精品解析：江西省赣州市赣县区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

赣县区2023～2024学年第二学期八年级数学 期末检测题 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，做题时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 4，5，6 D. ，， 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A. 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 4. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象与轴的交点为 B. 它的图象经过第二、三、四象限 C. 当时， D. 它的图象可看作的图象向上平移2个单位长度得到的 6. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高 C. 种植密度为d时，该经济作物产量最高 D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 二、填空题（本大题共6小题） 7. 写出一个使式子有意义的的值：______． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是__________ 9. 如图，某公园一块三角形空地，米，点、分别是、的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为__________米． 10. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 11. 如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为______． 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 三、解答题（本大题共5小题） 13. （1）计算：． （2）如图所示，延长的中线至点，使，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 14. 已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 15. 如图，在中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求的长． 16. 防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 17. 如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． （1）在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； （2）在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 四、解答题（本大题共3小题） 18. 若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）请你写出正确解答过程． 19. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是 ．下表是与的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 其中， ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）以下关于函数的结论，正确的是 ．（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称． 20. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 五、解答题（本大题共2小题） 21. 课本再现 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图1证明勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积； （3）如图2所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为 ． 22. 为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台． （1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？ （2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 六、解答题（本大题共1小题） 23. 如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求直线的表达式； （2）在点，点运动过程中，当点，分别在，上时，求证：四边形是矩形； （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赣县区2023～2024学年第二学期八年级数学 期末检测题 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，做题时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 4，5，6 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，，不是整数， ∴此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：C 3. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A. 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：她的总得分是：（分． 故选：A 4. 如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：B． 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象与轴的交点为 B. 它的图象经过第二、三、四象限 C. 当时， D. 它的图象可看作的图象向上平移2个单位长度得到的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，图象的平移，熟练掌握一次函数图象的分布，性质，平移是解题的关键．根据一次函数图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得， ∴它图象与轴的交点为，故A不符合题意； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意； 当时， ∴当时，，故C不符合题意； D．其图象可由的图像向上平移2个单位长度得到，故D符合题意． 故选：D． 6. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高 C. 种植密度为d时，该经济作物的产量最高 D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，根据经济作物的种植密度与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系解答此题即可 【详解】解：A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后变小，故原选项说法错误，不符合题意； B. 种植密度为时，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； C. 种植密度为时，光合作用强度和呼吸作用的强度差最大，植物体内积累的有机物最多，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量,说法正确，符合题意， 故选：D 二、填空题（本大题共6小题） 7. 写出一个使式子有意义的的值：______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：若有意义， 则有，解得． 故答案为：2（答案不唯一）． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是 故答案为： 9. 如图，某公园的一块三角形空地，米，点、分别是、的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为__________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，根据三角形的中位线性质得到求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，又米， ∴（米）， 故答案为：6． 10. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长进而求出的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴a的值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 11. 如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答． 【详解】解：如图所示： 菱形的两条对角线的长分别为和， 菱形的面积， 是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ， 阴影部分的面积， 故答案为∶． 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 显然点P与点B重合时，为直角三角形， 此时斜边长为； 当点E为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴斜边长为； 当点F为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， 过点P作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合， ∴， ∴斜边长为； 综上，斜边长或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题） 13. （1）计算：． （2）如图所示，延长的中线至点，使，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和零指数幂计算，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据平方差公式和零指数幂计算，然后计算加减； （2）首先证明出，然后得到，，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1） ； （2）∵是的中线 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． 