精品解析：甘肃省平凉市崆峒区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年下学期期末质量检测 七年级数学试题 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ） A. B. C. D. 2. 的平方根为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有算术平方根 B. 两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数的绝对值都是正数 4. 某校2000名学生参加安全知识竞赛活动，为了了解本次竞赛的成绩分布情况，从中抽取了300名学生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 这300名学生是样本容量 D. 这300名学生的成绩是总体的一个样本 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x，y的方程组的解为，则的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 9. 关于x，y的方程组的解中，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个解是的二元一次方程：_______. 12. 如图，已知直线，现将一块含角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若，则的度数为___________． 13. 如果a，b分别是2024的两个平方根，那么___________． 14. 若点A(﹣2，n)在x轴上，则点B(n﹣1，n+1)在第_____象限． 15. 质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为________． 16. 已知不等式组的解集为，则________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 20. 与在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为__________； 21. 阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： （1）借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； （2）根据与在数轴上的位置，可得__________；（选填“>”．“<＂或“=”） （3）若为的小数部分，为的整数部分，求． 22. 完成下面的推理过程： 如图，已知于点于点． 求证：．（依据推理证明填空） 证明：， （_______________________________）， ∴（__________________________） （_____________________________）． （已知）， ___________（__________________________）， ∴（___________________________）， ___________（___________________________）， （已知）， ___________（等量代换）， ∴（______________________）． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知点，解答下列问题． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 24. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题： (1)本次随机调查了_________名学生 (2)补全条形统计图 (3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的约有多少人？ 25. 阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 26. 文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？ 27. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期期末质量检测 七年级数学试题 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的定义，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；逐项判断即可求解． 【详解】将图中的“弗里热”通过平移可以得到 故选：A． 2. 的平方根为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，先化简再根据平方根的定义，求解即可． 【详解】解：，4的平方根为； 故选D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有算术平方根 B. 两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、无理数、绝对值，理解无理数的概念是解答的关键． 根据平方根、无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解， 【详解】解：A．0的算术平方根是0，则错误，故不符合题意； B．两个整数相除，而循环小数是有理数，则错误，故不符合题意； C．无理数不可以用分数来表示，不是分数，则错误，故不符合题意； D．任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意． 故选：D． 4. 某校2000名学生参加安全知识竞赛活动，为了了解本次竞赛的成绩分布情况，从中抽取了300名学生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 这300名学生是样本容量 D. 这300名学生的成绩是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查总体，个体，样本和样本容量，根据相关定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、2000名学生的成绩为总体，故原选项说法错误，不符合题意； B、每名学生的成绩是个体，故原选项说法错误，不符合题意； C、样本容量为300，故原选项说法错误，不符合题意； D、这300名学生的成绩是总体的一个样本，说法正确，符合题意； 故选D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是求出不等式组的解集，解集在数轴上表示时，“”和“”用实心原点表示，“<”和“>”用空心原点表示． 先求出不等式的解集，再用数轴表示出来即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 6. 如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题的关键是利用好数形结合的思想． 根据三角形外角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ； 故选：A． 7. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得出答案． 应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据平面内点的平移规律可得， 把“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置， ， 即棋子“马”所在的点的坐标为． 故选：A． 8. 关于x，y的方程组的解为，则的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，平方根，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 根据二元一次方程的解，求得，代入即可求出的平方根． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴，解得：， ∴的平方根是． 故选：B． 9. 关于x，y的方程组的解中，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键． 由两式相加，得到，再根据列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相加，可得，即， 又∵， ∴，解得：． 所以的取值范围是． 故选：C． 10. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设雀每只两，燕每只两，根据三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组． 【详解】解：∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个解是的二元一次方程：_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，由此可列方程． 【详解】解：解是的二元一次方程可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，已知直线，现将一块含角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若，则的度数为___________． 【答案】##61度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，推出，即可得解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如果a，b分别是2024的两个平方根，那么___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵分别是2024的两个平方根， ， ， ， 故答案为：2024． 