2024年全国一卷新高考题型细分2-6-1——平面向量2

2024年全国一卷新高考题型细分2-6-1 ——平面向量2 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《平面向量》主要分类有：线性运算，数量积，数量积——最值范围分析，夹角，共线，垂直，求模，求模——最值范围分析，投影向量，分解代换，最值范围分析，拓展，综合等，大概162道题。 求模： 1. （2024年J02全国二卷）3. 已知向量满足，且，则（ [endnoteRef:2] ） A. B. C. D. 1 [2: 【答案】B 【解析】 分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. ] 2. （2024年粤J44梅州二月检）12. 已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则__[endnoteRef:3]____. [3: 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用模长的定义及数量积的运算，即可求出结果. 【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量， 所以， 故答案为：. ] 3. （2024年鄂J15十一校二联考）4. 已知向量，，满足，则（ [endnoteRef:4]   ） A. B. C. D. [4: 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得向量的夹角为，，再利用数量积运算可得解. 【详解】由，可得向量的夹角为， ， . 故选：C ] 4. （2024年冀J11衡水一模）13. 已知力，满足，且，则_[endnoteRef:5]_______N. [5: 【答案】 【解析】 【分析】将变形后平方得到相应结论，然后将平方即可计算对应的值. 【详解】由，可得，所以，化简可得， 因为，所以， 所以. 故答案为 【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解. ] 5. （2024年闽J20莆田三模）12．已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 [endnoteRef:6] . [6: 12． 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即可得，再根据夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故答案为： ] 6. （2024年苏J09徐州适应）5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ [endnoteRef:7] ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或5 [7: 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等，得或， 当时，， 当时， . 故选：C ] 7. （2024年冀J10承德二模）1. 若，则实数（ [endnoteRef:8] ） A. 6 B. C. 3 D. [8: 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 即，解得. 故选：B. ] 8. （2024年浙J25温州二适）12. 平面向量满足，，，则[endnoteRef:9]______． [9: 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设向量，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到的坐标，从而得到结果. 【详解】设向量，由可得， 又，则， 解得，，则， 所以. 故答案为： ] 9. （2024年冀J30保定二模）12．已知向量的夹角的余弦值为，，且，则 [endnoteRef:10] ． [10: 12．4 【分析】利用向量数量积的定义，由已知得，代入，求的值. 【详解】向量的夹角的余弦值为，，则， 由，解得(负值舍去)． 故答案为：4. ] 10. （2024年鄂J20黄冈浠水三模）2．若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（   [endnoteRef:11] ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [11: 2．A 【分析】由，两边平方化简可得，即，同向，可判断充分性成立， 由，可得，即，共线，可举反例，判断必要性不成立. 【详解】因为，所以， 即，即， 由于,是平面上两个非零的向量，所以，所以，同向， 所以有，故充分性成立； 因为，则，即， 由于是平面上两个非零的向量，所以，共线.， 不妨取，此时，共线.，但，， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ] 11. （2024年冀J27名校联盟三模）3．已知非零向量，的夹角为，，，则（    [endnoteRef:12]） A．1 B． C． D． [12: 3．D 【分析】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的运算求解. 【详解】因为，则， 且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为， 则， 所以. 故选：D. ] 12. （2024年粤J120大湾区二模）5．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（　[endnoteRef:13]　） A． B． C． D． [13: 5．B 【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解. 【详解】设向量与的夹角为θ. 由，左右两边平方得,得. 由，得，从而. 故选:B. ] 13. （2024年湘J38怀化二模）3．已知均为单位向量，若，则与的夹角为（[endnoteRef:14]    ） A． B． C． D． [14: 3．B 【解析】先根据题意得，再根据向量夹角公式即可得答案. 【详解】解：由，均为单位向量，得， 所以， 故与的夹角为. 故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题. ] 14. （2024年浙J33东阳五月测）2．已知，，，则（ [endnoteRef:15]   ） A． B．16 C． D．9 [15: 2．B 【分析】由已知可得，可求得，进而计算可求. 【详解】由，两边平方可得， 所以，所以. 故选：B. ] 15. （2024年冀J02某市二模）12. 已知向量，夹角为，且，，则__[endnoteRef:16]____． [16: 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： ] 16. （2024年冀J04石家庄二中一模）2. 已知向量，，若与反向共线，则的值为（ [endnoteRef:17] ） A 0 B. C. D. [17: 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. ] 17. （2024年鲁J31威海二模）7．已知向量a，b满足，，且对，，则=（    [endnoteRef:18]） A．-2 B．-1 C．1 D．2（涉二次函数判别式，中下；） [18: 7．C 【分析】对两边平方，根据二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为对，， 所以， 所以， 所以. 