精品解析：江西省赣州市崇义县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023～2024学年第二学期教学质量监测 七年级数学期末试卷 （考试时间120分钟，满分120分．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列收集数据的方式适合全面调查的是（  ） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、检测某城市的空气质量，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； B、了解某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； D、选出某班短跑最快的同学参加校运动会，适合普查，故本选项适符合题意． 故选：D 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限． 【详解】解：，， 在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ，但是不一定大于，选项A不符合题意； 时，不一定成立，选项B不符合题意； ， ，选项C符合题意； ， ， ，选项D不符合题意． 故选：C． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在的延长线上，，，，，则的大小为（ ） A. 30° B. 18° C. 15° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，角的和差关系，根据平行线的性质可知，再利用直角三角形的性质可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 5. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，”列出方程组，即可解题． 【详解】解：由题可得：，， 方程组为， 故选：A． 6. 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A. B. 235的算术平方根比15.3小 C. 只有3个正整数n满足15.5 D. 根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：，故选项不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或242或243， ∴只有3个正整数n满足，故选项正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简计算是解答的关键． 8. “x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，是解题的关键． 关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，可列不等式为：， 故答案为：． 9. 写出一个以为解的二元一次方程组___________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据在轴上点的坐标特征，横坐标为0，得到，求出a的值，得出的值，即可得出点的坐标，掌握“在轴上点的横坐标为0”是解题的关键． 【详解】解：∵点，若点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”某校有2400名学生，为了解全校学生课余阅读时间的情况，从这2400名学生中随机抽取了300名学生进行调查，在这次调查中，被抽取的300名学生的课余阅读时间是__________（填“总体”、“样本”或“个体”）． 【答案】样本 【解析】 【分析】本题考查了具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．我们在区分总体、个体、样本，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本． 【详解】解：本题考查的对象是全校学生课余阅读时间的情况，，故样本是所抽取的300名学生的课余阅读时间． 故答案为：样本 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为______． 【答案】12或48或84 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．分四种情况：，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1，， ∴， ， 解得：． 如图2，， 由图得： 解得： 如图3，， ∴ 解得： 如图4，， ∴ 解得：(舍去）； 综上所述：12或48或84． 故答案为：12或48或84．  三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）合并同类二次根式即可求出值； （2）先计算去绝对值及立方根，再进行加减即可求出值． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 14. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 ， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 ， ①，得③， ③②，得， 解得， 把代入②，解得， 所以方程组的解是． 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 它的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．分别求出不等式组中两不等式的解集，利用不等式组取解集的方法得出原不等式组的解集，并将解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此原不等式组的解集为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，平移三角形，使点B与坐标原点O重合． （1）请在图中画出平移后的三角形，并写出，的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形， ， （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是坐标系内的平移作图，点的平移的坐标变化规律，掌握“画平移后的对应图形及平移的性质”是解本题的关键． （1）由平移到，可得平移方式为：先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，再确定，平移后的对应点，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积， 17. 如图，，平分，，求证：． 【答案】 证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求a和x的值； （2）若的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根，算术平方根，立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根的定义即可求出答案； （2）求出的值，再求出b的值，最后求出的算术平方根．． 【小问1详解】 一个正数的两个不同的平方根分别是和 ， 解得， ，， ； 【小问2详解】 的立方根是2， ， ， ， ， ， 的算术平方根是． 19. 2023年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图． （1）______，______； （2）求出组的频数； （3）该校共有名学生，若成绩在分以下（含分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）由组人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以组百分比可得的值，先求得组的百分比，用乘以组百分比可得的值； （2）总人数乘以组的百分比可得其人数，据此补全图形可得； （3）总人数乘以样本中、百分比之和． 【小问1详解】 解：∵本次调查的总人数为÷（人）， ∴， 组所占百分比为， 所以组的百分比为， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组人数为（人）， 故组的频数为； 【小问3详解】 解：（）（人）， 答：该校安全意识不强的学生约有人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点（，）是“龙沙点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 【答案】（1）5 （2）或 （3） 点的长距为4，且点C在第二象限内， ， 解得， ， 点 的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“龙沙点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义． （1）根据“长距“的定义解答即可； （2）根据“龙沙点”的定义解答即可； （3）由“长距“的定义求出 的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1， 点的“长距“为5． 故答案为：5； 【小问2详解】 点是“龙沙点”， ， 或， 解得或； 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． （1）当时，方程组的解为 ； （2）当时，求的取值范围； （3）试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：， ∴， ∴无论取何数时，代数式的值始终不变． 【解析】 【分析】（）先把代入得，然后利用加减消元法求出解即可； （）先利用加减法求出，然后结合即可求出的取值范围； （）先利用加减消元法求出，然后代入即可求解； 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 得：，解得：， ∵， ∴，解得：； 【小问3详解】 略 22. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】（1）某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 （2），，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 【小问2详解】 解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【答案】（1）， 证明：如图①，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图③，延长，交于点，过作， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第二学期教学质量监测 七年级数学期末试卷 （考试时间120分钟，满分120分．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列收集数据的方式适合全面调查的是（  ） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在的延长线上，，，，，则的大小为（ ） A. 30° B. 18° C. 15° D. 10° 5. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A. B. 235的算术平方根比15.3小 C. 只有3个正整数n满足15.5 D. 根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：＝___． 8. “x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 9. 写出一个以为解的二元一次方程组___________________________． 10. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 11. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”某校有2400名学生，为了解全校学生课余阅读时间的情况，从这2400名学生中随机抽取了300名学生进行调查，在这次调查中，被抽取的300名学生的课余阅读时间是__________（填“总体”、“样本”或“个体”）． 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为______．  三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 解方程组： （1） （2） 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，平移三角形，使点B与坐标原点O重合． （1）请在图中画出平移后的三角形，并写出，的坐标； （2）求三角形的面积． 17. 如图，，平分，，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和． （1）求a和x的值； （2）若的立方根是2，求的算术平方根． 19. 2023年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图． （1）______，______； （2）求出组的频数； （3）该校共有名学生，若成绩在分以下（含分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点（，）是“龙沙点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． （1）当时，方程组的解为 ； （2）当时，求的取值范围； （3）试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 22. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $