精品解析：江苏省南通市如皋市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期七年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解某班学生的视力情况 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 了解龙游湖的水质情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．了解某班学生的视力情况，适合全面调查，故本选项符合题意； C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D．了解龙游湖的水质情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则a的值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． 根据题意可得，进而求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限内， ∴， ∴a的值可以是． 故选：D． 3. 若，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵，∴，不等式成立，故该选项不符合题意； B．∵，∴，不等式成立，故该选项不符合题意； C．∵，∴，不等式成立，故该选项不符合题意； D．∵，∴当时，不等式成立，当，不等式不成立，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角度的相关计算，根据对顶角相等得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：A． 5. 与最接近的整数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算； 估算出的范围，根据15与16更接近得出答案． 【详解】解：∵， ∴，且更接近4， 故选：C． 6. 长度分别为2，4，m的三条线段能组成一个三角形．若m为偶数，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，先根据组成三角形的条件确定出a的取值范围，然后根据a是偶数即可得到答案 【详解】解：∵长度分别为2，4，m的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， ∵m为偶数， ∴， 故选：C． 7. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入到得到关于的方程即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一组解， ， 故选：A． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 9. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线． 延长交于点，根据平行线的性质求出，然后根据平角，求出结果即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 已知a，b，c是三个非负数，且满足，，则式子的最大值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有a的式子表示出b，c，再代入代数式化为只含有a的式子，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出a的取值范围，最后将a的最大值代入代数式进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 把代入， 得：， ∴， ∴ ∵a，b，c是三个非负数， ∴， 解得：， ∴当时，原式取得最大值，最大值为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）． 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 如图，，，则的度数为_________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离以及各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，点到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点在第二象限，且点到轴的距离是2 ，到轴的距离是1， ∴点的横坐标是，纵坐标是2， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 在样本的频数分布直方图中，第一小组至第四小组长方形的高之比依次是，若该样本的样本容量是50，则第三小组的频数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查频数、频率和总数的公式，根据比例求得第三小组所占的百分比，再乘以样本总数即可求解； 【详解】解：由题意得，， 故答案为：15． 15. 有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数． 【详解】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元， 由题意可得：， ①②，得：， ， 即购甲、乙两种商品各1件共需100元， 故答案为：100． 16. 如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为________ 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，平行的性质．由题意，设，证明，构建方程即可解决问题．解题的关键在于确定角的数量关系． 【详解】解：由翻折的性质可知：， ， ， 设，则， ， 即：， 解得：， ， 故答案为：72． 17. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式是解题关键．分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解列不等式即可得答案． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴不等式组的整数解为：1，2． ∴， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点D在上，点P在上，且，点M为边上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，垂线段最短．连接，过点P作于点E，则当点M与E重合时，最小，根据题意可得，，再由三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点P作于点E，则当点M与E重合时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为2． 故答案为：2 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再利用乘法分配律进行计算，最后进行加减计算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是原方程的解． 【点睛】本题考查实数的混合运算、算术平方根、立方根、乘法分配律、解二元一次方程组，数来掌握求算术平方根、立方根的方法及解二元一次方程组的方法是解题的关键． 20. 解一元一次不等式：． 小明同学解答过程如下： 解：去分母，得 ．………第①步 去括号，得 ．……第②步 移项，得 ．……第③步 合并同类项，得 ．……第④步 系数化为1，得 ．……第⑤步 （1）小明同学开始出现错误在第______步； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式． （1）按照解一元一次不等式的步骤发现错误即可． （2）按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【小问1详解】 解： ∵去括号的时候，括号里面的没有变号． ∴小明同学开始出现错误在第②步， 故答案为：②． 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1：． 21. 我市某校为丰富课后托管服务，开设了A阅读、B绘画、C羽毛球、D棋社四类兴趣班，要求每名学生从中选择一类进行报名，在学生报名结束后，学校随机抽取了部分学生进行调查．根据调查结果，绘制了如下两幅统计图： 根据以上信息回答下列问题： （1）参与本次调查的学生一共______人； （2）补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，请估计全校选择B绘画兴趣班的学生人数． 【答案】（1）60 （2） 补全条形图如下： （3）600 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图的相关知识，用样本估计总体等． （1）用参加兴趣班A，兴趣班B，兴趣班C的人数除以其所占百分比可得出总人数． （2）先参加兴趣班D的人数，然后补充条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：参加兴趣班A，兴趣班B，兴趣班C的人数一共有：人， ∴参与本次调查的学生一共有：人， 故答案为：60． 【小问2详解】 参加兴趣班D的人数有：人． 【小问3详解】 人， 若该校有1800名学生，请估计全校选择B绘画兴趣班的学生人数有600人． 22. 在平面直角坐标系中，，． （1）画出； （2）将向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，得到．请画出，并直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图即为所求 （2） 如图即为所求 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，平移作图，写出直角坐标系中点的坐标以及利用网格求三角形的面积． （1）直接描出点A，B，连接，，即可； （2）根据平移的性质画出平移后的，再写出点的坐标即可． （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 23. 