2024年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校中考数学模拟试卷

2024年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．（3分）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．北京地铁 B．哈尔滨地铁 C．深圳地铁 D．广州地铁 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（x2y）2＝x4y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 4．（3分）正六边形的每个内角度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 5．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元（　　） A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011 6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4） 9．（3分）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 10．（3分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离s（m）与时间t（s）2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）m． A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝　 　． 12．（3分）方程的解为 　 　． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为　 　． 14．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E　 　． 15．（3分）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3000名学生　 　名． 16．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，且∠ODE＝30°，BE＝1　 　． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度． 20．（8分）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图： （1）该校一共有 　 　个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是 　 　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法 21．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上 （1）求证：△ABD≌ACE； （2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数． 22．（9分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元； （2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，A款七折优惠，B款每件让利10元，请你帮学校确定购买方案． 23．（9分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，D，G在同一直线上，且AD＝3，连接AC，CG，并延长AE交CG于点H． （1）求证：AH⊥GC． （2）求线段AH的长． 24．（10分）如图，过圆外一点P作圆O的切线PA交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），点D在优弧AB上运动，连接PD与圆的另一个交点为C （1）证明：PB是圆O的切线； （2）若点D是优弧AB的中点，且PC＝DE，求（tan∠ADP）2； （3）记，，求y关于x的解析式． 25．（10分）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”． （1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，求a的值； （3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求L的取值范围． 2024年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 【解答】解：∵， 故选：C． 【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2．（3分）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．北京地铁 B．哈尔滨地铁 C．深圳地铁 D．广州地铁 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：A．既不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．既是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（x2y）2＝x4y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式分别计算判断即可． 【解答】解：A、x2+x2＝6x2，故此选项不符合题意； B、x6÷x7＝x4，故此选项不符合题意； C、（x2y）8＝x4y2，故此选项符合题意； D、（x﹣y）3＝x2﹣2xy+y6，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 4．（3分）正六边形的每个内角度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解． 【解答】解：根据多边形的内角和定理可得： 正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷7＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形，解决本题的关键是利用多边形的内角和公式即可解决问题． 5．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元（　　） A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.5×1010． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】根据两直线平行，同位角相等进行判断和计算． 【解答】解：∵直线a∥b ∴∠1与其同位角相等，∠2与其同位角相等（两直线平行 又∠4的同位角与∠3与∠2的同位角之和为180°，∠5＝60°， ∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，题目难度不大，能正确运用定理进行推理是解答该题的关键． 7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案． 【解答】解：， 解不等式2x﹣1≥8，得：x≥3， 解不等式8﹣3x＜0，得：x＞2， 故不等式组的解集为：x≥2， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键． 8．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4） 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标． 【解答】解：y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 9．（3分）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 【分析】根据垂径定理可得AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可． 【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD＝AB＝12， 设OA＝x，则OC＝x， 在Rt△AOD中，OA4＝AD2+OD2， ∴x8＝122+（x﹣8）4， 解得：x＝13， ∴OA＝13． 