2024年中考数学母题揭秘专题讲义：专题15 图形的初步认识、相交线与平行线

专题15 图形的初步认识、相交线与平行线 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 命题意图 考查点、线、面、体，考查直线、射线、线段，考查角的概念，角的度量，角的表示方法，余角和补角，考查点到线的距离以及两点之间线段最短，考查相交线、平行线，三线八角，考查平行线的性质与判定，考查和生活实际现象结合，意义在于让考生多观察实际生活，可以从实际生活中的现象联想数学知识． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★★★☆☆ 考查直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．考查角的有关概念，角的运算．考查相交线与平行线的定义，垂线的性质，平行线的性质和判定． 答题技巧 1．直线、射线、线段的方法归纳： （1）过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小． （2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想． （3）延伸与延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长． （4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换． （5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性，“只有”的含义是唯一性，“有且只有”与“确定”的意义相同． （6）射线：一要确定端点，二要确定延伸方向，二者缺一不可． 2．要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想． 3．对顶角 （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之，如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角． 4．邻补角 （1）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之，如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （2）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 知识盘点 1．点、线、面、体 （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． 如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面． 如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面． 如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线． （4）点：线与线相交形成点． 2．直线、射线、线段 （1）直线公理 经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． （2）直线相交 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点． （3）线段公理 两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． （4）两点间的距离 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （5）中点 点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点． （6）尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 3．角 1°=60'，1'=60″． 1周角=2平角=4直角=360°． 余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等． 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等． 4．角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．垂线 （1）垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足． （2）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （3）垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． （4）垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短． 6．线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线． （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 7．平行线 （1）平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b． 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画． 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合． 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （3）平行线的性质： ①两条直线平行，同位角相等； ②两条直线平行，内错角相等； ③两条直线平行，同旁内角互补． （4）平行线的判定： ①同位角相等，两条直线平行； ②内错角相等，两条直线平行； ③同旁内角互补，两条直线平行． 8．邻补角与对顶角 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线． ∠3+∠4=180° 9．同位角、内错角与同旁内角 （1）同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角．（同旁同侧） 如：∠1和∠5． （2）内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角．（内部异侧） 如：∠3和∠5． （3）同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角．（同旁内侧）如：∠3和∠6． （4）三线八角：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对． 1 【母题来源】（2024•甘肃） 【母题再现】 若，则的补角为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果两个角的和为，那么这两个角互为补角，据此即可求得答案． 【解答】解：若，则的补角为， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 2 【母题来源】（2024•广西） 【母题再现】 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 3 【母题来源】（2024•河南） 【母题再现】 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据方向角的定义，利用“两直线平行，内错角相等”可得答案． 【解答】解：根据“两直线平行线，内错角相等”可得， ， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 4 【母题来源】（2024•雅安） 【母题再现】 如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．30° 【答案】A 【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°， ∴∠AOC＝55°， ∴∠2＝∠AOC＝55°， 故选：A． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 5 【母题来源】（2024•深圳） 【母题再现】 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【解答】解：入射光线是平行光线， ， 由反射定律得：， ． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 6 【母题来源】（2024•包头） 【母题再现】 如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据平行线的性质和互补的定义解答即可． 【解答】解：， 与互补， ， ，， 与、互补， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 7 【母题来源】（2024•赤峰） 【母题再现】 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和三角尺的度数即可得到的度数． 【解答】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 8 【母题来源】（2024•齐齐哈尔） 【母题再现】 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由对顶角的性质得到，，求出，即可得到的度数． 【解答】解：， ， ． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 9 【母题来源】（2024•湖北） 【母题再现】 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 10 【母题来源】（2024•北京） 【母题再现】 如图，直线和相交于点，．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，由进行计算即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 11 【母题来源】（2024•达州） 【母题再现】 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【解答】解：如图， ， ， ，， ， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 12 【母题来源】（2024•南充） 【母题再现】 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，得出即可． 【解答】解：如图：， ， 两个平面镜平行放置， 经过两次反射后的光线与入射光线平行， ， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 13 【母题来源】（2024•连云港） 【母题再现】 如图，直线，直线，，则　　． 【答案】30． 【分析】由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 【解答】解：直线，直线， ， ， ， ． 故答案为：30． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 14 【母题来源】（2024•广西） 【母题再现】 已知与为对顶角，，则　　． 【答案】35． 【分析】根据对顶角的定义即可作答． 【解答】解：与为对顶角，， ． 故答案为：35． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 15 【母题来源】（2024•自贡） 【母题再现】 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 【答案】（1）见解析； （2）是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据，得到，再根据，得到，从而得到，得出； （2）通过（1）得出，再根据角平分线，得出，由此得出是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 16 【母题来源】（2024•盐城） 【母题再现】 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，． 若 　　，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】证明见解析． 【分析】选择①，利用证明，即可得到，减去公共边，得到； 选择②，无法证明； 选择③，利用证明，即可得到，减去公共边，得到． 【解答】证明：选择①， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择③， ， ， 在和中， ， ， ， ． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 1．（2024•雁塔区模拟）如图，，点在直线，平分，，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•临淄区二模）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2024•徐州三模）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于　　 A． B． C． D． 4．（2024•任城区校级三模）如图，，平分交于点，，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•合肥一模）将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024•碑林区校级一模）将一把直尺和一个正六边形按如图所示的位置放置，若，则的度数为 　　 7．（2024•秦安县校级三模）如图，，，，则　　． 8．（2024•秦安县校级三模）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为 　　． ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．【答案】 【分析】依据，即可得到，再根据，可得． 【解答】解：如图： ，， ， ， 平分， ， 又， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】过作直线直线，直线交于点，可得，已知，，可得、的度数，因为直线，所以直线，即，可得的度数． 【解答】解：过作直线直线，直线交于点， ， ， ， ， ， ， 直线， 直线， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得． 【解答】解：四边形为长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ， 故选：． 4．【答案】 【分析】根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 【解答】解：， ， ， ， 平分， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】、由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定； 、由题意得，利用邻补角即可求出的度数； 、过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出； 、利用角的计算可求出，从而可判断． 【解答】解：、， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 、过点作，如图， ， ， ， ， ， ； 故符合题意； 、，， ， ， 故不符合题意． 故选：． 6．【答案】． 【分析】延长到点，先求出，再求出，根据外角的性质得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【解答】解：延长交于点， 六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．【答案】． 【分析】过作，则，再通过对顶角的性质，邻补角的性质，平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过作， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．【答案】． 【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【解答】解：射线平分，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$