故选：C. ] 18. （2024年粤J40汕头一模）13. 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则_[endnoteRef:19]______，_______.（知道模反求夹角，中下） [19: 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积. 【详解】由两边平方得：， 依题意，，所以； . 故答案为：； ] 求模——最值范围分析： 19. （2024年粤J52燕博园）7.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ [endnoteRef:20] ） A.1 B.2 C. D.4 [20: 7.答案C 【命题意图】：本小题考查了向量的模的运算及二次函数最值，数形结合，坐标法等知识，考查学生逻辑推理能力与运算求解的综合能力， 【解析】 解法一： 所以的最大值为. 解法二： 因为，所以向量的终点在直线上，向量的终点在直线上，因为， 所以，所以，所以的最大值为. 解法三：如上图，以为原点以为轴建立平面直角坐标系，则，则， 所以，因为，所以的最大值为. ] 20. （多选，2024年浙J28，J37宁波模拟）9．若平面向量满足且，则（[endnoteRef:21]    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 [21: 9．BD 【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足， 此时有最小值，A选项错误； 当向量方向相同时，满足， 此时有最大值，B选项正确； ，有，即，则， 向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误； 向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确. 故选：BD ] 21. （2024年鄂J21黄冈二模）5．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ [endnoteRef:22]   ） A．9 B．3 C． D．10 [22: 5．C 【分析】根据条件得到，利用二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. ] 22. （2024年鄂J27宜荆荆随恩二模）6．已知非零向量，的夹角为，，，则的最小值为（  [endnoteRef:23]  ） A．2 B． C．1 D． [23: 6．C 【分析】求出向量乘积，结合二次函数求最值即可. 【详解】因为，的夹角为，，所以， . 故的最小值为1. 故选：C ] 23. （2024年鄂J04名校联盟）14. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是[endnoteRef:24]______. [24: 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. ] 24. （2024年粤J102韶关二测）13. 已知平面向量均为单位向量，且，则向量与夹角为______，的最小值为[endnoteRef:25]______． [25: 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由可得，根据平面向量数量积的定义即可求出与的夹角；根据数量积的运算律可得，结合的取值范围即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 所以，又， 所以，即与的夹角为； ， 又，所以， 当且仅当与同向时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：； ] 投影向量： 25. （2024年冀J01某市一模）3. 已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ [endnoteRef:26] ） A. B. C. D. [26: 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的共线求得m的值，结合与方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意知向量，共线， 故，解得或， 又因为且与方向相反，故， 所以，而， 则在方向上投影向量是， 即在方向上的投影向量的坐标是， 故选：B ] 26. （2024年粤J109珠海一中冲刺）12．已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为[endnoteRef:27] ． [27: 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以在上的投影向量为． 故答案为：. ] 27. （2024年闽J02厦门二检）5. 在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ [endnoteRef:28] ） A. B. C. D. [28: 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意设直线的方向向量为，则， 而，则，即为直线的法向量， 又O到直线的距离为， 故在上的投影向量为， 故选：C ] 28. （2024年闽J05莆田二检）12. 已知，则[endnoteRef:29]__________，在上的投影向量的坐标为__________． [29: 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得；根据投影向量的计算公式，结合已知条件，即可求得投影向量的坐标. 【详解】因为，故； 在上的投影向量为，又，则； 故在上的投影向量的坐标为. 故答案为：；. ] 29. （多选，2024年苏J21南通二适）9. 已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ [endnoteRef:30] ） A. B. C. D. [30: 【答案】AD 【解析】 【分析】向量在向量方向上的投影向量为，根据此公式可求，再逐项求出夹角后可得正确的选项. 【详解】由题设可得，故， 而，与夹角，故，故， 对于A，，因，故，故A正确 对于B，，因，故，故B错误. 对于C，，因，故，故C错误. 对于D，，因，故，故D错误. 故选：AD. ] 30. （2024年粤J21中附一调）3. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ [endnoteRef:31]   ） A. 1 B. C. D. [31: 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由， 向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：D. ] 31. （2024年浙J04温州一适）4. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（ [endnoteRef:32] ） A. B. C. D. [32: 【答案】B 【解析】 【详解】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解. 【分析】在上的投影向量为， 故选：B ] 32. （2024年浙J05名校二联考）3. 已知向量，向量在向量上的投影向量（ [endnoteRef:33] ） A. B. C. D. [33: 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量投影向量的定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：C ] 33. （2024年苏J08宿迁调研）6. 