2024年中考数学母题揭秘专题讲义：专题12 平面直角坐标系、函数、一次函数及应用

专题12 平面直角坐标系、函数、一次函数及应用 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 命题意图 考查平面直角坐标系，考查函数的定义、自变量、函数值、解析式，考查函数图象，考查正比例函数与一次函数的概念、图象、性质，考查用待定系数法求正比例函数、一次函数的表达式．考查一次函数与二元一次方程组的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★☆☆☆☆ 考查平面直角坐标系中点的坐标特征，考查函数及相关概念，考查正比例函数、一次函数的概念、图象和性质．考查正比例函数、一次函数的应用． 答题技巧 1．要熟记几种类型的点的坐标特征，如：x轴或y轴上的点的坐标特征，第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上点的坐标特征，各个象限内点的坐标特征，平行于x轴或y轴的直线上的点的坐标特征等． 2．与点的坐标有关的探究题，主要以图形规律探究为主，此类题中图形的变化具有周期性，要先确定周期及图形的变化特点，然后用所求总数除以一个周期包含的次数，得到余数，进而使所求问题得以解决． 3．解答规律探究问题的一般过程：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．结合平面直角坐标系这个特定背景，需加强关注点的变化规律，即点的平移方向与距离及其坐标如何变化等． 4．判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 5．函数解析式及函数值 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． （4）根据函数值的意义，已知自变量的值，就可以求出相应的函数值；反过来，已知函数值，也可以运用方程思想，求出自变量的值． 6．一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 7．由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： （1）根据图象找出交点横坐标； （2）不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围． 8．一次函数与方程（组）、不等式的实际应用解题要点： （1）利用图象交点的意义及图象关系将实际问题转化为一次函数问题 （2）在解题中要分清图象所对应的实际问题中的参量，同时要注意自变量的取值范围 （3）利用一次函数的性质进行方案设计与决策，一般先求出函数表达式，结合不等式求出自变量的取值范围，然后再利用函数的增减性或函数图象进行决策． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 知识盘点 1．平面直角坐标系 （1）在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．建立坐标系的平面叫做坐标平面． （2）各象限内点的坐标的符号特点：第一象限：（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）． （3）坐标轴上的点：横轴上的点纵坐标为0，纵轴上的点横坐标为0．反之，横坐标为0的点在纵轴上，纵坐标为0的点在横轴上．原点坐标是（0，0）． （4）点到坐标轴的距离：点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． （5）关于横轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．关于纵轴对称的两点，纵坐标相等，坐标互为相反数．关于原点对称的两点，横、纵坐标分别互为相反数． （6）平行于坐标轴的直线：若A，B两点的横坐标相同，则直线AB平行于纵（y）轴；若A，B两点的纵坐标相同，则直线AB平行于横（x）轴． （7）平面内的点与有序实数对一一对应． （8）用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x－a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y－b））． 2．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 3．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题 有意义． 4．函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 5．函数的图象及其画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 6．一次函数与正比例函数的定义 如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质． 7．一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线．它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）． 8．一次函数与正比例函数的图象和性质 函数 系数取值 大致 图象 经过的象限 函数性质 y=kx （k≠0） k>0 一、三 y随x增大而增大 k<0 二、四 y随x增大而减小 y=kx+b （k≠0） k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 9．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）由题意设出函数的关系式； （2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组； （3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值； （4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出． 10．一次函数与一元一次方程 直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标． 11．一次函数与一次不等式 从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零（即kx＋b＞0）的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围． 12．一次函数与二元一次方程组 两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 13．一次函数的图象的画法： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 1 【母题来源】（2024•滨州） 【母题再现】 若点在第二象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在第二象限，可得，即可解得答案． 【解答】解：点在第二象限， ， 解得：； 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 2 【母题来源】（2024•广西） 【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的位置即可得出答案． 【解答】解：点的坐标为． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 3 【母题来源】（2024•安徽） 【母题再现】 如图，在中，，，，是边上的高．点，分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为，则关于的函数图象为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作于，求出，；可得，，故，从而，；证明，可得，故，从而，观察各选项可知，符合题意． 【解答】解：过作于，如图： ，，， ， 是边上的高， ； ，， ， ，； ，， ， ， ， ， ， 随的增大而减小，且与的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，符合题意； 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 4 【母题来源】（2024•江西） 【母题再现】 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案； 【解答】解：将常温中的温度计插入一杯的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是； 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 5 【母题来源】（2024•广东） 【母题再现】 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】数形结合求不等式的解集，逐一判断四个选项即可． 【解答】解：．不等式的解集是，故本选项不符合题意； ．不等式的解集是，故本选项符合题意； ．不等式的解集是，故本选项不符合题意； ．不等式的解集是，故本选项不符合题意； 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 6 【母题来源】（2024•山西） 【母题再现】 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为　　 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可设，利用待定系数法求出，即得、之间的函数关系式． 【解答】解：蛇的长度是其尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， 与之间的关系式为． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 7 【母题来源】（2024•威海） 【母题再现】 同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是　　 A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息36分钟 【答案】 【分析】根据函数图象推导出点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，据此判断；乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与的距离，从而判断，；设小时两辆车相遇，依题意得：，解答即可判断． 【解答】解：根据函数图象可得两地之间的距离为， 两车行驶了4小时，同时到达地，如图所示，在小时，两侧同向运动，在第2小时，即点时，两者距离发生改变，此时乙车休息，点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， 乙车休息了1小时，故不正确，不符合题意； 设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， 根据题意，乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，， ，即， 在时，乙车不动，则甲车的速度是， 乙车速度为，故不正确，不符合题意； 的距离为（千米），故不正确，不符合题意； 设小时两辆车相遇，依题意得：， 解得：，即小时时，两车相遇，故正确，符合题意； 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 8 【母题来源】（2024•内江） 【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以，， 在中， ， 所以． 由所给旋转方式可知， 点为正整数）在直线上． 因为， ， ， ， 所以， 令， 解得， 所以， 即． 令点的坐标为， 所以， 解得（舍正）， 所以， 所以点的坐标为． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 9 【母题来源】（2024•南充） 【母题再现】 当时，一次函数有最大值6，则实数的值为　　 A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】 【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，一次函数有最大值6， ， 解得，（舍去）， 当，即时，随的增大而减小， 当时，一次函数有最大值6， ， 解得，（舍去）， 综上，当时，一次函数有最大值6，则实数的值为0或， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 10 【母题来源】（2024•山东） 【母题再现】 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 　　． 【答案】． 【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【解答】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ， 发现规律：点经过3次运算后还是， ， 点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 11 【母题来源】（2024•绥化） 【母题再现】 如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，每隔七个点，点的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现， 又因为余1， 所以， 则点的坐标为． 故答案为：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 12 【母题来源】（2024•凉山州） 【母题再现】 如图，一次函数的图象经过、两点，交轴于点，则的面积为 　　． 【答案】9． 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，根据三角形面积公式计算面积即可． 【解答】解：一次函数的图象经过、两点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，， ， ． 故答案为：9． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 13 【母题来源】（2024•绥化） 【母题再现】 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间 之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择 　　种电动车更省钱（填写或． ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，的值 　　． 【答案】（1）、两种电动车的单价分别为1000元、3500元；（2）当购买种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元；（3）；5或40． 【分析】（1）设、两种电动车的单价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，根据题意得出的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解； （3）①根据函数图象，即可求解； ②分别求得，的函数解析式，根据，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）设、两种电动车的单价分别为元、元， 由题意得，， 解得：， 答：、两种电动车的单价分别为1000元、3500元． （2）设购买种电动车辆，则购买8种电动车辆， ， 解得：， 设所需购买总费用为元， 则， ， 随着的增大而减小， 取正整数， 时，最少， （元， 答：当购买种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元． （3）①两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为， 所用时间（分钟）， 根据函数图象可得当时，更省钱， 小刘选择种电动车更省钱， 故答案为：． ②设， 将代入得， ， 解得：， ， 当时，， 当时，设， 将、代入得， ， 解得：， ， 依题意，当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：（舍去） 或， 故答案为：5或40． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 14 【母题来源】（2024•黑龙江） 【母题再现】 甲、乙两货车分别从相距的、两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 　　，乙货车的速度是 　　； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1）30，40； （2）； （3）或或． 【分析】（1）分别根据“速度路程时间”求出甲货车到达配货站之前的速度及乙货车的速度即可； （2）根据题意分别求出点、的横坐标，从而写出其坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据“路程速度时间”分别写出线段、、对应的函数关系式，讨论3种情况：当、时，分别写出甲、乙两货车与配货站的距离，二者相等列方程并求解；当乙货车返回地过程中与甲货车相遇时，两车与地距离相等，列方程并求解即可． 【解答】解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是；乙货车的速度是． 故答案为：30，40． （2），， 点，． 设线段对应的函数解析式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式为． （3）线段对应的函数表达式为， 线段对应的函数表达式为， 线段对应的函数表达式为． 当时，甲货车离配货站的距离为，乙货车离配货站的距离为， 根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得，解得； 当时，甲货车离配货站的距离为，乙货车离配货站的距离为， 根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得，解得； 当乙货车返回地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与地距离相等”， ，解得； 出发或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 15 【母题来源】（2024•天津） 【母题再现】 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．如图图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： ①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 　　 0.6 　　 　　 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　　； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； （Ⅱ）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ）①0.15，0.6，1.5；②0.075；③当时，与的函数解析式为； （Ⅱ）从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为． 【分析】（Ⅰ）①由图象中数据直接得出结论； ②用文化广场离家的路程除以张华所用时间得出速度； ③用路程、速度、时间之间的关系，分段写出函数解析式即可； （Ⅱ）设张华出发分钟时和爸爸相遇，根据张华所走路程爸爸所走路程列出方程，解方程求出，再求出路程即可． 【解答】解：①由图象可填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 0.15 0.6 0.6 1.5 故答案为：0.15，0.6，1.5； ②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为， 故答案为：0.075； ③张华从家到画社的速度为：， 张华从画社到分化广场的速度为， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，与的函数解析式为； 爸爸的速度为：， 设张华出发分钟时和爸爸相遇， 根据题意得：， 解得， ， 答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 16 【母题来源】（2024•广安） 【母题再现】 某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． （1）求，两种花卉的单价． （2）该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种花卉的单价为3元株，种花卉的单价为5元株； （2）当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 【分析】（1）设种花卉的单价为元株，种花卉的单价为元株，依据购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元列出二元一次方程组，解答即可； （2）设采购种花卉株，则种花卉 株，总费用为元．依据采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍列出不等式，解答即可． 【解答】解：（1）设种花卉的单价为元株，种花卉的单价为元株． 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元株，种花卉的单价为5元株； （2）设采购种花卉株，则种花卉 株，总费用为元． 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当 时的值最小， ， 此时， 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 1．（2024•雁塔区校级模拟）若直线经过，经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2024•全椒县三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，若点在直线上，则实数的值为　　 A． B．0 C．4 D．6 3．（2024•宁明县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 4．（2024•蓬江区校级三模）关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．随的增大而增大 B．当时， C．函数图象与轴的交点为 D．函数图象经过第二、三、四象限 5．（2024•从江县校级二模）小亮先从家出发步行到公交站台后，再等公交车去学校．如图，折线表示这个过程中行驶路程与所花时间之间的关系，下列说法错误的是　　 A．从他家到公交车站台需行驶 B．他等公交车的时间为 C．公交车的速度是 D．他步行与乘公交车行驶的平均速度是 6．（2024•望都县校级三模）如图1，把一个长方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，袁浪浪以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．他根据实验数据制作如图2所示的函数图象，其中容器顶部离水面的距离为（厘米），注水时间为（分． （1）长方体的高度为 　　． （2）求该容器水面没过长方体后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）袁浪浪将长方体铁块去掉后，重新做注水实验，且水面上升速度为5厘米分，他发现当容器顶部离水面的距离为厘米时，两次实验的时间相同，求的值． 7．（2024•大荔县校级二模）小美在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．她通过实验验证了这个事实，部分测量结果如表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 7 7.5 8 8.5 （1）根据所测量的数据，求该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式； （2）小美的妈妈在市场买了一些水果，小美将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你计算出小美的妈妈购买水果的质量． 8．（2024•大连二模）如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量与充电所需时间的函数图象是线段．乙手机电量与充电所需时间的函数图象是折线． （1）当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ （2）求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．【分析】根据对称的性质得出两个点关于轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与轴的交点即可． 【解答】解：直线经过点，经过点，且与关于轴对称， 两直线相交于轴上， 与的交点坐标是； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据点，之间的关系，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【解答】解：把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得：， 实数的值为． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据函数图象，可以发现在点的左侧，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，然后即可写出不等式的解集． 【解答】解：由图象可得， 在点的左侧，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方， 不等式的解集为， 故选：． 4．【答案】 【分析】根据一次函数的增减性判断；根据函数图象与轴的交点判断；由函数图象与轴的交点判断；根据，的符号判断出即可． 【解答】解：．， 随的增大而减小，不符合题意； ．当时，，随的增大而减小， 当时，，不符合题意； ．当时，， 函数图象与轴的交点坐标是，符合题意； ．，， 函数的图象经过第一、二、四象限，不符合题意， 故选：． 5．【答案】 【分析】先从图象中获取信息，再根据速度、路程和时间的关系求解． 【解答】解：由图象得：从家到公交车站行驶1千米，用时10分钟， 速度为：，故是正确的； 等车时间为：分钟，故是正确的； 乘公交车的路程为：千米，用时间为：分钟， 公交车的速度为：，故是正确的； 步行与乘公交车行驶的平均速度为：，故是错误的； 故选：． 6．【答案】（1）20； （2）；自变量的取值范围为； （3）的值为． 【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出长方体的高； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量的取值范围； （3）根据水面上升速度为5厘米分，结合（2）的解析式列出方程组，即可解得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：0至时，容器顶部离水面的距离变小得快，3分钟后容器顶部离水面的距离变小减慢， 故长方体的高为； 故答案为：20； （2）容器水面没过长方体后与之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 该容器水面没过长方体后与之间的函数关系式为； 当时，，解答， 自变量的取值范围为； （3）重新做注水实验，水面上升速度为5厘米分， ， 在中，令得， 解得， 的值为． 7．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据给出的测量数据，利用待定系数法，即可求出该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式； （2）代入，求出的值即可． 【解答】解：（1）设该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得：， 小美的妈妈购买水果的质量为． 8．【答案】（1）分钟； （2）甲比乙少用25分钟． 【分析】（1）利用待定系数法求出甲手机电量与充电所需时间的函数关系式，再把代入计算即可； （2）求出线段所在直线的函数关系式，再分别把和代入计算即可． 【解答】解：（1）设甲手机电量与充电所需时间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， ， 当时，，解得， 答：当甲手机电量充至时，所需时间为分钟； （2）设线段所在直线的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， 线段所在直线的函数关系式为， 当时，，解得； 当时，，解得， （分钟）， 答：甲、乙两部手机电量充至时，甲比乙少用25分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$