14. 若点A(﹣2，n)在x轴上，则点B(n﹣1，n+1)在第_____象限． 【答案】二 【解析】 【详解】分析：根据x轴上点的纵坐标为0求出n，然后确定出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 详解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n=0，∴点B（n﹣1，n+1）为（﹣1，1），∴点B位于第二象限． 故答案为二． 点睛：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 15. 质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为________． 【答案】抽样调查##抽查 【解析】 【分析】根据抽样调查的定义进行判断． 【详解】质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为抽样调查． 故答案为：抽样调查． 【点睛】本题主要考查了抽样调查，熟练掌握抽样调查的定义是解本题的关键． 16. 已知不等式组的解集为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程组的解集为，进而得到，求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，代数式求值，正确求出不等式组的解集，进而得到关于a、b的方程是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，掌握立方根的定义、平方根的定义及乘方的运算法则是解题的关键． 利用立方根的定义、平方根的定义及乘方的运算法则进行化简，再合并化简结果即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：， ，得：③， ，得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． 19. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 与在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为__________； 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，坐标与图形，点的平移变换的规律：左减右加，上加下减． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的规律进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可得：，，， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由图可知，，， 将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 点是内部一点， 内部的对应点的坐标为， 故答案为：． 21. 阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： （1）借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； （2）根据与在数轴上的位置，可得__________；（选填“>”．“<＂或“=”） （3）若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】（1）见解析 （2）> （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【小问1详解】 如图，点A为，点B为， 【小问2详解】 ∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 22. 完成下面的推理过程： 如图，已知于点于点． 求证：．（依据推理证明填空） 证明：， （_______________________________）， ∴（__________________________） （_____________________________）． （已知）， ___________（__________________________）， ∴（___________________________）， ___________（___________________________）， （已知）， ___________（等量代换）， ∴（______________________）． 【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据垂线的定义，平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】证明：∵， ∴(垂线的定义)， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(内错角相等，两直线平行)， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(内错角相等，两直线平行) 故答案为：垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知点，解答下列问题． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）点A的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握在轴上的点的横坐标为零，平行于轴的直线上的两个点的纵坐标相等是解题的关键． （1）根据在轴上的点的特征，横坐标为零，得到，求出的值即可得到点的坐标； （2）由点的坐标为，且轴可得，求出的值即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 ∵点B的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 24. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题： (1)本次随机调查了_________名学生 (2)补全条形统计图 (3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的约有多少人？ 【答案】（1）200； （2）补全条形图如下： （3）240 【解析】 【分析】（1）由选择“棋类”课程的人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用被调查的总人数乘以选择“书画”类课程对应的百分比求出其人数，再根据四种课程的人数之和等于总人数求出戏曲的人数，从而补全条形图； （3）用总人数乘以样本中选择“戏曲”类的人数所占百分比即可得． 【详解】解：（1）本次随机调查学生的人数为30÷15%=200（人）， 故答案为：200； （2）选择“书画”课程的人数为200×25%=50（人）， 则选择“戏曲”课程的人数为200-（50+80+30）=40（人）， （3）估计全校学生选择“戏曲”类的约有1200×=240（人）． 答：估计全校选择戏曲类有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 25. 阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8 （2） （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【小问1详解】 解：根据定义，得， 解得， ∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8； 【小问2详解】 解：根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： 根据定义，得， 解得， 假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同， 则，无解， ∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同． 26. 文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】（1）购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元 （2）该商店共有3种进货方案 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式是解本题的关键； （1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．再建立方程组解题即可； （2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，利用甲种纪念品的数量不少于38件，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，再建立不等式组解题即可； 【小问1详解】 解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元． 【小问2详解】 设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为38,39,40， ∴该商店共有3种进货方案． 27. 已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若，则=_______°； （2）若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 【答案】（1）45； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵ ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $