精品解析：北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2024北京延庆高二（下）期末 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数在处的导数值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C D. 3. 已知数列满足，则数列前4项和等于（ ） A. 16 B. 24 C. 30 D. 62 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 360 5. 用可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 15 6. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C D. 7. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. 是的极小值点 C. D. 8. 设是的一个排列. 且满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 9. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知数列满足，，，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（ ） A. B. C. 非零常数，使得 D. ，都有 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种． 12. 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，f′(x)为f(x)导函数，且满足，则a=___________. 13. 已知函数，则在区间上的最大值为_________． 14. 已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________． 15. 已知数列的各项均为正数，满足，其中常数. 给出下列四个判断： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④，不存在实数，使得. 其中所有正确判断的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求下列函数的导函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 17. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. （1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： （2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 18. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 19. 已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上存在极值，求实数的取值范围； （3）求的零点个数． 21. 有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，． （1）若{}：0，1，．求取值范围； （2）若，当取最小值时，求的最大值； （3）若，，求m的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京延庆高二（下）期末 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数在处的导数值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，再将代入导函数即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均变化率的公式即可求解. 【详解】. 故选：C. 3. 已知数列满足，则数列的前4项和等于（ ） A. 16 B. 24 C. 30 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】由数列的递推关系分别求出，再求和即可. 【详解】由已知可得， 当时，； 当时，； 当时，； 所以数列前4项和等于， 故选：C. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可求出答案. 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得：， 所以常数项为：. 故选：B. 5. 用可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个， 其中数字0排首位的有4个， 所以满足条件的两位数有个. 故选：C 6. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，进而可得切点坐标和切线斜率，即可得方程. 【详解】因为，则， 若，则，， 即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为. 故选：D. 7. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. 是的极小值点 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点， 则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可. 【详解】因为函数有两个极值点， 所以有两个根, 所以,,故选项错误; 因为有两个根, 所以,即得,解得或,故选项正确; 因为有两个根, 在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误; 故选: A. 8. 设是的一个排列. 且满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定定义，分析出满足题意的排列求解即可. 【详解】因为要使的值最大， 且，所以排列可以为， 则的最大值是，故B正确. 故选：B 9. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】假设，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解. 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 10. 已知数列满足，，，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（ ） A. B. C. 非零常数，使得 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律可得D正确. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，故C错误； 对于D，由得； 由得； 由得，，, 所以，， 故当时，， 所以， 所以，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解的意义，即表示数列中前两项和为外的到项，到项，到项和分别为零. 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】明确各选出1条生态沟域廊道和1条生态沟域农文体康旅体验湾的方法数，再直接利用分布乘法计数原理直接计算即可得解. 【详解】由题选出1条生态沟域廊道有9种不同选法， 选出1条生态沟域农文体康旅体验湾有18种不同选法， 故选出一沟一湾去旅游则不同的选法有种. 故答案为：162. 12. 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足，则a=___________. 【答案】e 【解析】 【分析】对函数求导，利用，可得的值． 【详解】f(x)=logax(a>0且a≠1)，则f′(x)=， ∴=1， ∴a=e， 故答案为：e. 13. 已知函数，则在区间上的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值,比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值和最小值. 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的最大值为. 故答案为：. 14. 