2024年小升初衔接专题：03 相反数、绝对值、有理数的大小比较

初中数学预科 §1.3 相反数、绝对值、有理数的大小比较 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．相反数 只有符号不同的两个数，互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0． 2．绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即 ． 3．有理数的大小比较 在水平的数轴上表示有理数．数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 一般地， （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小． ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ 知识 探究 1．相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数． 一般地，a和－a互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 0是唯一一个相反数等于它本身的数，即若a=－a，则a=0． （2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0． （3）相反数的几何意义： 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示a和－a，这两个数只有符号不同，它们互为相反数． （4）相反数的求法： 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．若原数带符号，则应先添加括号． 例如，－（+5）=－5，－（－5）=+5，－0=0． 注意：求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“－”号．如a的相反数为－a（a可以为正数、0、负数），a－b的相反数为－（a－b）． （5）相反数的判定： 判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0． 2．多重符号的化简： （1）多重符号化简的依据：相反数的定义． （2）多重符号化简的方法： ①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等； ②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数； ③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 3．绝对值 （1）绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 说明：一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小． （2）绝对值的代数定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即 ●如果，那么； ●如果，那么； ●如果，那么． 简记为： 或 ． （3）绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． 4．有理数的比较大小 （1）利用数轴（从形的角度） 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． （2）利用法则（从数的角度） 一般地，①正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小． 【说明】有理数的大小比较： ●不否定小学已学过的数的大小比较； ●解决了0与负数、负数与负数之间的大小比较． 典例剖析 题型1 相反数 【例1】　（2023秋•凉州区校级期末）的相反数是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【解答】解：的相反数是． 故选：． 【例2】　（2024•乌鲁木齐模拟）一个数的相反数是，则这个数是　　 A． B． C．6 D． 【答案】 【分析】根据相反数的额定义即可得出答案． 【解答】解：，的相反数是， 故选：． 【例3】　（2024春•香坊区校级月考）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和2 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可． 【解答】解：、和不互为相反数，故该选项错误； 、，，和不互为相反数，故该选项错误； 、，，和互为相反数，故该选项正确； 、，和2不互为相反数，故该选项错误； 故选：． 题型2 求一个数的绝对值 【例4】　（2024•新城区校级三模）的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：． 故选：． 【例5】　（2024•梁园区校级模拟）的绝对值是　　 A． B． C． D．2025 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：． 故选：． 【例6】　（2024•松原模拟）的绝对值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算； 【解答】解：的绝对值是； 故选：． 题型3 已知一个数的绝对值求原数 【例7】　（2024春•香坊区校级月考）一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．|5| B．5 C．﹣5 D．±5 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5． 故选：D． 【例8】　（2024•二七区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】数轴上表示一个数（设为所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值记作．正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．据此定义可知，如果一个数的绝对值等于，那么这个数是或． 【解答】解：根据绝对值的意义可知， 如果一个数的绝对值等于，那么这个数是或． 故选：． 【例9】　（2023秋•宝应县期末）若一个负数的绝对值等于8，则这个负数是 　　． 【答案】． 【分析】根据绝对值的性质找出绝对值等于8的负数即可． 【解答】解：， 这个负数是， 故答案为：． 题型4 绝对值的非负性 【例10】　（2023秋•射阳县期末）若，则的值为　　 A． B．3 C． D．2 【答案】 【分析】根据非负数的性质得出，，即可求出、的值，从而求出的值． 【解答】解：， 又，， ，， ，， ， 故选：． 【例11】　（2024春•南岗区校级期中）已知为有理数，则的最小值为 　　． 【答案】4． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：， 当时，的最小值是4． 故答案为：4． 【例12】　（2023秋•青龙县期末）若，则　　． 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：，而，， ，， 解得，， ． 故答案为：． 题型5 有理数的大小比较 【例13】　（2024•朝阳区校级模拟）在，，0，4中，绝对值最小的数是　　 A． B． C．0 D．