山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个是正确的。） 1．（4分）以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 4．（4分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点P，则不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2 5．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 6．（4分）如图，点E在边长为6的正方形ABCD的边BC上，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与CD交于点G．若点G恰好是CD的中点，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） （多选）7．（5分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（　　） A．3a＞﹣3b B．a﹣c＞b﹣c C． D．a+3＜b+3 （多选）8．（5分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论错误的是（　　） A．函数值y随x增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点（1，0） D．当x＝a时，y＝2a+2 （多选）9．（5分）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B． C．（1，3） D． （多选）10．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11．（4分）若代数式，则x的取值范围是 　 　． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为 　 　． 13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，则DE与BC之间的距离是 　 　． 14．（4分）在直角坐标系中，已知点A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 　 　． 四、解答题（共8小题，共90分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）（1）计算：； （2）已知，，求a2﹣ab+b2． 16．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出解集． 17．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF． （1）求证：四边形AEBF是菱形； （2）若AC＝4，BF＝5，连接CD，求CD的长． 18．（11分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，＝　 　；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段AB上找一点P，使＝； ②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC． 19．（12分）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B型无人机共需6200元． （1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 20．（10分）【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线AB﹣BC﹣CD表示观光车到终点的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段CD表示的函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 21．（13分）如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直线AD的函数表达式； （2）若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为﹣1，求S△BOC； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（14分）在△ABC中，AC＝BC． （1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE； （2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长． 参考答案与试题解析 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个是正确的。） 1．（4分）以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、÷＝，故A符合题意； B、（﹣）2＝3﹣2+2＝5﹣2，故B不符合题意； C、2与不能合并，故C不符合题意； D、＝＝，故D不符合题意； 故选：A． 3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝80°，∠BAC＝50°， ∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝30°． 故选：A． 4．（4分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点P，则不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2 【解答】解：将点P（﹣2，0）坐标代入y＝mx+n得， ﹣2m+n＝0． 令y＝﹣mx﹣n， 则当x＝﹣2时，y＝2m﹣n＝﹣（﹣2m+n）＝0， 所以函数y＝﹣mx﹣n的图象经过点（﹣2，0）． 如图所示， 当x＜﹣2时，一次函数y＝﹣mx﹣n的图象在x轴下方，即﹣mx﹣n＜0， 所以不等式﹣mx﹣n＜0的解集是：x＜﹣2． 故选：D． 5．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【解答】解：根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA， ∵∠ABH＝∠CBA， ∴△HBA∽△ABC． 故甲的作法正确． 根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，直线FG为线段AC的垂直平分线， ∴点M为AB的中点，点N为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC． 故乙的作法正确． ∴甲、乙两人的作法都正确． 故选：A． 6．（4分）如图，点E在边长为6的正方形ABCD的边BC上，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与CD交于点G．若点G恰好是CD的中点，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：如图，连接GE， ∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置， ∴BE＝DF，AF＝AE， ∵AG⊥EF， ∴AG垂直平分EF， ∴FG＝GE， ∵点G是CD的中点， ∴DG＝CG＝3， ∴FG＝3+FD＝3+BE， ∵GE2＝CG2+CE2， ∴（3+BE）2＝9+（6﹣BE）2， ∴BE＝2， 故选：C． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） （多选）7．（5分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（　　） A．3a＞﹣3b B．a﹣c＞b﹣c C． D．a+3＜b+3 【解答】解：根据图示，可得a＜b． ∵a＜b， ∴﹣3a＞﹣3b，但是3a＞﹣3b不一定成立， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b， ∴a﹣c＜b﹣c， ∴选项B不符合题意； ∵a＜b， ∴＜， ∴选项C符合题意； ∵a＜b， ∴a+3＜b+3， ∴选项D符合题意． 故选：CD． （多选）8．（5分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论错误的是（　　） A．函数值y随x增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点（1，0） D．当x＝a时，y＝2a+2 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4）， ∴4＝﹣k﹣k， 解得k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+2， ∴函数值y随x的增大而减小，故选项A错误，符合题意； 函数图象经过第一、二、四象限，故选项B错误，符合题意； 图象与x轴交于点（1，0），故选项C正确，不符合题意； 当x＝a时，原式＝﹣2a+2，故选项D错误，符合题意； 故选：ABD． （多选）9．（5分）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B． C．（1，3） D． 