2024年全国一卷数学新高考题型细分S1-3——圆锥曲线 多选2 双曲线

2024年全国一卷新高考题型细分S1-3 ——圆锥曲线 多选 双曲线 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《圆锥曲线——多选》题型主要有：椭圆、双曲线、抛物线、综合、其他等，大概75道题。每类题目从易到难排序。 双曲线： 1. （多选，2024年苏J22南通二调）9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　[endnoteRef:2]　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 （基础） [2: 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD ] 2. （多选，2024年冀J16邯郸三调）9. 已知双曲线，则（ [endnoteRef:3] ） A. 的取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 的焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 （基础） [3: 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. ] 3. （多选，2024年湘J22一起考二模）10. 已知，双曲线C：，则（ [endnoteRef:4] ） A. 可能是第一象限角 B. 可能是第四象限角 C. 点可能在C上 D. 点可能在C上 （基础） [4: 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情况讨论得解. 【详解】根据题意，可得，即，即且， 所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确； 当在第三象限时，有，，， 双曲线方程为，当即，时，方程为， 所以点在双曲线上，故D正确； 当在第四象限时，有，，， 双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误. 故选：BD. ] 4. （多选，2024年闽J12福州三检）9．双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的两条渐近线的夹角为，若（e为C的离心率），则（ [endnoteRef:5] ） A． B． C． D．C的一条渐近线的斜率为 （基础） [5: ABD； 9．解析：易知该双曲线实半轴为a，虚半轴为，半焦距为2a， ∴离心率，∴焦距，即，∴选项A正确，选项C错误； 易知C的两条渐近线的斜率为，∴这两条渐近线的倾斜角分别为和， ∴C的两条渐近线的夹角为，∴选项B，D正确； 综上所述，应选ABD． ] 5. （多选，2024年苏J25，J28泰州扬州二调）9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　[endnoteRef:6]　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 （基础） [6: 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD ] 6. （多选，2024年湘J07株洲一检）9. 已知双曲线，则下列说法中正确的是（ [endnoteRef:7] ） A. 双曲线C的实轴长为2 B. 双曲线C的焦点坐标为 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 双曲线C的离心率为 （基础） [7: 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线方程先求解出，然后再逐项分析即可. 【详解】因为双曲线方程，所以， 对于A：实轴长为，故A正确； 对于B：因为，所以焦点坐标，故B错误； 对于C：因为，所以渐近线方程，故C错误； 对于D：因为，所以离心率，故D正确； 故选：AD. ] 7. （多选，2024年鄂J02八市联考）10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ [endnoteRef:8] ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它的一个焦点 D. （基础） [8: 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知反比例函数图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解. 【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD. ] 8. （多选，2024年粤J16天河二测，末）11. 双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ [endnoteRef:9] ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C 当轴时， D. 过点作，垂足为 （基础） [9: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D. 【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点， 其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2， 不妨取渐近线，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于， 故双曲线的离心率为，B错误； 对于C，，当轴时，将代入中， 得，即得， 由于P在双曲线右支上，故，C正确； 对于D，连接并延长交的延长线于E， 由题意知，为的角平分线，结合， 可知，K为的中点，而O为的中点， 故，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D的判断，解答时要结合题中所给性质，利用角平分线性质推出K为的中点，即可结合双曲线定义求得答案. ] 9. （多选，2024年粤J03佛山一中二调）11. 已知是左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:10] ） A. B. 的离心率是 C. 的渐近线与双曲线的渐近线相同 D. 的面积是 （中下） [10: 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，有对称性可推翻；对于B，由平方关系、离心率公式判断即可；对于C，由渐近线的求法即可判断；对于D，利用双曲线定义、余弦定理即可求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】对于A，由题意双曲线上存在点，使得，由对称性可知点可能在左支上，也可能在右支上，即，故A错误； 对于B，由题意，即的离心率是2，故B正确； 对于C，的渐近线为即，双曲线的渐近线为即，故C正确； 对于D，不失一般性，不妨设点在双曲线左支上，如图所示： 不妨设，由题意， 在中运用余弦定理有， 解得， 所以的面积是，故D正确. 故选：BCD. ] 10. （多选，2024年粤J135茂名二测）10．已知双曲线，直线，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:11]   ） A．若，则与仅有一个公共点 B．若，则与仅有一个公共点 C．若与有两个公共点，则 D．若与没有公共点，则 （中下） [11: 10．ABD 【分析】利用直线与双曲线的位置关系，利用方程联立的方程，利用判别式，判断实数根的方法，即可求解. 【详解】因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即， 又因为直线过定点，当时，直线与双曲线有且只有一个交点，故A正确； 联立消去得，， 当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，，且，解得， 所以当时，直线与双曲线有且只有一个交点，故B正确； 若与有两个公共点，则，解得：或，故选C错误； 若与没有公共点，，，D正确. 故选：ABD ] 11. （多选，2024年冀J26保定十校三模）10．设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（   [endnoteRef:12] ） A． B． C． D． （中下） [12: 10．CD 【分析】利用直线对称的夹角关系，分类讨论结合双曲线的性质计算即可. 【详解】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为. 当时，则，即，， 即，所以. 当时，，即，， 即，所以. 综上，双曲线的离心率的平方为. 故选：CD ] 12. （多选，2024年闽J22厦门三检）9．双曲线的左、右焦点分别为，且的两条渐近线的夹角为，若（为的离心率），则（[endnoteRef:13]   ） A． B． C． D．的一条渐近线的斜率为 （中下） [13: 9．ABD 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． ] 13. （多选，2024年浙J03台州一评）11. 已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ [endnoteRef:14] ） A. 若，则 B. 若，则的面积为9 C. D. 