精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（A）

毛坦厂中学2023~2024学年度下学期期末考试 高一数学（A） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章、选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和幂的运算性质计算可得结果 【详解】. 故选： 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理， 得. 故选：A. 3. 已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算. 【详解】由题意，则，所以， 所以， 故选：C. 4. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解. 【详解】依题意，四边形是平行四边形，， 如图，是的直观图，， 所以四边形的直观图面积为. 故选：D 5. 若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出平行四边形ABCD，再利用平面向量的加法和减法法则，结合平行四边形的性质，即可得到答案. 【详解】对于，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故正确; 对于，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确; 对于，利用向量减法的三角形法则得，故正确; 对于与是相等的非零向量，，故D错误. 故选:. 6. 在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理列式计算即可. 【详解】如图，连接，由为的中点得，设， 则，， ， 因为，所以， 即，解得（负值舍去）. 故选：B 7. 已知正方形的边长为2，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】． 故选：C． 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故面积. 即面积的最大值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘方以及除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】,在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限，A正确， ，B错误， ，C正确， ，故D错误， 故选：AC 10. 已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 二面角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据到的距离为定值即可求解A，根据可得即可求解B,根据到直线的距离等于到的距离即可求解C，根据面面垂直即可求解D. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，到直线的距离等于到的距离，由于为边长为的等边三角形， 故到的距离为，因此到直线的距离为定值，故C正确； 对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知x、，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：2. 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 【答案】 【解析】 【分析】构造两条异面直线所成的角，再求角的大小. 【详解】如图： 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角， 易知为等边三角形，所以. 故答案为： 14. 已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 【答案】垂 【解析】 【分析】使用数量积的分配律得到，，即，，进而得到点为的垂心. 【详解】由，知，，故，，从而为的垂心. 故答案为：垂. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为. （1）写出向量的坐标; （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】(1) 由向量坐标运算即可求解； (2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 设，由，可得， 所以，故. 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可证∥，∥，结合线面平行、面面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. 【小问2详解】 因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解； （2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由，可得． 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以的面积． 18. 如图，在三棱锥中，是线段中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1）是的中点，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点E的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明. 【小问1详解】 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得.又是的中点，在上， ∴是的中点. 【小问2详解】 取的中点，连接，， ∵，为中点， ∴，， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴. 19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，距离为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点，再利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【小问2详解】 假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 毛坦厂中学2023~2024学年度下学期期末考试 高一数学（A） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章、选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ） A 9 B. 8 C. 3 D. 4. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正方形的边长为2，则（ ） A B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 10. 已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知x、，若，则______． 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 14. 已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为. （1）写出向量的坐标; （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 17. 在中，角对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，是线段中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． （1）求平面与平面所成锐二面角余弦值； （2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$