精品解析：辽宁省沈文新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

秘密★启用前 2023-2024学年度（下）学期期末质量监测 高 二 数 学 本试卷满分120分 考试时间150分钟 命题人：陈建骐、孙苗苗、赵倩 校题人：周天天、罗鑫、李振 【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以 故选：C. 2. 已知是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式求解得出，利用充分必要条件的定义求解． 【详解】是等比数列， ， ，， “”能推出“” 则 ， ， “”是“”充要条件 故选 【点睛】本题主要考查的是等比数列性质运用，判断其充分条件与必要条件，属于基础题． 3. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案． 【详解】因为是偶函数，所以①， 因为是奇函数，所以②． 令，由①得：， 由②得：， 因为，所以， 令，由②得：， 所以当时，， . 故选：C． 【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性： （1）是偶函数，则； （2）是奇函数，则. 4. 设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先对函数求导，令，得到关于的方程，即可求出，再利用二次函数的图象和性质，即可确定的取值范围． 【详解】依题可得，，令，得，解得， 所以，因为，，而由二次函数的对称性可知，，故． 故选：D． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 数据的中位数是5 B. 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D 若随机变量，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据中位数分析运算；对于B，根据随机变量方差的性质求解判断；对于C，根据二项分布的期望以及期望的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断． 【详解】对于选项A，个数据从小到大排列，所以中位数应该是第四个与第五个的平均数，故A不正确； 对于选项B，随机变量满足，则，故B不正确； 对于选项C，因为，则，则，故C不正确； 对于选项D，因为随机变量， 由正态曲线的对称性可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D． 6. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差．为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ）（参考数据：若，则．） A. 100 B. 200 C. 400 D. 800 【答案】C 【解析】 【分析】根据原则可知，可得出，解出的取值范围，即可得解. 【详解】根据正态曲线的对称性，知要使误差在的概率不小于0.9545，则，又，所以，由题，，解得，至少要测量的次数为400次. 故选：C. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，进而根据二次函数的性质即可得当时，，再结合奇函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为当时， 因为，所以，所以， 所以当时，， 又因为是定义在R上的奇函数， 故当时，函数的值域为， 故此函数的值域为. 故选：A. 【点睛】本题考查指数幂的二次函数型的值域求解问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于配方得，进而利用二次函数性质与奇偶性性质求解. 8. 《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（ ） A. 6.5尺 B. 7.5尺 C. 8.5尺 D. 95尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据冬至到夏至的晷长成等差数列，求出夏至晷长，再由夏至到冬至晷长为等差数列，由秋分的位置，确定出在对应数列中的项，从而求出秋分晷长 【详解】冬至到夏至晷长记为数列，数列为等差数列，公差， 冬至晷长，若芒种晷长所以，所以夏至晷长 夏至到冬至晷长记为数列{}，数列{}为等差数列，公差，夏至晷长 秋分这个节气的晷长 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列图象可以作为函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分析函数的单调性与奇偶性，即可得出合适的选项. 【详解】当时，，D选项满足条件； 当时，函数的定义域为， ，函数为奇函数， ， 由，可得或，由，可得， 此时函数的单调递减区间为、，增区间为，B选项满足条件； 当时，函数的定义域为， ，函数为奇函数， ， 所以，函数的单调递减区间为、、，C选项满足条件. 故选：BCD. 10. 下列不等式恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据均值不等式判断AB，根据特例可判断CD. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，故A正确； ，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，故C错误； 因为时，，所以不成立，故D错误. 故选：AB 11. 已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ） A. B. 恰有三个零点 C. 在上单调递增 D. 存在最大值和最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误. 【详解】对于选项A，因为，取，得到， 即，所以选项A正确， 对于选项C，任取，且，则，且， 则， 又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增， 所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根， 结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确， 对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题. 第Ⅱ卷 非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 下列四个命题： ①命题“若，则”的否命题是“若，则”； ②“若 ,则有实根”的逆否命题； ③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题； ④命题“若，则”是真命题． 其中正确命题的序号是__________________．（把所有正确的命题序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】 【详解】①错，否命题要否定条件也要否定结论“若，则”． ②对，原命题与逆否命题同真同假，所以判断原命题，解得，原命题为真．③对，“”为真，则p为假，“或”为真，所以只能q为真．④错，，则在单调递减，而，所以错． 【点睛】 （1）当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断． 为真，即p与q同时为真．）为假，即p与q中至少有一个为假． 真，即p与q至少有一个为真．为假，即p与q同时为假． （4）与的真假性相反． 13. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 【答案】 【解析】 【分析】对 ，两边同乘以整理后再对求导，然后令代入整理即可. 【详解】对 ，两边同乘以得： ， 两边同时求导得， 令得， 即. 故答案为：. 14. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________． ①第10个1出现在第46项； ②该数列的前55项的和是1012； ③存在连续六项之和是3的倍数； ④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440 【答案】①③④ 【解析】 【分析】把题设中的数列分成如下的组：，求出每组的和为，命题①通过计算每组项数的和求解；命题②恰好是前10组之和；命题③通过找到符合题意得出判断；命题④设前项由前行和第行前项组成，算出前和为后结合前项和为2的整数幂可得的最小值. 【详解】将数列排成行的形式 1， 1，2， 1，2，4， 1，2，4，8， 第行为：，则第行和为， 前行共有个数，前行的和为， 对于命题①，第10个1出现在第项，故①正确； 对于命题②，因为，所以数列的前55项的和是，故②错误； 对于命题③，因为，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故③正确； 对于命题④，设前项由前行和第行前项组成，则. 前项和为，若前n项和为2的整数幂，则有，即. 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足前n项之和为2的整数幂，且的最小整数n的值为440，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式. 