福建省福州市仓山区（金山中学、外国语等多校联考）2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

福建省福州市仓山区（金山中学、外国语等多校联考）2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷 一、单选题（每题4分，共10题40分） 1．（4分）下列是一次函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2+5 C． D．y+1 2．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1 3．（4分）如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15m，则池塘两端A，B的距离为（　　） A．45m B．30m C．22.5m D．7.5m 4．（4分）一鞋店试销一款女鞋，销量情况如表：这个鞋店的经理最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（　　） 型号 22.5 23 23.5 24 24.5 数量/双 5 10 15 8 3 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 5．（4分）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 6．（4分）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量AC＝2dm，BD＝3dm，则这个风筝的面积是（　　） A．6dm2 B．3dm2 C． D． 7．（4分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 8．（4分）截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从2021年的58万辆到2023年的302万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．58（1+2x）＝302 B．58（1+x）2＝302 C．58+58（1+x）＝302 D．58[1+（1+x）+（1+x）2]＝302 9．（4分）平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＝0 D．m＜0 二、填空题（每题4分，共6题24分） 11．（4分）在▱ABCD中，若AB＝4，BC＝3，则它的周长等于 　 　． 12．（4分）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 　 　． 13．（4分）某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如表，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）你会推荐 　 　． 甲 乙 丙 平均分 92 94 94 方差 35 35 23 14．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根是x1＝，x2＝，则x1+x2的结果是　 　． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝AO，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AD于点E，连接OE，则∠DOE＝　 　°． 16．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　 　.（写出所有正确的序号） 三、解答题（共9题86分） 17．（8分）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0． 18．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形． 19．（8分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 … 输出y … 9 7 5 3 4 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为3时，输出的y值为 　 　； （2）求当x＜1时解析式． 20．（8分）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 【收集数据】 测试成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79； 【整理数据】 30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； 【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表： 年级 七 八 九 人数 8 12 10 平均数 69.5 72.0 77.0 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为 　 　； （2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； （3）求被抽取30名学生的平均测试成绩． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值． 22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB． 23．（10分）随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） A 3 4 B 3.2 4.7 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，销售A，B两种多媒体教学设备利润共y万元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 24．（12分）设直线y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线x＝3交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线x＝3于点P． （1）如图1，当时，求点P的坐标 　 　； （2）当k＜0时，记点A（a，0），点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ．试探究直线PQ是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点M在直线x＝3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连MB．在运动过程中，直线MB交x轴于点N，求出与的数量关系． 25．（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E是射线AD上的动点，当点E动到∠CBD的角平分线上时，连接BE，交AC于点G，交CD于点H，点F在是线段BE的中点，连接DF，CF． （1）证明：DF⊥BE； （2）点Q是线段EF上一点，连接AQ，DQ，QC，当∠BQD＝∠CBE+∠BFC时，证明：∠BQD＝∠EDF； （3）在（2）的基础上，是否在射线BC上存在一点P，使得四边形DHPQ为菱形？请说明理由． 参考答案与试题解析 一、单选题（每题4分，共10题40分） 1．（4分）下列是一次函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2+5 C． D．y+1 【解答】解：A．y＝2x是一次函数，故本选项符合题意； B．y＝x2+5是二次函数，故本选项不符合题意； C．y＝是反比例函数，故本选项不符合题意； D．y+1是代数式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1 【解答】解：x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2． 故选：A． 3．（4分）如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15m，则池塘两端A，B的距离为（　　） A．45m B．30m C．22.5m D．7.5m 【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×15＝30（m）， 故选：B． 4．