已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ [endnoteRef:34] ） A. B. C. 或 D. [34: 【答案】D 【解析】 【分析】设与的夹角为，由在上的投影向量为即可求得的值，结合向量夹角的范围即可求解. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为，即， 所以，所以， 因为，所以， 故选：D. ] 34. （2024年闽J24漳州四检）13．已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 [endnoteRef:35] . [35: 13．/ 【分析】根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. ] 35. （2024年湘J22一起考二模）3. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ [endnoteRef:36] ） A. B. C. D. [36: 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为. 故选：B. ] 36. （2024年鄂J03武汉二联）4. 在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ [endnoteRef:37] ） A. B. C. D. [37: 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量. 【详解】由题设， 向量在向量上的投影向量为. 故选：B ] 37. （2024年鲁J42青岛二适）5．已知平面向量，则在上的投影向量为（[endnoteRef:38]    ） A． B． C． D． [38: 5．A 【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解. 【详解】 ， ，, 在上的投影向量为. 故选：A. ] 38. （2024年鄂J26武昌五月检）3．已知，向量，且，则在上的投影向量为（[endnoteRef:39]    ） A． B．5 C． D． [39: 3．C 【分析】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解. 【详解】由，则有，即， 则，故. 故选：C. ] 39. （2024年冀J35部分中学评估）5．已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（  [endnoteRef:40]  ） A． B． C． D．与有关（中下） [40: 5．C 【分析】根据向量模长的坐标表示可得，进而可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C. ] 40. （2024年粤J25深圳一调）4. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ [endnoteRef:41] ） A. B. 2 C. D. （非坐标） [41: 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A ] 41. （2024年浙J01湖州一中模拟，J03台州一评）2. 已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ [endnoteRef:42] ） A. B. C. D. （非坐标） [42: 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，为在上的投影向量， 所以，故 故选：B ] 42. （2024年粤J07六校联考）3. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ [endnoteRef:43] ） A. 1 B. C. D. （非坐标） [43: 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C ] 43. （2024年粤J01）对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ [endnoteRef:44] ） A. B. C. D. （非坐标） [44: 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量和投影的关系以及投影的计算方法直接求解即可. 【详解】由题意得，在上的投影为， 同理，在上的投影为， 因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量， 所以在上的投影互为相反数， 所以，则，即. 故选：D ] 44. （2024年闽J19南平三检）3．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    [endnoteRef:45]） A． B． C． D．（非坐标） [45: 3．D 【分析】利用，计算可得在上的投影向量. 【详解】在上的投影向量为：. 故选：D. ] 45. （2024年闽J18福师附模拟，湘J51师附二模）5．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ [endnoteRef:46]   ） A． B． C． D．（非坐标） [46: 5．D 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D ] 46. （2024年浙J34杭州四月检）3．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ [endnoteRef:47] ） A．30° B．60° C．90° D．120°（非坐标） [47: 3．B 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. ] 47. （2024年冀J43名校二联考）3．已知，且，则在上的投影向量为（  [endnoteRef:48]  ） A． B． C． D．（非坐标） [48: 3．A 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. ] 48. （2024年冀J29邢台二模）4．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（[endnoteRef:49]    ） A． B．1 C． D．（非坐标） [49: 4．A 【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模. 【详解】因为，又， 所以. 所以：， 所以. 故选：A ] 49. （2024年闽J12福州三检，J22厦门三检）4．在菱形ABCD中，若，且在上的投影向量为，则（ [endnoteRef:50] ） A． B． C． D．（非坐标） [50: B； 4．解析：由已知知该菱形中， ∴由D向AB作垂线，垂足即为AB中点，∴，故选B． ] 50. （2024年闽J21三明检测）6．函数的部分图象如图所示，其中两点为图象与x轴的交点，为图象的最高点，且是等腰直角三角形，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（[endnoteRef:51]   ）    A． B． C． D．（中下）（非坐标） [51: 6．