如图，，，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定以及性质，与角平分线有关的三角形内角和定理． （1）首先根据平行线的性质，可得，然后根据，推得，据此推出，推得． （2）首先根据平行线的性质，以及角平分线的定义得到，然后根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 24. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富．某校准备在某超市为书法社团购买一批毛笔和宣纸，已知购买30支毛笔和100张宣纸需要270元，购买40支毛笔和200张宣纸需要380元． （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）若学校准备购买毛笔50支，宣纸a张（），该超市给出以下两种优惠方案： 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买的宣纸超出200张的部分打八折，毛笔不打折． 该校选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1）毛笔的单价为8元，宣纸的单价为元 （2）当时，选择方案划算；当时，选择两种方案费用相同；当时，选择方案划算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，（1）找准等量关系、正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出关于的代数式，是解题的关键． （1）设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据两种方案要求，分别列出关于的代数式，分情况讨论，即可求出的范围或的值，进而得出哪种方案更划算． 【小问1详解】 解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元， 依题意得：， 解得． 答：毛笔的单价为8元，宣纸的单价为元． 【小问2详解】 解：选择方案所需费用为：(元)； 选择方案所需费用为：(元)． 当时，解得， ， ． 当时，解得； 当时，解得． 答：当时，选择方案划算；当时，选择两种方案费用相同；当时，选择方案划算． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，点P的坐标为______，______； （2）当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； （3）在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），1 （2）， （3）或3 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，当时，，，即可求解； （2）证明四边形是矩形，可得，，从而可得，即可求得点P坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由题意得，，求得，分类讨论：当点P在上；当点P在上；当点P在上，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵，，， ∴， 当点P在上，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上，由（2）可得，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上时，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，或3，． 【点睛】本题考查坐标与图形、矩形的判定与性质、列代数式、解一元一次方程及动点问题，运用数形结合思想进行分类讨论是解题的关键． 26. 如图，，C为垂足，过A点的直线，D为直线上方一点（不在直线上），连接，的平分线交于点E． （1）求证：； （2）若点D在直线上，，求的度数； （3）当点D在直线的上方时，连接，若的平分线所在的直线与射线相交于点P，请探究与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可求证； （2）分两种情况：当点D在点A的左侧时，当点D在点A的右侧时，结合平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余，即可求解； （3）分两种情况：当点D在直线的右侧时，当点D在直线的左侧时，结合平行线的性质以及三角形的内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 如图，当点D在点A的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当点D在点A的右左侧时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为 或； 【小问3详解】 解： 如图，当点D在直线的右侧时， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 如图，当点D在直线的左侧时， 同理； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期七年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解某班学生的视力情况 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 了解龙游湖的水质情况 2. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则a的值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 若，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 与最接近的整数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 长度分别为2，4，m的三条线段能组成一个三角形．若m为偶数，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 7. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c是三个非负数，且满足，，则式子的最大值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）． 11. 16的算术平方根是___________． 12. 如图，，，则的度数为_________． 13. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标为______． 14. 在样本的频数分布直方图中，第一小组至第四小组长方形的高之比依次是，若该样本的样本容量是50，则第三小组的频数为______． 15. 有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 16. 如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为________ 17. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是______． 18. 如图，在中，，，点D在上，点P在上，且，点M为边上的动点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程组： 20. 解一元一次不等式：． 小明同学解答过程如下： 解：去分母，得 ．………第①步 去括号，得 ．……第②步 移项，得 ．……第③步 合并同类项，得 ．……第④步 系数化为1，得 ．……第⑤步 （1）小明同学开始出现错误在第______步； （2）请写出正确的解答过程． 21. 我市某校为丰富课后托管服务，开设了A阅读、B绘画、C羽毛球、D棋社四类兴趣班，要求每名学生从中选择一类进行报名，在学生报名结束后，学校随机抽取了部分学生进行调查．根据调查结果，绘制了如下两幅统计图： 根据以上信息回答下列问题： （1）参与本次调查的学生一共______人； （2）补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，请估计全校选择B绘画兴趣班的学生人数． 22. 在平面直角坐标系中，，． （1）画出； （2）将向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，得到．请画出，并直接写出点的坐标； （3）求的面积． 23. 如图，，，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 24. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富．某校准备在某超市为书法社团购买一批毛笔和宣纸，已知购买30支毛笔和100张宣纸需要270元，购买40支毛笔和200张宣纸需要380元． （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）若学校准备购买毛笔50支，宣纸a张（），该超市给出以下两种优惠方案： 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买的宣纸超出200张的部分打八折，毛笔不打折． 该校选择哪种方案更划算？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，点P的坐标为______，______； （2）当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； （3）在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，，C为垂足，过A点的直线，D为直线上方一点（不在直线上），连接，的平分线交于点E． （1）求证：； （2）若点D在直线上，，求的度数； （3）当点D在直线的上方时，连接，若的平分线所在的直线与射线相交于点P，请探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $