2024年中考数学母题揭秘专题讲义：专题10 一元二次方程及应用

专题10 一元二次方程及应用 ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 命题意图 直接考查一元二次方程的解法，或在应用题中考查一元二次方程的解法．考查阅读理解能力和运算求解能力． 考向分析 中考频度：★★★☆☆ 难度系数：★★★☆☆ 考查一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程中根的判别式；考查一元二次方程的应用． 答题技巧 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a=1，b≠0，c≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a≠1，b≠0，c≠0时，首选公式法或因式分解法 2．列一元二次方程解应用题的“六字诀” （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 3．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语 如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等． 这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 知识盘点 1．一元二次方程的概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0． 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：（x+m）2=n（n≥0）的根是； （2）配方法：将ax2+bx+c=0（a≠0）化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解； （3）公式法：ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为 ； （4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解． 3．一元二次方程根的判别式 （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2-4ac<0时，方程无实数根． 4．一元一次不等式的解法 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1． 5．一元一次不等式的实际应用 分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式（组），解不等式（组），作答． 1 【母题来源】（2024•吉林） 【母题再现】 下列方程中，有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据根的判别式对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、化简为方程， ，，， △， 此方程没有实数根，不符合题意； 、，化简为， ，，， △， 此方程有两个相等实数根，符合题意； 、，化简为方程中， ，，， △， 此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 、方程，化简为可化为， ，，， △， 此方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 2 【母题来源】（2024•黑龙江） 【母题再现】 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】由根的判别式可得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【解答】解：根据题意得， 解得且． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 3 【母题来源】（2024•绥化） 【母题再现】 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题． 【解答】解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 4 【母题来源】（2024•乐山） 【母题再现】 若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　 A． B． C． D．6 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得：，，再结合所给的条件从而要求解． 【解答】解：关于的一元二次方程两根为、， ，， ， ， 即， 解得：． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 5 【母题来源】（2024•赤峰） 【母题再现】 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为　　 A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】 【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【解答】解：， ， 解得，， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 6 【母题来源】（2024•云南） 【母题再现】 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本甲种药品成本的年平均下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 7 【母题来源】（2024•内江） 【母题再现】 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由某市2021年底森林覆盖率为，2023年底森林覆盖率已达到即可列出方程． 【解答】解：根据题意得：， 故选：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 8 【母题来源】（2024•深圳） 【母题再现】 一元二次方程的一个解为，则　　． 【答案】2． 【分析】将代入一元二次方程，求出的值即可． 【解答】解：由题知， 将代入一元二次方程得， ， 解得． 故答案为：2． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 9 【母题来源】（2024•新疆） 【母题再现】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 【分析】根据当△时，方程有两个不相等的两个实数根可得△，再解即可． 【解答】解：由题意得： △， 解得：， 故答案为：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 10 【母题来源】（2024•眉山） 【母题再现】 已知方程的两根分别为，，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据根与系数的关系求出，，再把要求的式子进行通分，然后代值计算，即可得出答案． 【解答】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 11 【母题来源】（2024•烟台） 【母题再现】 若一元二次方程的两根为，，则的值为 　　． 【答案】6． 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：一元二次方程的两根为，， ，，， ． 故答案为：6． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 12 【母题来源】（2024•泸州） 【母题再现】 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　　． 【答案】14． 【分析】先利用跟与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，． ． 故答案为：14． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 13 【母题来源】（2024•齐齐哈尔） 【母题再现】 解方程：． 【分析】利用因式分解法求解可得． 【解答】解：， ， 则或， 解得，． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 14 【母题来源】（2024•遂宁） 【母题再现】 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）详见解答； （2）或． 【分析】（1）先确定、、，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于的方程，求解即可． 【解答】解：（1）， 这里，，， △ ． ， △． 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，， 则，． ，即， ． 整理，得． ． 解得，． 的值为或1． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 15 【母题来源】（2024•南充） 【母题再现】 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）． （2）的值为2． 【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）根据的取值范围确定整数的值为2，3，4，当时，解一元二次方程得到，，满足，都是整数，当或4时，此时方程解不为整数，故的值为2． 【解答】解：（1）原方程有两个不相等的实数根， △， △， 解得． （2）， 整数的值为2，3，4， 当时，方程为，解得，， 当或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，的值为2． ●◎○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○◎● 1．（2024•易门县二模）关于一元二次方程根的情况，正确的是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根． 2．（2024•长沙模拟）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为　　 A． B． C． D． 3．（2024•南阳模拟）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．（2024•花都区一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是　　 A． B． C． D．或 5．（2024•湖南模拟）解方程：（用配方法）． 6．（2024•大兴区校级模拟）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求的值． 7．（2024•廉江市二模）综合与实践 在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍．店主嘱咐，这些科普图书以30元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于30元且不高于45元．贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量（本与销售单价（元之间存在一次函数关系，对应如下表： 销售单价元 32 40 42 45 销售数量本 56 40 36 30 （1）求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （2）若某天销售科普图书获得的利润为400元，则该天销售科普图书的数量为多少本？ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ ︾ 1．【答案】 【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2．【分析】根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人，然后根据题意可列出方程：． 【解答】解：根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人， 全班共送：， 故选：． 3．【答案】 【分析】判断出判别式的值，可得结论． 【解答】解：对于一元二次方程， △， ， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 4．【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到，，再利用得到，然后解分式方程、检验得到的值． 【解答】解：关于的一元二次方程的两根为，， ，， ， ， 即， 化为整数方程为，解得，， 经检验，是方程的解，． 故选：． 5．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解： 移项，得 ， 即， ， 解得， 即． ，． 6．【答案】（1）证明见解答；（2）或． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出△，结合偶次方的非负性可得出△，进而可证出：无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【解答】（1）证明：△， ， △， 无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ，即， ， 解得：，， 的值为或． 7． 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，根据表格内的数据，利用待定系数法，可求出与之间的函数关系式，结合销售单价不低于30元且不高于45元，可得出的取值范围； （2）设该天科普图书的销售单价为元，则每本科普图书的销售利润为元，日销售量为，利用总利润每本科普图书的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值，代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为， 将，代入得：，解得：， 与的函数关系式为， 又销售单价不低于30元且不高于45元， 与的函数关系式为； （2）设该天科普图书的销售单价为元，则每本科普图书的销售利润为元，日销售量为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （本． 答：该天销售科普图书的数量为40本． 学科网（北京）股份有限公司 $$