B 【分析】首先求出，过点作于点，由是等腰直角三角形，表示出的坐标，由最大值为1，即可求出，根据投影向量计算公式计算即可． 【详解】，则，过点作于点， 因为是等腰直角三角形，所以，    因为，所以， 因为最大值为1，所以，解得， 所以，则， 则在上的投影向量的坐标为：， 故选：B． ] 分解代换： 51. （2024年鄂J05七市调研）3. 已知正方形的边长为2，若，则（ [endnoteRef:52] ） A. 2 B. C. 4 D. （易） [52: 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B ] 52. （2024年浙J24金华一中）3. 在边长为1正方形中，E为线段的中点，F为线段上的一点，若，则（ [endnoteRef:53] ） A. B. C. D. （易） [53: 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，利用基底表示向量，利用数量积公式，即可求解. 【详解】如图，，， 所以， . 故选：D ] 53. （2024年湘J02邵阳一联）5. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ [endnoteRef:54] ） A. B. C. D. （基础） [54: 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值. 【详解】 ， 所以，所以， 所以， . 故选：D. ] 54. （2024年湘J43长沙一中三模）5．如图，设向量,若,且,则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是 ( [endnoteRef:55]) A． B． C． D．（基础） [55: 5．D 【详解】试题分析：设向量.因为向量,若,所以，所以,所以，即，即D选项的形式.故选D. 考点：1.向量的加减法.2.向量的基本定理.3.分类探索的思想. ] 55. （2024年鄂J23荆州四适）5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（ [endnoteRef:56]   ） A． B． C． D．（中下） [56: 5．B 【分析】延长、交于点，取的中点，连接，分析出为等腰直角三角形，求出的长，分析出，利用平面几何的相关知识可求得的值. 【详解】延长、交于点，取的中点，连接， 易知为等腰直角三角形，则，， 所以，，，， 故为等腰直角三角形，且，则， 因为、分别为、的中点，则，且， 所以，，故. 故选：B. ] 56. （2024年粤J35中山一中二调）2. 已知正方形的边长为4，为边的中点，为边上一点，若，则=（ [endnoteRef:57]） A. 5 B. 3 C. D. [57: 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，以点为坐标原点，分别以所在直线方向为轴、轴建立平面直角坐标系，得到各点坐标，再设点坐标，根据题意求出点坐标，即可得出结果. 【详解】因为四边形为正方形，以点为坐标原点，分别以所在直线方向为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正方形的边长为4，为边的中点， 所以， 又为边上一点，所以设， 则，， 又，所以，解得， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查已知数量积求向量的模的问题，熟记坐标系的方法求解即可，属于常考题型. ] 57. （2024年粤J33珠海一中预测）5. 已知中，，，，O为所在平面内一点，且,则的值为（ [endnoteRef:58] ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 [58: 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】， ∵，∴，∴， ∴ 故选：C. ] 58. （2024年闽J04漳州三检）6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ [endnoteRef:59] ） A. B. C. D. （按比例分解） [59: 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D． ] 59. （2024年粤J04顺德二检）4. 在中，，若，线段与交于点，则（ [endnoteRef:60] ） A. B. C. D. （按比例分解） [60: 【答案】B 【解析】 【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示： 由可得分别为的中点， 由中线性质可得， 又，所以， 因此. 故选：B ] 60. （2024年冀J03冀州一调）2. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ [endnoteRef:61] ） A. B. C. 2 D. （按比例分解，基础；用共线分析，中档；） [61: 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解. 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因三点共线，可得，所以. 故选：A． ] 61. （2024年粤J15华附一调）3. 在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（ [endnoteRef:62] ） A. B. C. D. （按比例分解） [62: 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案； 方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】方法一：如图，由题意得，， 故 ； 方法二：不妨设是等腰直角三角形，且， 以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设， 故， 所以，解得， 故． 故选：C． ] 62. （2024年浙J38绍兴四月适）4．已知四边形是平行四边形，，，记，，则（   [endnoteRef:63] ） A． B． C． D．（按比例分解） [63: 4．A 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得. 【详解】在中，，，，， 所以.    故选：A ] 63. （2024年冀J39承德二模）4．在中，为中点，连接，设为中点，且，则（   [endnoteRef:64] ） A． B． C． D．（按比例分解） [64: 4．D 【分析】利用平面向量基本定理将用表示出来，再用向量的线性运算把用表示即可. 【详解】由于，所以， 故选：D ] 64. （2024年浙J12金华一中模拟）4. 在△ABC中，，且点D满足，则（ [endnoteRef:65] ） A. B. C. D. （中线分析，中下；） [65: 【答案】A 【解析】 【分析】由、，结合向量数量积的运算律转化求模长即可. 【详解】由题设，为中点，则， 所以， 又，即， 所以，故. 故选：A ] 65. （2024年湘J08长沙适应，末）8. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（[endnoteRef:66] ） A. B. C. D. （中下，未） [66: 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解. 【详解】连接，，如图，可知. 由，即，可得. 从而，，所以. 故选：B. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$