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答. （2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答. 【小问1详解】 等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即， 设的公差为d，于是得，整理得，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，其中的“挑战答题”更是趣味盎然､引人入胜“挑战答题”规则为：（1）挑战开始后，挑战者依次回答界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：①结束本局，挑战结束；②通过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加；（2）答对5题或5题以上均为挑战成功，可获得6分，否则无积分可得；（3）每次挑战，通过分享界面复活的机会只有一次. （1）如果甲对“挑战答题”中的每一道题回答正确的概率均为，且各题是否回答正确互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率； （2）假设乙挑战一次获得成功的概率为，他在一周内（天）每天都挑战一次，且每次挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； （2）设乙在一周内挑战成功的次数为，依题意可得，且，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得； 【小问1详解】 解：记事件为前5题都回答正确； 记事件为前5题有且只有1题回答错误，其余回答正确，且第6题回答正确. 记挑战一次获得成功为事件，则事件包含两个事件，且互斥，所以. 因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为， 所以. 故甲挑战一次就获得成功的概率为. 【小问2详解】 解：设乙在一周内挑战成功的次数为， 由题意知，服从二项分布，即. 因为，所以， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 6 12 18 24 30 36 42 因为， 所以 17. 已知首项为1公差不为零的等差数列，为，的等比中项，数列的前项和为，且，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （I）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1），；（2）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出，接着求出并判断数列是以为首项，以为公比的等比数列，最后求即可； （2）先求出，再分组得到，最后使用放缩法证明结论成立. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，且， 因为为，的等比中项，所以，即 因为，所以，解得：（舍去）或， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则 （2）因为，，， 所以， 所以 所以 【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式、等比数列的判定、分组求和法和放缩法证明不等式，是中档题. 18. 已知函数. （1）设，求函数的单调区间； （2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）存在. 【解析】 【分析】（1）求出函数及导数，进而求出单调区间. （2）求出函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理求解即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，函数，求导得 令，求导得，由，得， 因此函数在区间上单调递增，又，， 则存在，使得且当，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，取得极小值， 所以存在，使得为函数的极小值点. 19. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且 （1）判断的奇偶性； （2）求函数在区间上的最大值； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，理由见解析； （2）最大值为； （3）或. 【解析】 【分析】（1）令求得，令结合奇偶性定义即可判断； （2）令，根据已知条件及单调性定义即可判断单调性，利用单调性求最值； （3）由（2），问题化为恒成立，根据一次函数性质，讨论参数m求范围. 【小问1详解】 令，则，可得， 令，则，可得， 又定义域为R，故为奇函数. 【小问2详解】 令，则，且， 因为时，，所以， 故，即在定义域上单调递减， 所以在区间上的最大值为. 【小问3详解】 由（2），在上， 恒成立，即恒成立， 所以恒成立，显然时不成立， 则，可得；，可得； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启用前 2023-2024学年度（下）学期期末质量监测 高 二 数 学 本试卷满分120分 考试时间150分钟 命题人：陈建骐、孙苗苗、赵倩 校题人：周天天、罗鑫、李振 【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是 A. B. C D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 数据的中位数是5 B 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 若随机变量，则 6. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差．为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ）（参考数据：若，则．） A 100 B. 200 C. 400 D. 800 7. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（ ） A. 6.5尺 B. 7.5尺 C. 8.5尺 D. 95尺 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列图象可以作为函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ） A. B. 恰有三个零点 C. 在上单调递增 D. 存在最大值和最小值 第Ⅱ卷 非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 下列四个命题： ①命题“若，则”的否命题是“若，则”； ②“若 ,则有实根”的逆否命题； ③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题； ④命题“若，则”是真命题． 其中正确命题序号是__________________．（把所有正确的命题序号都填上）． 13. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 14. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________． ①第10个1出现在第46项； ②该数列的前55项的和是1012； ③存在连续六项之和是3的倍数； ④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，其中的“挑战答题”更是趣味盎然､引人入胜“挑战答题”规则为：（1）挑战开始后，挑战者依次回答界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：①结束本局，挑战结束；②通过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加；（2）答对5题或5题以上均为挑战成功，可获得6分，否则无积分可得；（3）每次挑战，通过分享界面复活的机会只有一次. （1）如果甲对“挑战答题”中的每一道题回答正确的概率均为，且各题是否回答正确互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率； （2）假设乙挑战一次获得成功的概率为，他在一周内（天）每天都挑战一次，且每次挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为，求的分布列及数学期望. 17. 已知首项为1公差不为零的等差数列，为，的等比中项，数列的前项和为，且，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （I）若，数列的前项和为，求证：. 18. 已知函数. （1）设，求函数的单调区间； （2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点. 19. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且 （1）判断的奇偶性； （2）求函数在区间上最大值； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$