故选：C． 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 10．（3分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离s（m）与时间t（s）2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）m． A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】依据题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可判断得解． 【解答】解：由题意得，S＝16t﹣4t2＝﹣2（t﹣2）2+16， ∵﹣2＜0， ∴当 t＝2时，s最大． ∴当t＝6时，汽车停下来． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能将二次函数解析式化为顶点式是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝　xy（x+1）（x﹣1）　． 【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+4）（x﹣1）， 故答案为：xy（x+1）（x﹣7） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．（3分）方程的解为 　x＝﹣1　． 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边都乘以x﹣2得，3＝﹣2﹣（x﹣2）， 解得x＝﹣8， 检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠8， 所以原分式方程的解是x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意不要丢检验． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为　（﹣4，﹣6）　． 【分析】利用关于x轴对称点的性质分析得出即可． 【解答】解：点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为：（﹣4． 故答案为：（﹣4，﹣6）． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 14．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E　13　． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．（3分）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3000名学生　300　名． 【分析】利用选择篮球的学生的百分比乘以3000即可得解． 【解答】解：3000×10%＝300（名）， 故答案为：300． 【点评】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取数据是解题的关键． 16．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，且∠ODE＝30°，BE＝1　0.36　． 【分析】连接OC，设⊙O的半径为r．在Rt△DEO中，利用三角函数求出r的值；根据等腰三角形的性质，求出∠BOC的度数，从而表示出扇形BOC的面积和△BOC的面积，根据“阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积”计算即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵CD⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∵∠ODE＝30°，BE＝1， ∴sin∠ODE＝，即＝，解得r＝2， 又∵OC＝OD， ∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠ODE＝60°， ∴S扇形BOC＝πr4＝r2， ∵OB＝r，CE＝DE＝OD•cos∠ODE＝r， ∴S△BOC＝OB•CE＝r2， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC ＝r2﹣r2 ＝（﹣）r6 ＝（﹣）×4 ≈0.36． 故答案为：4.36． 【点评】本题考查扇形面积的计算等，掌握等腰三角形的性质及扇形面积公式是本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ＝7﹣3×+（ ＝3﹣+﹣1﹣8 ＝0． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案． 【解答】解：原式＝÷（﹣） ＝÷（﹣） ＝÷ ＝• ＝﹣， 当x＝﹣1时＝﹣． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19．（6分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度． 【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米． 在直角△APE中，∠A＝45°， 则AE＝PE＝x米； ∵∠PBE＝60° ∴∠BPE＝30° 在直角△BPE中，BE＝x米， ∵AB＝AE﹣BE＝6米， 则x﹣x＝6， 解得：x＝4+3． 则BE＝（6+3）米． 在直角△BEQ中，QE＝（3）米． ∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+（米）． 答：电线杆PQ的高度是6+2米． 【点评】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键． 20．（8分）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图： （1）该校一共有 　20　个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是 　90°　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法 【分析】（1）由参加夏令营的学生人数为4名的班级个数除以所占百分比得出该校一共有的班级个数，即可解决问题； （2）求出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）该校一共有的班级个数为：6÷30%＝20（个）， 在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：360°×， 故答案为：20，90°； （2）参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：20﹣5﹣6﹣5﹣2＝5（个）， 将条形统计图补充完整如下： （3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种， ∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为＝． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上 （1）求证：△ABD≌ACE； （2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数． 【分析】（1）先证∠BAD＝∠CAE，进而可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等； （2）先证∠B＝∠AED＝45°，则∠AEC＝∠AED+∠CED＝70°，根据△ABD≌△ACE得∠ADB＝∠AEC＝70°，再根据三角形内角和定理可得∠BAD的度数． 【解答】（1）证明：∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD和△ADE均为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠AED＝45°， ∵∠CED＝25°， ∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝45°+25°＝70°， 由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣（∠ADB+∠B）＝180°﹣（70°+45°）＝65°． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．（9分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元； （2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，A款七折优惠，B款每件让利10元，请你帮学校确定购买方案． 【分析】（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，根据每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件，根据学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元； （2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件， 由题意得：， 解得：200≤m≤200， ∴m＝200， ∴600﹣m＝600﹣200＝400， 答：购进A款文化衫200件，B款文化衫400件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 23．（9分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，D，G在同一直线上，且AD＝3，连接AC，CG，并延长AE交CG于点H． （1）求证：AH⊥GC． （2）求线段AH的长． 【分析】（1）先证明△GDC≌△EDA，得∠GCD＝∠EAD，推出AH⊥GC； （2）根据S△AGC＝•AG•DC＝•GC•AH，即可解决问题． 【解答】解：（1）在△GDC和△EDA中，， ∴△GDC≌△EDA， ∴∠GCD＝∠EAD， ∵∠HEC＝∠DEA， ∴∠EHC＝∠EDA＝90°， ∴AH⊥GC； （2）∵AD＝3，DE＝1， ∴GC＝AE＝， ∵∠DAE+∠AED＝90°，∠DEA＝∠CEH， ∴∠DCG+∠HEC＝90°， ∴∠EHC＝90°， ∴AH⊥GC， ∵S△AGC＝•AG•DC＝， ∴×6×3＝×， ∴AH＝． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，属于中考常考题型． 24．（10分）如图，过圆外一点P作圆O的切线PA交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），点D在优弧AB上运动，连接PD与圆的另一个交点为C （1）证明：PB是圆O的切线； （2）若点D是优弧AB的中点，且PC＝DE，求（tan∠ADP）2； （3）记，，求y关于x的解析式． 【分析】（1）已知PA是切线，所以证△PAO≌△PBO即可得证； （2）由已知可推出PD垂直平分AB，则（tan∠ADP）2＝，通过观察可发现有射影定理结构，即AE2＝CE•DE，所以（tan∠ADP）2＝，根据已知条件设出未知数，先证△AEC∽△DEA，再证△ACP∽△DAP，最后利用勾股定理求出的值即可； （3）先证△ACP∽△DAP和△BCP∽△DBP，得出AC•BD＝AD•BC，从而得到y＝，再证△DAE∽△BEC得到，即可得解． 【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图， ∵PA为圆O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠PAO＝90°． 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴OB⊥PB， ∵OB为圆O的半径， ∴PB是圆O的切线； （2）解：∵D是优弧AB的中点， ∴AD＝AB， ∵PA＝PB， ∴PD是AB的垂直平分线，且CD经过圆心， ∴∠CAD＝90°， ∴∠CAE＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， ∵∠AED＝∠AEC＝90°， ∴△AEC∽△DEA， ∴，即AE2＝CE•DE， ∵∠APC＝∠DPA，∠PAC＝∠PDA（弦切角定理）， ∴△ACP∽△DAP， ∴，即AP2＝CP•DP， 设CE＝x，CP＝DE＝y， ∴AE5＝CE•DE＝xy，AP2＝CP•DP＝xy+2y6， ∵PE＝PC+CE＝x+y， ∴在Rt△APE中，AE2+PE2＝AP6， 即xy+（x+y）2＝xy+2y5， 整理得x2+2xy﹣3y2＝0， 两边同时除以y8得：（）2+2•﹣6＝0， 解得＝﹣2（负值舍去）， ∴（tan∠ADP）2＝（）2＝＝﹣1． （3）由（2）知△ACP∽△DAP， ∴， 同理可证△BCP∽△DBP， ∴， ∴PA＝PB， ∴， ∴，即AC•BD＝AD•BC， ∴y＝＝， ∵∠BCD＝∠BAD，∠BEC＝∠AED， ∴△DAE∽△BEC， ∴， ∵， ∴， ∴y＝x，即y关于x的解析式是y＝x． 【点评】本题主要考查了切线的性质和判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题关键． 25．（10分）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”． （1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，求a的值； （3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求L的取值范围． 【分析】（1）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数以及其“共赢点”即可； （2）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数，然后根据韦达定理以及两点间距离公式求出AB和MN的长，代入已知条件，求出a的值即可； （3）联立方程组，根据韦达定理求出L的值，在根据a，b，c的取值求出L的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据定义，二次函数y＝x2﹣3x﹣2中，p＝1，k＝4， ∴二次函数y＝x6﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣7与反比例函数y＝的“共同体”函数， 联立一次函数与反比例函数：， 解得：或， 经检验，两组解均是方程组的解， ∴二次函数y＝x2﹣8x﹣4的“共赢点”是（﹣1，﹣3），1）； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点为M，N， ∴令y＝5，则ax2+bx+c＝0， ∴xM+xN＝﹣，xMxN＝， ∴MN＝＝＝， ∵二次函数y＝ax4+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的“共同体”函数， ∴由得ax+b＝﹣， ∴ax2+bx+c＝0， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足：xA+xB＝﹣，xAxB＝， 纵坐标yA＝axA+b，yB＝axB+b， ∴yA+yB＝a（xA+xB）+8b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac， ∴AB＝ ＝ ＝ ＝， ∵AB＝3MN， ∴＝3， ∴+b2﹣4ac＝9•， ∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴b8﹣4ac＞0， ∴3+a2＝9， ∴a＝±5； （3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0， ∴a＞4，c＜0，a+c+c＜0， ∴﹣7＜＜﹣， ∵一次函数y＝ax+8b与反比例函数y＝﹣的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标是x1，x2， ∴x8，x2是方程ax+2b＝﹣，即ax8+2bx+c＝0的两根， ∴x4+x2＝﹣，x4x2＝， ∵L＝|﹣| ＝ ＝ ＝ ＝2 ＝2 ＝2 ＝2， ∵﹣2＜＜﹣， ∴＜7， 即＜L＜2． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，根据题干所给定义结合韦达定理来求解是本题解题的关键，另外（2）可以采用数形结合的方法，根据直线斜率和其夹角正切值的关系直接求解a值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/9 23:34:26；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$