精品解析：北京市西城区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷 高二数学 2024.7 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 2. 设函数的导函数为，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. ±6 5. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设等比数列前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在数列中，，若存在常数c（），使得对于任意的正整数m，n等式成立，则（ ） A. 符合条件的数列有无数个 B. 存在符合条件的递减数列 C. 存在符合条件的等比数列 D. 存在正整数N，当时， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为__________． 12. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是．假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立．那么乙答对这道题的概率为_________． 13. 设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则_________；符合条件的的一个值为_________． 14. 设数列的前n项和为，若，，且．则_________；使得成立的n的最小值为________． 15 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围． 17. 设数列前n项和为，，且对于任意都有成立． （1）写出，的值，并求数列的通项公式； （2）若等差数列的首项，公差，求数列的前n项和的最小值． 18. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 19. 为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） （1）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； （2）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 21. 设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，． （1）写出所有满足条件的数列和，使得数列； （2）若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值； （3）若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷 高二数学 2024.7 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量运算即可. 【详解】因为 所以. 故选：C. 2. 设函数的导函数为，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用三角函数的性质判断奇偶性. 【详解】由题意可知，，是偶函数. 故选：B 3. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故选：D. 4. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. ±6 【答案】A 【解析】 【分析】应用等比数列通项公式性质求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以. 故选：A. 5. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，进而可得方差. 【详解】的分布列为： 0 1 2 故, , 故选：A 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设公比，将等式运用公式化简求出，再代入通项公式即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由可知（否则不成立）， 则有，化简得，，解得，， 于是，. 故选：C. 7. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数及导函数判断大小关系即可. 【详解】因为，所以， 因为，则， 则 又因为，，所以， 即得， 所以， 可得， 所以. 故选：B. 8. 设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列递增数列分类得出或,递增得出,最后根据既不充分也不必要条件判断即可. 【详解】是等比数列是递增数列，则或， 是递增数列，,即得； “是等比数列是递增数列”是“是递增数列”既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 10. 在数列中，，若存在常数c（），使得对于任意的正整数m，n等式成立，则（ ） A. 符合条件的数列有无数个 B. 存在符合条件的递减数列 C. 存在符合条件的等比数列 D. 存在正整数N，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】赋值可得，然后分，讨论可得，然后逐一判断即可. 【详解】因为对于任意的正整数m，n等式成立，， 所以， 所以，整理得， 若，则为常数列，又，此时不满足； 若，则有，即， 此时数列是以2为首项和公差的等差数列，所以. 对于A，满足条件的数列只有一个：，A错误； 对于B，，数列单调递增，B错误； 对于C，，该数列不是等比数列，C错误； 对于D，当时，显然存在正整数N，当时，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过赋值得，然后分，即可求出通项，然后可解. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由根式的性质以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 12. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是．假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立．那么乙答对这道题的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件概率公式，即可求解. 【详解】设甲答对这道题为事件，乙答对这道题为事件， 则， 则，. 故答案为： 13. 设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则_________；符合条件的的一个值为_________． 【答案】 ①. ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解；根据离散型随机变量分布列求期望，再求值. 【详解】由题意可知，，所以， ，， 所以，符合条件的的一个值为1. 故答案为：；1 14. 设数列的前n项和为，若，，且．则_________；使得成立的n的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先赋值求得，再利用数列的周期，讨论，利用周期性求和，即可求解. 【详解】由， 令，得， 又，，所以； 由，得， 所以，所以数列是周期为3的数列，， 如果是3的倍数，设，，，得， 所以最小的为203，此时， 若，，，得， 所以的最小值为，此时， 若，，，得， 所以的最小值为，此时， 所以使成立的的最小值为. 故答案为：； 15. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案． 【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误． 对于②，如图所示． 方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根． 即在上有两根，即在有两根．必须满足 ，解得，故②正确. 对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确. 对于④，当时，，大概画出草图如下. 第一段求导，则在处的切线斜率为 第二段求导，则在处的切线斜率为. 则存在，使得切线斜率相等. 再结合图像，两段存在公切线.故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：本题综合考查了函数极值，对称性，切线，零点问题.直接计算有时候比较复杂，可以数形结合，可以简化分析运算. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围． 【答案】（1）为单调增区间，为单调减区间； （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； （2）先移项把两个零点转化两个函数有两个交点即可求解. 【小问1详解】 当在上单调递增； 当在上单调递减； 所以的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 有两个零点， 所以有两个根， 设, 单调递增，单调递减， 又因为 由题知，与有两个交点， 所以,即. 17. 设数列的前n项和为，，且对于任意都有成立． （1）写出，的值，并求数列的通项公式； （2）若等差数列的首项，公差，求数列的前n项和的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用计算求解后可表示通项公式； （2）先求出通项公式再根据通项判断正负，最后应用等差数列前n项和求解确定最值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以，又， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以的最小值为. 18. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）人 （2）分布列见解析，期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本计算频率，再估计总体参加体检的职工人数； （2）以样本中的数据的频率作为概率，利用独立事件概率公式，求分布列和数学期望； （3）根据样本的关系，再结合方差的定义，即可比较大小. 【小问1详解】 乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人， 所以运动时长不足20小时的频率为， 所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为人； 【小问2详解】 甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为， 由题意可知，， ，， ，， 分布列如下表 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 甲单位和乙单位的前9个数据的差值都是10，所以甲单位和乙单位前9个数据的方差相同， 甲单位比乙单位多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使甲单位的波动变大，从而方差变大，所以. 19. 为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） （1）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； （2）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【答案】（1） （2）为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为2m 【解析】 【分析】（1）根据题意求出长方体水池高，据此即可求解； （2）利用导数即可求解. 【小问1详解】 因为水池底面边长，所以长方体水池高为， 所以； 【小问2详解】 令，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解， （3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，又， 故在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故 【小问3详解】 由（2）知，故， 故对任意的，成立，只需要对任意的，， 记，则， ①时，此时， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值也是最小值， 故，不符合题意， ②当时，此时， 故当时， ，单调递增， 故，符合题意， ③当时，此时， 故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， ④当时，故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， 综上可得， 所以实数的最小值为. 21. 设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，． （1）写出所有满足条件的数列和，使得数列； （2）若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值； （3）若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）当为偶数时，最小值为；当为奇数时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据定义分析出，再写出所有情况即可； （2）记等差数列的公差为，分析出，则，以分析即可； （3）分为偶数和为奇数讨论，当为偶数利用反证法得，再讨论等号成立的情况，当为奇数时举例即可. 【小问1详解】 显然，因为， 根据，，则，，， 从而满足条件的答案有4组，分别为： ；； ；. 【小问2详解】 记等差数列的公差为， 由， 得，则. 由，得. 因为，且和均为各项互不相等的2024项数列， 所以， 所以，即. 所以公差. 不妨设公差，则， 而只能由1和2024得到，去除两端的数后只能由2和2023得到 以此类推，于总为定值2025. 【小问3详解】 由题意，数列中有个不同的整数，则，当且仅当数列为个连续整数时取等号， 当为偶数时，若存在数列，使得，则. 由为偶数，知为奇数，则不可能为0. 这与矛盾， 所以当偶数时，. 当为偶数时，如果数列； 数列； 那么数列，此时满足. 当为奇数时，如果数列； 数列； 那么数列，此时. 综上，当为偶数时，最小值为；当为奇数时，最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分偶数和奇数讨论，其中当为偶数时需利用反证法，再讨论出等号成立的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$