14. 已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2）不，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义、正比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数的一般形式：． （1）利用正比例函数的定义求解即可； （2）根据满足函数表达式的点在其图象上进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵关于的函数是正比例函数， ∴且， 解得； 【小问2详解】 解：不在，理由： 由得， 当时，， ∴点不在（1）中的函数图象上． 15. 如图，在中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得对角相等，，得同旁内角互补，即可求出、的度数； （2）根据平行四边形的性质，得，内错角相等，等量代换，再根据等角对等边，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵的平分线交于， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵的平分线交于 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的知识、平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质． 16. 防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【答案】26米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 17. 如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． （1）在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； （2）在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图以及平行四边形判定、菱形判定，正方形的性质等知识点， （1）利用正方形的性质，连接正方形的对角线交于点O，连接并延长交于点N，即可得出答案； （2）利用正方形的性质延长，交于点P，连接并延长于点Q，连接交于点F，即可得出答案； 正确应用平行四边形、菱形的判定方法是解题关键． 【小问1详解】 如图所示：四边形即为所求的平行四边形； 【小问2详解】 如图所示：四边形即为所求的菱形． 四、解答题（本大题共3小题） 18. 若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）二， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可． 【小问1详解】 解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 【小问2详解】 ． 19. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是 ．下表是与的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 其中， ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）以下关于函数的结论，正确的是 ．（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴直线对称． 【答案】（1）一切实数，3 （2）见解析 （3）①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，函数值的计算，一次函数的性质，利用数形结合的方法解答是解题的关键． （1）将代入函数的解析式原式即可； （2）利用表格中的，的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点即可得出结论； （3）利用所画的图象对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得，自变量的取值范围是一切实数． 当时， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 利用表格中的，的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得： 则图中的折线为函数的图象； 【小问3详解】 观察图象可得：函数有最小值为0， ①的结论正确； 当时，随的增大而增大， ②的结论不正确； 图象关于过点且垂直于轴的直线对称， ③的结论正确． 故答案为：①③． 20. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）9，10；补全统计图见解析 （2）七年级更好，理由见解析 （3）估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有300人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计． 【小问1详解】 解：七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分， ， 八年级等级人数最多， ， 故答案为：9，10； 七年级成绩等级人数为：（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 【小问2详解】 解：七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有300人． 五、解答题（本大题共2小题） 21. 课本再现 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图1证明勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积； （3）如图2所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为 ． 【答案】（1），证明见解析；（2）9；（3）5 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理的证明及其运用，能从图形中提取等量关系是解答的关键． （1）根据图中大小正方形的面积和直角三角形的面积间的等量关系，结合完全平方公式进行证明即可； （2）根据勾股定理求得a值，进而得到小正方形的边长即可求解； （3）根据矩形和折叠性质，结合勾股定理求得，，设，则，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：（1）勾股定理：， 证明：根据图形，小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴，则， ∴； （2）∵，，， ∴，则（负值已舍去）， ∴， 即小正方形的的边长为3， ∴小正方形的面积为9； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， 在中，， ， 设，则， 在中，由得， 解得，即， 故答案为：5． 22. 为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台． （1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？ （2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台 （2）甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用，方案设计题型的运用，解答时找到等量关系建立方程是解答本题的关键． （1）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．依据甲、乙两种品牌的平板电脑共60台，恰好支出170000元，列式解答即可； （2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，依据乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，得到；设费用为，则，依据的取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台． 则， 解得， 答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台； 【小问2详解】 解：设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台， 由题，， 解得； 设费用为，则， ， 随的增大而增大， 当时，最少，此时， 甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元． 六、解答题（本大题共1小题） 23. 如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求直线的表达式； （2）在点，点运动过程中，当点，分别在，上时，求证：四边形是矩形； （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直线的表达为：，由，即可求解； （2）证可推出四边形是平行四边形，结合即可求证； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【小问1详解】 解：直线的表达为：， 由，可得：， 解得：， ∴直线的表达为：， 【小问2详解】 证明：由题意得： ∴ ∴ 由轴、轴可得： 由点、点的运动速度可知： ∴ ∴ ∴四边形平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 【小问3详解】 解：若以点，，，为顶点的四边形是菱形，,则为等腰三角形 时，如图所示： 则 ∵且， ∴ 时，如图所示： 此时点与点重合，关于轴对称 ∴ 时，如图所示： 此时： ∵ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 即： 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与动点问题，涉及了一次函数的解析式求解、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的证明、一次函数与特殊四边形问题，掌握相关结论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$