的最小值为8 （中档） [14: 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的形状分析A，B；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，利用与之间的关系求最值判断选项D. 【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，如图： 由双曲线：可知：，，， 对于A，因为， 所以， 所以四边形为矩形， 所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：，， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即， 所以，所以， 所以，故B正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中， 又因为双曲线渐近线方程为：， 所以 所以，即，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，取到最小值为8，故D正确. 故选：ABD ] 14. （多选，2024年冀J02某市二模，末）11. 已知，是双曲线C：的左、右焦点，，为C右支上一点，，的内切圆的圆心为，半径为r，直线PE与x轴交于点，则下列结论正确的有（ [endnoteRef:15] ） A. B. C. D. 若的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 （中档） [15: 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用切线性质，判断A，利用内切圆的半径表示三角形的面积，即可判断B，利用角平分线定理和焦半径公式，结合判断C，根据几何关系，转化为关于的齐次方程，即可判断D. 【详解】A.如图，作，，， 根据切线长定理，，，， 又，所以，， 所以，即，故A正确； B.因为，， 所以，解得：，， 所以，故B错误； C.由内切圆的性质可知，为角平分线，则， 即，整理为，即， 所以，由A选项的证明可知，，即，故C正确； D.若的内切圆与轴相切，则， 则由选项AB知，，即， 则，即，或（舍）， 所以双曲线C的离心率为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用切线长的性质，结合双曲线的定义，判断. ] 15. （多选，2024年鄂J24荆州三适）11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ [endnoteRef:16]   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条 （中档） [16: 11．AC 【解析】根据已知求得曲线的方程，求得曲线的离心率，其渐近线与圆的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可. 【详解】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确； 又离心率，故B不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为， 又圆的半径为1，故C正确； 直线与曲线的方程联立整理得， 设， ，且， 有，所以， 要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确， 故选：AC. 【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题. ] 16. （多选，2024年粤J131广州二模）11．已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（[endnoteRef:17]   ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 （中档） [17: 11．ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D. 【详解】对A，得，所以， 所以， 当为双曲线右支与轴交点时，取等号， 即的最小值为8，故A正确； 对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为， 与双曲线的两个交点为，此时，故B错误； 对C，因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，故C正确； 对D，设为的内心， ， ， ， 在双曲线上，,为定值，D正确， 故选：ACD． ] 17. （多选，2024年鲁J33潍坊三模）11．已知 双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆 圆心为，半径为，直线交于，若， ，则（  [endnoteRef:18]    ） A． B．圆心的横坐标为 1 C． D．的离心率为2 （中档） [18: 11．ACD 【分析】由，且三点共线，得到，可判定A正确；根据双曲线的定义和，求得，可判定B错误；利用角平分线定理得到，结合三角形的面积公式，分别求得的值，可判定C正确；结合离心率的定义和求法，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，且三点共线， 所以，可得，所以A正确； 对于B中，设切点分别为，则， 又因为，所以， 所以点为右顶点，圆心的横坐标为2，所以B错误； 对于C中，因为，所以， 由角平分线定理，得， 又因为，所以， 由可得， 所以，可得， 所以，则为等腰三角形， 所以，解得，所以C正确； 对于D中，由离心率，所以D正确. 【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略： 1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立的联系； 2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解； 3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. ] 18. （多选，2024年粤J27深圳一调）11. 已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（ [endnoteRef:19] ） A. 的最小值为 B. C. 为定值 D. 的最小值为 （涉后导数） （中档） [19: 【答案】BC 【解析】 【分析】由三角形相似和基本不等式，即可判断A；代入两点间距离公式，化简后，即可判断B；根据直角三角形的性质，结合B选项，即可判断C；设，利用三角函数表示，再通过换元，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】对于A，易得，设，则， 设，，由三角形相似可得， 所以，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，设，则，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，由，可得，所以， 整理得，为定值，故C正确； 对于D，易知，设， 则，， 设，则，解得， 同理可得， 所以， 令， 则，设， 则， 所以在上单调递减，故的最小值为，故D错误. 故选：BC 【点睛】难点点睛：本题的难点是D选项的判断，需根据，转化为三角函数的问题，再利用换元，转化为一般函数问题，再利用导数判断函数的单调性，即可求最值. ] 19. （多选，2024年鲁J46烟台二模）10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（  [endnoteRef:20]  ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 （中档） [20: 10．ACD 【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确. 【详解】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. ] 20. （多选，2024年冀J12大数据应用调研，末）11. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:21] ） A. 离心率为 B. C. D. （中档） [21: 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，联立直线方程与直线方程、直线方程可求得点、点坐标，由，可知为中点，结合中点坐标公式可得值，进而可求得离心率，对于B项，计算的值即可，对于C项，联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于D项，由求解即可. 【详解】如图所示， 由题意知，，直线方程为，直线方程为， 设直线方程为， ，即， ，即， 对于A项，因为，所以为中点， 所以，整理得， 所以离心率，故A项错误； 对于B项，由A项知，直线方程为，即， 又因为，所以， 所以，故B项正确； 对于C项，过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示， 由A项知，，所以双曲线方程为，，， ，则， 所以，，， 所以， 所以、为线段的三等分点，即， 设到直线距离为，则，， 所以，故C项正确； 对于D项，如图所示， 由A项知，，所以，故D项错误. 故选：BC. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$