【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O， ∴△ABO∽△A′B′O，且相似比为1：2， ∵点A的坐标为（2，6）， ∴点A′的坐标为（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（1，3）或（﹣1，﹣3）， 故选：AC． （多选）10．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵一次函数为y＝x+k， ∴y随x的增大而增大， 故选项A和C不合题意； B、由一次函数的图象可得k＞0，正比例函数图象可得k＞0，符合题意； D、由一次函数的图象可得k＜0，正比例函数图象可得k＜0，符合题意． 故选：BD． 三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11．（4分）若代数式，则x的取值范围是 　1＜x＜2　． 【解答】解：∵， ∴2﹣x＞0且x﹣1＞0， 解得1＜x＜2， 故答案为：1＜x＜2． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为 　3﹣　． 【解答】解：由点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧， 得AC＝AB＝＝， 得OC＝﹣3， 得C点的横坐标为3﹣． 故答案为：3﹣． 13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，则DE与BC之间的距离是 　　． 【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，AF的延长线交BC于点H，则AF＝1，如图所示： ∵DE∥BC，AF⊥DE， ∴AH⊥BC， ∵AB＝4，AC＝3，BC＝5， ∴AB2+AC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形，即∠BAC＝90°， 由三角形的面积公式得：S△ABC＝BC•AH＝AB•AC， ∴AH＝＝＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴AF＝， ∵FH＝AH﹣AF＝． 即DE与BC之间的距离为． 故答案为：． 14．（4分）在直角坐标系中，已知点A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 　（1，5）　． 【解答】解：∵A（0，2），B（1，0），C（2，3）， ∴线段AB的中点坐标为O（，1），线段AC的中点坐标为O′（1，），线段BC的中点坐标为O″（，）， 以AB为平行四边形的对角线时，CO＝DO， ∴点D的坐标为（2×﹣2，2×1﹣3），即D（﹣1，﹣1），（不符合题意舍去）； 以AC为平行四边形的对角线时， BO′＝DO′， ∴点D′的坐标为（2×1﹣1，2×﹣0）），即D′（1，5）； 以B'C'为平行四边形的对角线时， AO'＝O'D″， ∴点D′的坐标为（2×﹣0，2×﹣2）），即D″（3，﹣1）不符合题意舍去）． 综上所述，点D的坐标为（1，5） 故答案为：（1，5）． 四、解答题（共8小题，共90分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）（1）计算：； （2）已知，，求a2﹣ab+b2． 【解答】解：（1）原式＝4﹣3+（）2﹣（）2 ＝4﹣3+3﹣5 ＝2﹣3； （2）∵a＝+，b＝﹣， ∴a+b＝2，ab＝13﹣5＝8， ∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×8＝28． 16．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出解集． 【解答】解：由x﹣（3x﹣5）＞﹣1得：x＜3， 由﹣1≤得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜3， 将解集表示在数轴上如下： 17．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF． （1）求证：四边形AEBF是菱形； （2）若AC＝4，BF＝5，连接CD，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵DE＝DF， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴四边形AEBF是菱形； （2）解：如图， 由（1）得：四边形AEBF是菱形， ∴AE＝BF＝BE＝5， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE＝＝＝3， ∴BC＝CE+BE＝3+5＝8， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4， ∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝×4＝2． 18．（11分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，＝　1：3　；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段AB上找一点P，使＝； ②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC． 【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD， ∴＝＝； 故答案为：1：3． （2）①如图②中，点P即为所求作． ②如图③中，点P即为所求作． 19．（12分）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B型无人机共需6200元． （1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【解答】解：（1）设A型无人机的单价是x元，B型无人机的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型无人机的单价是800元，B型无人机的单价是600元； （2）设购买m台A型无人机，则购买（100﹣m）台B型无人机， 根据题意得：100﹣m≤2m， 解得：m≥． 设学校购买100台无人机共花费w元，则w＝800×0.9m+600×0.8（100﹣m）， 即w＝240m+48000， ∵240＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m≥，且m为正整数， ∴当m＝34时，w取得最小值，最小值为240×34+48000＝56160（元）． 答：购买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元． 20．（10分）【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线AB﹣BC﹣CD表示观光车到终点的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段CD表示的函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 【解答】解：（1）设线段CD表示的函数表达式为y＝kx+b， 把（3，24），（4.5，0）分别代入，得： ， 解得：， ∴线段CD表示的函数表达式为y＝﹣16x+72． （2）由图可得，当y＝40时，﹣16x+72＝40， 解得x＝2， ∴2﹣1＝1（小时）， ∴观光车在景点甲停留了1小时． 21．（13分）如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直线AD的函数表达式； （2）若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为﹣1，求S△BOC； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）分别代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x﹣3； （2）当y＝﹣1时，x﹣3＝﹣1，解得x＝2， ∴C（2，﹣1）， ∴S△BOC＝×3×2＝3； （3）存在． 作点D关于x轴的对称点D′，如图，则D′（﹣1，4）， 连接CD′交x轴于点P，则PD＝PD′， ∴PD+PC＝PD′+PC＝CD′， ∴此时PD+PC的值最小， 设直线CD′的解析式为y＝mx+n， 把D′（﹣1，4），C（2，﹣1）分别代入得， 解得， ∴直线CD′的解析式为y＝﹣x+， 当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝， ∴P点坐标为（，0）时，PC+PD最小． 22．（14分）在△ABC中，AC＝BC． （1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE； （2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE， ∴AC﹣CD＝BC﹣CE， ∴AD＝BE； （2）解：AD＝BE成立，理由如下： 由旋转可知，∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （3）解：把线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接DE，BE，如图， 则CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴CE＝CD＝2，BE＝AD＝1，∠CEB＝∠CDA＝135°， ∴DE2＝CD2+CE2＝8， ∵∠DEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$