（4分）一鞋店试销一款女鞋，销量情况如表：这个鞋店的经理最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（　　） 型号 22.5 23 23.5 24 24.5 数量/双 5 10 15 8 3 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：B． 5．（4分）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【解答】解：把x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0得： 4+2b+2＝0， 解得：b＝﹣3， 故选：D． 6．（4分）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量AC＝2dm，BD＝3dm，则这个风筝的面积是（　　） A．6dm2 B．3dm2 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2dm，BD＝3dm， ∴菱形ABCD的面积＝， 故选：B． 7．（4分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为x≤2， ∴不等式ax+b≥0的解集是x≤2， 故选：D． 8．（4分）截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从2021年的58万辆到2023年的302万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．58（1+2x）＝302 B．58（1+x）2＝302 C．58+58（1+x）＝302 D．58[1+（1+x）+（1+x）2]＝302 【解答】解：根据题意得：58（1+x）2＝302． 故选：B． 9．（4分）平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（，0），， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+， ∵坐标原点O关于直线AB对称的点为O′， ∴直线OO′的解析式为y＝x， ∴， 解得， ∴直线AB与直线OO′的交点坐标为（，）， 设点O′（a，b），则＝，＝， ∴a＝，b＝， ∴O′（，）． 故选：D． 10．（4分）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y＝kx+b（k≠0）．在我的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，m＝（x2﹣x1）（y2﹣y1），当k＞0时，m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＝0 D．m＜0 【解答】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得， y1＝kx1+b，y2＝kx2+b， 两式相减得， y1﹣y2＝k（x1﹣x2）， 所以， 因为k＞0， 所以， 则（y1﹣y2）（x1﹣x2）＞0， 所以（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0， 则m＞0． 故选：A． 二、填空题（每题4分，共6题24分） 11．（4分）在▱ABCD中，若AB＝4，BC＝3，则它的周长等于 　14　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝3， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3， ∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+3）＝14， 故答案为：14． 12．（4分）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 　y＝2x+1　． 【解答】解：函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是y＝2x+1． 故答案为：y＝2x+1． 13．（4分）某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如表，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）你会推荐 　丙　． 甲 乙 丙 平均分 92 94 94 方差 35 35 23 【解答】解：由表知乙、丙成绩的平均数最高，而丙的方差比乙小， ∴丙总体水平高且状态稳定， ∴如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）会推荐丙， 故答案为：丙． 14．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根是x1＝，x2＝，则x1+x2的结果是　　． 【解答】解：∵x1＝，x2＝， ∴x1+x2＝+＝﹣． 故答案为﹣． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝AO，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AD于点E，连接OE，则∠DOE＝　45　°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝AC，OB＝BD， ∴OA＝OB， ∵AB＝AO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠AOD＝120°， ∵AE＝OA， ∴∠AOE＝∠AEO＝75°， ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝120°﹣75°＝45°， 故答案为：45． 16．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　②③④　.（写出所有正确的序号） 【解答】解：①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AECD为矩形， ∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°， ∴BE＝BC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝BC， ∴AD＝BC， 故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AD＝BC， 故②正确； ③∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴BC⊥AB， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， 故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中， ， ∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH， ∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上， 故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 三、解答题（共9题86分） 17．（8分）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0． 【解答】解：x2﹣6x+2＝0， x2﹣6x+9＝﹣2+9， （x﹣3）2＝7， x﹣3＝±， ∴x1＝3+，x2＝3﹣． 18．（8分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠B＝∠D，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AE＝CF， 在△EBC与△FDA中， ， ∴△EBC≌△FDA（SAS）， ∴CE＝AF， ∴四边形AECF是平行四边形． 19．（8分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 … 输出y … 9 7 5 3 4 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为3时，输出的y值为 　6　； （2）求当x＜1时解析式． 【解答】解：（1）由示意图知当x≥1时，y＝2x， 令x＝3，则y＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）由示意图知当x＜1时，y＝kx+b， 将（0，3）和（﹣2，5）代入得， ， 解得， 所以当x＜1时解析式为y＝﹣x+3． 