 双勾函数：形如（ab≠0）函数，不属于基本初等函数，所以单调性用于解答题时应予以证明。双勾函数在各种情况下的图像： 渐近线y轴和y=ax（a≠0） 性质： 函数 参数范围 单调递增区间 单调递减区间 a>0,b>0 a≥0,b<0 (-00,0)和(0,+00) 无 a<0,b<0 a≤0,b>0 无 (-00,0)和(0,+00) 五、由具体函数抽象出来的函数性质的特征表达式： (1)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y) 或f(nx)=nf(x)(n∈N*); (2)幂函数：f(x·y)=f(x)·f(y)或或f(x")=f"(x)(n∈N*); (3)指数函数：f(x+y)=f(x)·f(y)或或f(nx)=f"(x)(n∈N“); (4)对数函数：f(x·y)=f(x)+f(y) 或或f(x")=nf(x)(n∈N*) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$