精品解析：浙江省宁波市镇海区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

镇海区2023学年第二学期期末质量检测试卷 初二数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 将化简，正确的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 25 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知矩形两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ） A 米 B. 30米 C. 米 D. 10米 6. 小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数（k为实数）的图象上，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，于点，点在上，，若点分别为的中点，连结，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（ ） A. 若，当，则 B. 若，当，则 C. 若，当，则 D. 若，当，则 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母a的取值范围是______． 12. 甲、乙两人进行射击测试，两人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是环，环，在本次射击测试中，这两个人成绩更稳定的是_____（填甲或乙）． 13. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是_____． 15. 如图，在平行四边形中，，，，分别以为一边，在平行四边形外部作正方形、若M，N，O，P是各正方形对角线的交点，则四边形的面积等于_____． 16. 如图，第二象限的点B、C在反比例函数图像上，延长交轴于点A，点E是x轴负半轴上的一点，，连接，若，，，则k的值是_____． 三、解答题（第17题6分，第18−20题每题8分，第21−23题每题10分，第24题12分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 某校为了了解初三学生寒假期间参加体育锻炼天数，随机抽取了部分初三学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为_____天． （2）请补全条形统计图． （3）如果该校初三有1600名学生，请你估计初三约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天． 20. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 21. 如图1，是的角平分线，、分别是边、上的点，满足，连结交于点，且，连结、． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，若，，，求菱形的边长． 22. 某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） （1）求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． （2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 24. 如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形． （1）连结交于点O，连结． ①求证：． ②若，求的长． （2）若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇海区2023学年第二学期期末质量检测试卷 初二数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 将化简，正确的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故选：A． 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标．先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：A 4. 已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， 在矩形中，，，， 故B、C、D选项结论正确， 当四边形为菱形或正方形时，成立， 故结论不一定正确的是A选项， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对边互相平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等． 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ） A. 米 B. 30米 C. 米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是银师的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：迎水坡的坡度， ， 米， 米， 由勾股定理得：（米， 故选：A． 6. 小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：C． 7. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 8. 若点，，都在反比例函数（k为实数）图象上，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴图象在一、三象限均有随的增大而减小 ∵， ∴ 故选：B 9. 如图，在中，，于点，点在上，，若点分别为的中点，连结，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，由点分别为的中点，则分别为的中位线，由中位线定理，平行线的性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：． 10. 已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（ ） A. 若，当，则 B. 若，当，则 C. 若，当，则 D. 若，当，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由二次函数的解析式求得对称轴为直线，然后判断与的大小，即可判断每个选项正误，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数得， 当时，， 解得，， ∴二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故符合题意； 、若，当， ∴， 则，故不符合题意； 故选：． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数大于或等于0成为解题关键． 直接利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得：． 故答案是：． 12. 甲、乙两人进行射击测试，两人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是环，环，在本次射击测试中，这两个人成绩更稳定的是_____（填甲或乙）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较出甲和乙的方差大小即可． 【详解】解：环，环， ， ∴成绩较稳定的是甲． 故答案为：甲． 13. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由内角和公式可得： ， ， 故答案为：6． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，，分别以为一边，在平行四边形外部作正方形、若M，N，O，P是各正方形对角线的交点，则四边形的面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，如图所示，连接，由正方形的性质可得，，，，；证明，得到，则，进一步证明四边形是正方形；如图所示，过点N作交延长线于T，则，可得，则，由勾股定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵P、M、N分别是正方形，正方形，，正方形对角线的交点， ∴，，，，； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴四边形是正方形； 如图所示，过点N作交延长线于T，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14． 16. 如图，第二象限的点B、C在反比例函数图像上，延长交轴于点A，点E是x轴负半轴上的一点，，连接，若，，，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征成为解题的关键． 如图：分别过作轴与F，轴与D，根据反比例函数图像上对称性可得，可知；设，，，，进而求得，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：分别过作轴与F，轴与D， ∵， ∴， ∴ 设， ∴，， ∴ 设， ∵， ∴①； ∵， ∴②， ①②联立解得：， ∴， ∵C在反比例函数图像上， ∴． 故答案为：． 三、解答题（第17题6分，第18−20题每题8分，第21−23题每题10分，第24题12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 19. 某校为了了解初三学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初三学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为_____天． （2）请补全条形统计图． （3）如果该校初三有1600名学生，请你估计初三约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天． 【答案】（1）5；6 （2）见解析 （3）初三体育锻炼不少于7天的有人 【解析】 【分析】（1）先求出本次调查人数，锻炼8天的人数，然后根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据第（1）中所求数据补图即可； （3）用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比，计算即可得解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查人数为（名）， 锻炼8天的人数是（名）， ∴众数为5天， 将体育锻炼天数从小到大进行排序，排在中间位置的两个数都是6天， ∴中位数为6天； 【小问2详解】 解：补图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计初三体育锻炼不少于7天的有640人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】（1）该方程是波浪方程 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，， ， 故该方程是波浪方程； 【小问2详解】 解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 21. 如图1，是的角平分线，、分别是边、上的点，满足，连结交于点，且，连结、． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，若，，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由含角的直角三角形的性质得，设，则，进而得，然后求出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：，平分， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ， 即菱形的边长为． 22. 某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） （1）求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． （2）经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 【答案】（1）从月份到月份，玩具销售额的月平均增长率为 （2）月份每个玩具的销售价格是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，根据销售额销售单价销售数列出关于x的一元二次方程求解，解出x再加上原销售价即可． 【小问1详解】 解：4月份的玩具销售额为元 设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍去） 答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为 【小问2详解】 设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个 解得，（舍） 答：6月份每个玩具的销售价格是90元 23. 根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 24. 如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形． （1）连结交于点O，连结． ①求证：． ②若，求的长． （2）若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于H，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，如图，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 到现在得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D做于H， ， ， ， 在中，， 连接交于G， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； 【小问2详解】 解：或5或 当在边上时（图1）， 由折叠可知， 过D做， ， ． 由折叠，， 当在边上时（图2）， 由折叠，，． 又，故中位线． 因此， 是等腰直角三角形， ． 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或5或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$