20．（8分）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 【收集数据】 测试成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79； 【整理数据】 30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； 【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表： 年级 七 八 九 人数 8 12 10 平均数 69.5 72.0 77.0 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为 　74　； （2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； （3）求被抽取30名学生的平均测试成绩． 【解答】解：（1）抽取的30名学生测试成绩的中位数为：＝74， 故答案为：74； （2）×618＝206， 答：估计优秀的学生大约为206人； （3）＝73（分）， 答：被抽取30名学生的平均测试成绩为73分． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值． 【解答】解：（1）∵方程没有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣8（k﹣1）＜0， ∴k＞； （2）∵方程的两个根分别为m，n， ∴mn＝，m+n＝1， ∵m2+n2＝9， ∴（m+n）2﹣2mn＝9， ∴1﹣（k﹣1）＝9， ∴k＝﹣7． 22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CD＝AB． 【解答】（1）解：如图，CD为所作； （2）证明：延长CD到E点使DE＝CD， ∵CD为AB边上的中线， ∴AD＝BD， ∵CD＝ED，AD＝BD， ∴四边形ACBE为平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE为矩形， ∴AB＝CE， ∴CD＝AB． 23．（10分）随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） A 3 4 B 3.2 4.7 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，销售A，B两种多媒体教学设备利润共y万元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【解答】解：（1）由题意得，购进B种多媒体设备（20﹣x）套， y＝（4﹣3）x+（4.7﹣3.2）（20﹣x）＝﹣0.5x+30； （2）∵公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍， ∴20﹣x≤4x， 解得：x≥5， ∵购进A，B两种多媒体设备共20套， ∴x＜20， ∴5≤x＜20，且x为整数， ∴x＝5时，y取最大值为27.5， 答：购进A种多媒体设备5套时，能获得最大利润，最大利润是27.5万元． 24．（12分）设直线y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线x＝3交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线x＝3于点P． （1）如图1，当时，求点P的坐标 　（3，5）　； （2）当k＜0时，记点A（a，0），点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ．试探究直线PQ是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点M在直线x＝3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连MB．在运动过程中，直线MB交x轴于点N，求出与的数量关系． 【解答】解：（1）当时，y＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴OB＝3， 当y＝0时，0＝﹣x+3， 解得：x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， 在y轴正半轴上取点E（0，5），过点E作EF⊥y轴，使EF＝OB＝3，且点F在第一象限，如图1， ∴F（3，5）， 设直线BF的解析式为y＝mx+n，把F（3，5），B（0，3）代入，得：， 解得：， ∴直线BF的解析式为y＝x+3， 当x＝3时，y＝×3+3＝5， ∴P（3，5）， 故答案为：（3，5）； （2）直线PQ经过定点（，）．理由如下： ∵直线y＝kx+3与x轴交于点A（a，0）， ∴ka+3＝0， ∴k＝﹣， ∴y＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 过点P作PK⊥y轴于K，如图2， ∵BP⊥AB， ∴∠PBK+∠ABO＝90°， ∵∠PKB＝∠AOB＝90°， ∴∠PBK+∠BPK＝90°， ∴∠BPK＝∠ABO， 由题意知点P的横坐标为3， ∴PK＝3， ∴PK＝OB， ∴△BPK≌△ABO（ASA）， ∴BK＝OA＝a， ∴OK＝3+a， ∴P（3，3+a）， ∵点Q是y轴负半轴上一点，且OQ＝OA， ∴Q（0，﹣a）， 设直线PQ的解析式为y＝ex+f，把P（3，3+a），Q（0，﹣a）代入， 得：， 解得：， ∴直线PQ的解析式为y＝x﹣a， ∵x＝时，y＝×﹣a＝， ∴直线PQ经过定点（，）． （3）如图，OB＝OD＝3，设点M的运动时间为t秒，则M（3，t）， 设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝t， ∴k＝， ∴y＝x+3， 当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝， ∴N（，0）， 当t＜3时，点N在点D的右侧，如图， ∴ON＝， ∴DN＝ON﹣OD＝﹣3＝， ∴＝＝﹣， 又∵DM＝t， ∴＝， ∴＝﹣， 即﹣＝； 当t＞3时，点N在点D的左侧，如图， 则DN＝3﹣＝， ∴＝＝﹣， ∵＝， ∴+＝； 综上所述，当t＜3时，﹣＝；当t＞3时，+＝． 25．（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E是射线AD上的动点，当点E动到∠CBD的角平分线上时，连接BE，交AC于点G，交CD于点H，点F在是线段BE的中点，连接DF，CF． （1）证明：DF⊥BE； （2）点Q是线段EF上一点，连接AQ，DQ，QC，当∠BQD＝∠CBE+∠BFC时，证明：∠BQD＝∠EDF； （3）在（2）的基础上，是否在射线BC上存在一点P，使得四边形DHPQ为菱形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEB， ∵点E在∠CBD的平分线上， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∵F是BE的中点， ∴DF⊥BE； （2）证明：如图1， 延长BC，交DF的延长线于点P， ∵∠DBF＝∠PBF，∠BFD＝∠BFP＝90°， ∴∠P＝∠BDF， ∴BD＝BP， ∴DF＝FP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCP＝∠BCD＝90°， ∴CF＝FP＝DF＝DP， ∴∠P＝∠FCP＝∠CBE+∠BFC， ∴∠BDF＝∠CBE+∠BFC， 由（1）得， BD＝DE，F是BE的中点， ∴∠EDF＝∠BDF＝∠CBE+∠BFC， ∵∠BQD＝∠CBE+∠BFC， ∴∠BQD＝∠EDF； （3）解：如图1， 当P在DF和射线BC的交点时，四边形DHPQ是菱形，理由如下： 设∠DBE＝∠DEB＝∠PBF＝α， 由（2）知， ∠P＝∠BQD，BF是DP的垂直平分线， ∴DH＝PH，DQ＝PQ， ∵∠DFQ＝∠DFP， ∴∠FDQ＝∠PBF＝α， ∵∠CDE＝∠ADC＝90°， ∴∠CDF+∠EDF＝90°， ∵∠DFE＝90°， ∴∠DEB+∠EDF＝90°， ∴∠CDF＝∠DEB＝α， ∴∠CDF＝∠FDQ， ∴∠DHF＝∠DQF， ∴DH＝DQ， ∴DH＝DQ＝PQ＝HP， ∴四边形DHPQ是菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/10 5:42:57；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$