四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届期末考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2.石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一颗银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（ ）米． A. B. C. D.13 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线,,则 4．若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 5．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 6.斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，设该容器的体积为 ，该容器最多能盛的水的体积为，则=（ ）   A． B． C． D． 8.在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知复数是方程的两根，则（ ） A．是方程的一个根 B． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 10．石室中学课余活动丰富，甲、乙、丙、丁四个数学兴趣小组举行数学史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A．甲组中位数为2，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为1，方差大于0 D．丁组平均数为2，方差为3 11．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递增 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 12．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（ ） A．与始终保持垂直 B．的最小值为 C．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设是复数且，则的最小值为_________. 14．如图，在中，，是线段上一点，若， 则的最大值为_________. 15．如图，，分别是正方形ABCD的边，的中点，把,,折起构成一个三棱锥（,,重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是_________.    16. 在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17．（本小题满分10分）已知|a|=3, |b|,(a－b)·(2a＋3b). （1）求a与b的夹角； （2）若向量c为b在a上的投影向量，求|b＋c|. 18．（本小题满分12分）某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求图中的值并估计面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； （3）抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和20，求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差． 19．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且． （1）证明：； （2）若，的面积为，求的周长． 20．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，，， BC∥平面EFGH. （1）证明：四边形EFGH为矩形； （2）若EH=5,求与平面EFGH所成角的正弦值. 21．（本小题满分12分）已知函数,图象中相邻两条对称轴的距离为. （1）求函数的解析式和在区间的单调递增区间； （2）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 22.（本小题满分12分）如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届期末考试 数学 参考答案 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D B A B B 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9 10 11 12 BC AD BCD ABC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 14. 15. 16. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.（本题10分） 【解析】（1）因为， 所以，即，解得，…………………………………………3分 设与的夹角为， 则，所以， 故与的夹角为；………………………………………………………………………………………5分 （2）向量为在上的投影向量， 则，………………………………………………………………………7分 故 . ………………………………………………………………………10分 18．（本题12分） 【解析】（1）由题意可知：，解得，…………………………2分 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为，………………………………4分 （2）成绩在的频率为，满意度在的频率为 设百分之80分位数为，则，………………………………………………………………5分 则， 解得，故百分之80分位数为77.5 ……………………………………………………………8分 （3）100名候选者中第二组的人数为100×0.25=25人，第四组的人数为100×0.2=20人 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，……………………9分 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为70，方差是 .…………………………12分 19．（本题12分） 【解析】（1）解：由， 可得，所以， 又由正弦定理，可得， 即，所以，………………………………………4分 可得或，即或（舍去）， 所以.…………………………………………………………………………………………………6分 （2）解：因为， 所以,,所以为等腰三角形. ……………………………………8分 所以 令其中， 则，解得， 因此的周长为．…………………………12分 20．（本题12分） 【解析】（1）长方体中平面// 因为平面//，同理可得 因为，，所以四边形EFGH为平行四边形. ………………………………………3分 因为，长方体中， 所以，又因为， 所以, 所以四边形EFGH为矩形. …………………………………………………………………………………6分 （2）可证得四边形为平行四边形，所以EF=5.设到平面EFG的距离为h 因为EF∥BC，BC⊥平面，所以EF⊥平面，所以E到平面的距离为EF=5. ，…………………………8分 因为，所以 所以，解得…………………………………………………………………10分 设与平面EFGH所成角为， . 所以与平面EFGH所成角的正弦为.…………………………………………………………12分 21．（本题12分） 【解析】（1） 因为图象中相邻两根对称轴的距离为，所以周期， 所以，又因为，所以.……………………………………3分 令，解得 所以的单调递增区间为.………………………………………………5分 ， 所以在区间的单调递增区间为……………………………………………6分 （2）由（1），令，由可得 则， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根， 且与在上均有两个不等的实根， 因为的图象如图所示，故， 所以关于的方程在上有两个不等的实根， ……………………………………………8分 令，则 …………………………………………………10分 即解得 故实数的取值范围.……………………………………………………………………12分 22．（本题12分） 【详解】（1）① 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面.………………………………………………………………………………………3分 ② 过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD, ,,所以平面,所以 所以为二面角的平面角，……………………………………………………………5分 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为由几何关系可得 所以在中， 即二面角的余弦值为.………………………………………………………………………7分 （2） 过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得平面， 连接，是直线与平面所成的角，即，………………………………8分 因为，满足， 设，， ， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，，…………………10分 因为，，所以是二面角平面角， 即，，………………………………………………………………………11分 ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值…………………………………………………………………………………12分 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$