4 【答案】 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 【解答】解：根据题意，得，，，，且， 故绝对值最小的数是0， 故选：． 【例14】　（2024•无为市三模）下列四个有理数中，最小的数是　　 A． B． C．0 D． 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值化简，再根据“正数负数”比较大小即可． 【解答】解：，， 即， 所以最小的数是． 故选：． 【例15】　（2024春•呼兰区校级月考）用“＞”“＜”“＝”号填空： 　　． 【答案】＜ 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝， ＞， ∴＜． 故答案为：＜． 1．绝对值与相反数 （1）绝对值是它本身的数是非负数；绝对值是其相反数的数是非正数． （2）绝对值是某个正数a的数有两个，它们互为相反数，分别为a和－a． （3）若两个数互为相反数，则这两个数的绝对值相等． 2．有理数的比较大小 （1）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值． （2）两个负数比较大小的步骤： 求绝对值→比较绝对值→绝对值大的反而小． 思想本质：将比较两个负数的大小转化为比较两个负数的绝对值的大小，即转化为小学已学过的两个正数的大小比较． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学预科 §1.3 相反数、绝对值、有理数的大小比较 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．相反数 只有符号不同的两个数，互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0． 2．绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即 ． 3．有理数的大小比较 在水平的数轴上表示有理数．数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 一般地， （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小． ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ ︽ 知识 探究 1．相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数． 一般地，a和－a互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 0是唯一一个相反数等于它本身的数，即若a=－a，则a=0． （2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0． （3）相反数的几何意义： 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示a和－a，这两个数只有符号不同，它们互为相反数． （4）相反数的求法： 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．若原数带符号，则应先添加括号． 例如，－（+5）=－5，－（－5）=+5，－0=0． 注意：求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“－”号．如a的相反数为－a（a可以为正数、0、负数），a－b的相反数为－（a－b）． （5）相反数的判定： 判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0． 2．多重符号的化简： （1）多重符号化简的依据：相反数的定义． （2）多重符号化简的方法： ①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等； ②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数； ③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 3．绝对值 （1）绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 说明：一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小． （2）绝对值的代数定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即 ●如果，那么； ●如果，那么； ●如果，那么． 简记为： 或 ． （3）绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． 4．有理数的比较大小 （1）利用数轴（从形的角度） 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． （2）利用法则（从数的角度） 一般地，①正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小． 【说明】有理数的大小比较： ●不否定小学已学过的数的大小比较； ●解决了0与负数、负数与负数之间的大小比较． 典例剖析 题型1 相反数 【例1】　（2023秋•凉州区校级期末）的相反数是　　 A．2 B． C． D． 【例2】　（2024•乌鲁木齐模拟）一个数的相反数是，则这个数是　　 A． B． C．6 D． 【例3】　（2024春•香坊区校级月考）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和2 题型2 求一个数的绝对值 【例4】　（2024•新城区校级三模）的值为　　 A． B． C． D． 【例5】　（2024•梁园区校级模拟）的绝对值是　　 A． B． C． D．2025 【例6】　（2024•松原模拟）的绝对值是　　 A． B． C． D． 题型3 已知一个数的绝对值求原数 【例7】　（2024春•香坊区校级月考）一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．|5| B．5 C．﹣5 D．±5 【例8】　（2024•二七区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是　　 A． B． C． D． 【例9】　（2023秋•宝应县期末）若一个负数的绝对值等于8，则这个负数是 　　． 题型4 绝对值的非负性 【例10】　（2023秋•射阳县期末）若，则的值为　　 A． B．3 C． D．2 【例11】　（2024春•南岗区校级期中）已知为有理数，则的最小值为 　　． 【例12】　（2023秋•青龙县期末）若，则　　． 题型5 有理数的大小比较 【例13】　（2024•朝阳区校级模拟）在，，0，4中，绝对值最小的数是　　 A． B． C．0 D．4 【例14】　（2024•无为市三模）下列四个有理数中，最小的数是　　 A． B． C．0 D． 【例15】　（2024春•呼兰区校级月考）用“＞”“＜”“＝”号填空： 　　． 1．绝对值与相反数 （1）绝对值是它本身的数是非负数；绝对值是其相反数的数是非正数． （2）绝对值是某个正数a的数有两个，它们互为相反数，分别为a和－a． （3）若两个数互为相反数，则这两个数的绝对值相等． 2．有理数的比较大小 （1）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值． （2）两个负数比较大小的步骤： 求绝对值→比较绝对值→绝对值大的反而小． 思想本质：将比较两个负数的大小转化为比较两个负数的绝对值的大小，即转化为小学已学过的两个正数的大小比较． 学科网（北京）股份有限公司 $$