已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 3或4 【解析】 【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，即可求得，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解． 【详解】等比数列中，公比；由，所以，又， 所以解得或； 若时，可得，则， 且的值为，可知数列单调递增，且各项均大于， 所以不会存在使得的乘积最大(舍去)； 若时，可得，则， 且的值为，…， 可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数， 前项均为正数且大于等于， 所以存在或，使得的乘积最大， 综上，可得的一个可能值是3或. 故答案为：4；3或4 15. 已知数列的各项均为正数，满足，其中常数. 给出下列四个判断： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④，不存在实数，使得. 其中所有正确判断的序号是_________． 【答案】② ③ 【解析】 【分析】①直接取即可否定；②通过推得，利用累加法求得的范围；③运用反证法思想，假设，导出矛盾，说明原命题正确；④取，根据函数单调性来确定其成立. 详解】对于①，若，，则，当时，，故①错误； 对于②当时，，解得， 又，则， 由可得，即， 因，则，故得， 故当时， 故得，即②正确； 对于③，若，，， 假设，则，这与矛盾，故有，即③正确； 对于④，当时，不妨取，则，此时， 若成立，因函数在上单调递增， 则有， 即在的前提下，必成立， 即存在实数，使得，即④错误. 故答案为：② ③. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与数列递推公式有关的不等式判断问题，属于难题. 解题的主要方法即通过赋值，举例，还有反证法思路以及数学归纳法对结论进行确定或排除. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求下列函数的导函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 17. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. （1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： （2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）从表中读取数据后计算即可得； （2）先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得； （3）得出各个公司等级情况后，言之有理即可. 【小问1详解】 调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为，则， 故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为； 【小问2详解】 A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 故其分布列为： X 0 1 2 P 其期望； 【小问3详解】 A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； 其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， 我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大. 18. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）11月6日 【解析】 【分析】（1）根据古典概型即可得解； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （3）先分别求出各个区间的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而可得出结论. 【小问1详解】 设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多， 所以； 【小问2详解】 由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天； 的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 ； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内， 符合的只有11月6日这一天， 所以这是11月6日的数据. 19. 已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】(1)根据焦距可求c，根据已知四边形周长及a、b、c的关系可求出a、b，从而可求椭圆标准方程； (2)由题可知，若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点．从而只需从直线l斜率不存着时入手求出该定点D，斜率存在时验算即可． 【小问1详解】 由题意得解得 ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点． 当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①， 当直线的斜率为0时，令，得， 因此为直径的圆的方程为②． 联立①②，得猜测点的坐标为． 设直线的方程为， 由得． 设，则 ∴ 综上，存定点，使得． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上存在极值，求实数的取值范围； （3）求的零点个数． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为在有解，则在有解，即可求解； （3）令，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的大致图象，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则， 故，， 在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 ， 当时，在单调递增，此时无极值点， 当时， 令或， 要使得在上存在极值， 则需要，解得 【小问3详解】 令， 令，则， 记，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，且， 当时，， 而当时，， 作出的大致图象如下： 故当时，无零点； 当或时，一个零点； 当时，两个零点. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是参变分离得到，令，，从而转化为与交点的个数 21. 有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，． （1）若{}：0，1，．求的取值范围； （2）若，当取最小值时，求的最大值； （3）若，，求m的所有可能取值． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义有，即可求范围； （2）首先确定中的前5项为，再根据定义及绝对值的几何意义求最大值； （3）根据分析的元素分布，讨论m研究数列，进而确定数列元素，结合题设判断数列存在性，即可得结果． 【小问1详解】 由题设，则，即或， 所以或，任意两项均不相等，故、， 故的取值范围且； 【小问2详解】 由{}各项均为整数，任意两项均不相等，要使最小，即尽量小， 则，故中的前5项为， 要使最大，即最大， 而，则 不妨令，只需依次使取到最大， 要使最大，则； 要使最大，则； 要使最大，则，故； 此时， 综上，. 【小问3详解】 对于，则的最小值为，而， 由，且， 所以有如下情况：①最后一项为3，前面各项都为1；②最后两项为2，前面各项都为1； ，数列不可能出现3，或同时出现两个2，排除； ，数列为，对应数列为，故存在满足题设的情况； ，以下过程中， 若存在满足①的数列元素依次为， 令数列前4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或， 而第5项为，不满足题设； 若存在满足②的数列元素依次为， 令数列前3项为，则第4项为（存在重复项，舍）或， 第4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，而不满足题设； 同上讨论，时不可能存在满足题设的数列； 综上，. 【点睛】关键点睛：第二、三问，根据、约束条件及定义，结合绝对值的几何意义确定的最值、元素分布. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$