精品解析：湖北省黄石市大冶市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

大冶市2023-2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是 （ ） A. 调查一批新型电动汽车的电池使用寿命 B. 调查无锡市中小学生的课外阅读时间 C. 对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D. 对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查 3. 下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 邻角互补 B. 内角和为 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 4. 已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 图象与坐标轴围成三角形的面积为 C. 当时， D. 图象与轴的交点坐标为 6. 在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 把直线向上平移个单位后，与直线的交点在（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在中，对角线相交于点，，则的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A. B. 1 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是________． 13. 已知点在直线上，且，则代数式的值为___________． 14. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元． 15. 如图，矩形中，上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则____________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16 （1）； （2）． 17. 在中，对角线，相交于点，点，在上且，证明：． 18. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 19. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分分，学生得分均为整数，成绩达分以上为合格，达到分以上（含分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形图如图所示． 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 乙 （1）直接写出、的值； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，我在小组排名属中游略偏上．”观察图表可知，小明是哪一组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请给出两条支持乙组同学观点的理由． 20. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形． 21. 如图，分别是轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交轴于点，直线交轴于点，且． （1）求； （2）求的值． 22. “五·一”前夕，某蛋糕店推出A、B两种不同口味的蛋糕，3个A种蛋糕和5个B种蛋糕的利润和为380元，5个A种蛋糕和3个B种蛋糕的利润和为420元． （1）求每个A种蛋糕和B种蛋糕的利润； （2）蛋糕店计划每天制作两种蛋糕共50个，设制作A种蛋糕x个，两种蛋糕全部卖完共获利y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②若每天制作A种蛋糕的个数不少于30个，且不超过B种蛋糕个数的4倍，求每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润． 23 实践与探究 操作一： 如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点，连结，探究与的数量关系并证明． 操作二： 如图②，摆放矩形纸片与矩形纸片，使、、三点在一条直线上，在边上，连结，为的中点，连结、．求证：． 拓展延伸： 如图③，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点在边上，连结，为的中点，连结、、．已知正方形纸片的边长为，正方形纸片的边长为，求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，连接． （1）求直线的解析式； （2）若过点A作轴于点F，交于点G，若点P是x轴正半轴上一动点，且满足，求点P的坐标； （3）若直线与相交于点M，Q为平面内任意一点，在x轴是否存在N点，使得以O、M、N、Q为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出N点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大冶市2023-2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．是最简二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是 （ ） A. 调查一批新型电动汽车的电池使用寿命 B. 调查无锡市中小学生的课外阅读时间 C. 对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D. 对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A．调查一批新型电动汽车的电池使用寿命适合抽样调查； B．调查无锡市中小学生的课外阅读时间适合抽样调查； C．对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查适合抽样调查； D．对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查必须进行全面调查， 故选：D． 3. 下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 邻角互补 B. 内角和为 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形性质，根据菱形与矩形性质逐项验证即可得到答案，熟记特殊平行四边形性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、邻角互补是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； B、内角和为是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； C、对角线互相平分是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等，该选符合题意； 故选：D． 4. 已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【详解】根据多边形的内角和可得：（n-2）180°=540°， 解得：n=5，则这个多边形是五边形． 故选C． 5. 对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 图象与坐标轴围成三角形的面积为 C. 当时， D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、对于一次函数，，则函数图象经过第一、二、四象限，选项正确，不符合题意； B、对于一次函数，当时，，即与轴交点为；当时，，即与轴交点为；则图象与坐标轴围成三角形的面积为，选项错误，符合题意； C、对于一次函数，当时，，即与轴交点为，则当时，正确，不符合题意； D、对于一次函数，当时，，即与轴交点为正确，不符合题意； 故选：B． 6. 在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：如图， A．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； B．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； C．如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； D．，，无法判定四边形是平行四边形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， 由图象可知：不等式的解集为； 故选A． 8. 把直线向上平移个单位后，与直线的交点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到平移后的函数解析式，与联立，用含有的代数式表示交点坐标，并判断其正负性，从而判断交点所在象限． 【详解】解：由题意得： 直线向上平移个单位后变为：， 与直线联立得： ， 解得： ∵ ∴交点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的交点坐标求解，联立函数解析式并根据题意判断正负是解决本题的关键． 9. 如图，在中，对角线相交于点，，则的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求平行四边形面积，涉及平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，先由平行四边形性质得到,，进而在中，由勾股定理的逆定理确定是直角三角形，且，即，再由平行四边形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记平行四边形性质及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，对角线相交于点，， ，， 在中，，,，则，,，即， 是直角三角形，且，即， ， 故选：C． 10. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 【详解】解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为． ∴ ． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、正方形性质、等腰三角形性质、等边三角形的性质的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形性质得出，根据等边三角形性质得出，推出，根据等腰三角形性质得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知点在直线上，且，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由点在直线上，得到，由，得到，再由完全平方差公式变形得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， ，则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及一次函数性质、二次根式性质、完全平方差公式等知识，熟记相关知识点与性质是解决问题的关键． 14. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象上点的横纵坐标表示的意义是解题关键． 根据函数图象得到前面2千克，每千克元，超过2千克的每千克元，再分别求出两种购买情况需要的钱数进行比较，即可解题． 【详解】解：根据函数图象可得： 前面2千克，每千克元，超过2千克的每千克元． 则一次购买3千克需要的钱数为：（元）， 分三次每次购买1千克需要的钱数为：（元）， （元）， 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元． 故答案为：2． 15. 如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，如图所示，由矩形性质可设，由翻折性质得到，再结合等腰三角形的判定性质，解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 由矩形性质可设， 由翻折的性质可知，，即是等腰三角形， ， ， ， ，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 四边形是矩形， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，涉及矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，利用参数解决问题是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方差公式计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘法运算、平方差公式、完全平方差公式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 17. 在中，对角线，相交于点，点，在上且，证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定；首先连接，，由四边形是平行四边形，，易得，，即可判定四边形是平行四边形，继而证得． 【详解】证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 18. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分分，学生得分均为整数，成绩达分以上为合格，达到分以上（含分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形图如图所示． 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 乙 （1）直接写出、的值； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，我在小组排名属中游略偏上．”观察图表可知，小明是哪一组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请给出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】（1） （2）甲组 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）观察条形统计图，可得出各组的众数，把甲、乙两组的成绩分别按从小到大排列，找到甲组成绩中的第、第个数，它们的平均数就是甲组的中位数； （2）根据题意，应该是与中位数进行比较，观察两组的中位数大小，即可得出结论； （3）乙组的平均分、中位数都高于甲组，方差小于甲组，说明乙组成绩稳定，选择其中两点作答即可． 【小问1详解】 解：甲组的成绩为：，，，，，，，，，，甲组学生成绩的中位数为，乙组众数是， 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 乙 故答案为： 【小问2详解】 甲组中位数为，乙组中位数为， 在甲组排名属中游略偏上，在乙组排名属中游略偏下， 小明是甲组的学生． 故答案为：甲组； 【小问3详解】 乙组平均数、中位数均高于甲组，乙组成绩比甲组整齐，乙组的众数比甲组众数大，所以乙组成绩好于甲组．（给出两条即可） 20. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE； （2）先证明四边形DEFG是平行四边形， 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形． ∴ABCD， ∴∠EAB=∠CFE， 又∵E为BC的中点， ∴EC=EB， ∴在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE(AAS)； 【小问2详解】 证明：∵△ABE≌△FCE， ∴AB=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∴DC=CF， 又∵CE=CG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵E为BC的中点，CE=CG， ∴BC=EG， 又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB， ∴DF=EG， ∴平行四边形DEFG是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键． 21. 如图，分别是轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交轴于点，直线交轴于点，且． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作轴，如图所示，由直线交轴于点，点，数形结合代值求解即可得到答案； （2）由题意得到，再由与得到，数形结合列式求解得到，即，设直线，利用待定系数法确定函数解析式，将点代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过作轴，如图所示： 直线交轴于点，点， ； 【小问2详解】 解：直线交轴于点， ， ，且由（1）知， ，则， ， 设直线，将、代入得，解得，则直线， 点在直线的图象上， ． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、待定系数法确定函数解析式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 22. “五·一”前夕，某蛋糕店推出A、B两种不同口味的蛋糕，3个A种蛋糕和5个B种蛋糕的利润和为380元，5个A种蛋糕和3个B种蛋糕的利润和为420元． （1）求每个A种蛋糕和B种蛋糕的利润； （2）蛋糕店计划每天制作两种蛋糕共50个，设制作A种蛋糕x个，两种蛋糕全部卖完共获利y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②若每天制作A种蛋糕的个数不少于30个，且不超过B种蛋糕个数的4倍，求每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润． 【答案】（1）每个种蛋糕的利润为60元、每个种蛋糕的利润为40元 （2）①；②每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润为2800元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列式是解题关键． （1）设每个种蛋糕的利润为元、每个种蛋糕的利润为元，根据“3个A种蛋糕和5个B种蛋糕的利润和为380元，5个A种蛋糕和3个B种蛋糕的利润和为420元”列二元一次方程求解即可 （2）①根据利润单个利润数量列式即可； ②根据“A种蛋糕的个数不少于30个，且不超过B种蛋糕个数的4倍”列不等式，得到的取值范围，再根据一次函数的增减性求最大值即可． 【小问1详解】 解：设每个种蛋糕的利润为元、每个种蛋糕的利润为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个种蛋糕利润为60元、每个种蛋糕的利润为40元． 【小问2详解】 解：①由题意知，， 与之间的函数关系式为． ②由题意得，， ， 又， ，且为整数 在中， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：每天全部卖完这两种蛋糕获得最大利润为2800元． 23. 实践与探究 操作一： 如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点，连结，探究与的数量关系并证明． 操作二： 如图②，摆放矩形纸片与矩形纸片，使、、三点在一条直线上，在边上，连结，为的中点，连结、．求证：． 拓展延伸： 如图③，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点在边上，连结，为的中点，连结、、．已知正方形纸片的边长为，正方形纸片的边长为，求的面积． 【答案】操作一：，证明见解析；操作二：证明见解析；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了正方形的综合应用，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质； 操作一：由折叠可知，，则可得，即可得出结论； 操作二：延长与交于点N，通过证明，推导出； 拓展延伸：连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推导出是等腰直角三角形，求出即可求出面积． 【详解】操作一：解： 由折叠可知，， ∴ 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 在直角三角形中 ， ， 故答案为：； 操作二：证明：延长与交于点， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； 拓展延伸：解：连接 ， ， ， 点在上， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 的面积为， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，连接． （1）求直线的解析式； （2）若过点A作轴于点F，交于点G，若点P是x轴正半轴上一动点，且满足，求点P坐标； （3）若直线与相交于点M，Q为平面内任意一点，在x轴是否存在N点，使得以O、M、N、Q为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或者 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点， （1）利用待定系数法求出k值即可得解； （2）分当点位于的左侧时和当点位于的右侧时两种情况讨论即可得解； （3）利用菱形的性质和点的坐标特征分情况讨论即可得解；熟练掌握其性质，准确画出图形是解决此题的关键． 【小问1详解】 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 当点位于的左侧时，如图，作于点，交于点， ， ∴， ∵， ， ， 点的横坐标为2， ∴代入得， 点， ， ， 点坐标为； 当在的右侧时，如图所示， ， ∴， ∵， ， ， 点的横坐标为2， ∴代入得， 点， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，或者； 【小问3详解】 设直线的解析式为， ∴，解方程组得：， ∴， ∴，解方程组得：， ∴直线与的交点的坐标， ∴， 如图所示， 当四边形和四边形为菱形时， ∴， ∴或， 当四边形为菱形时， ∴垂直平分时， ∴， ∴， 综上所述：以为边的菱形得或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$