精品解析：山东省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联合教学质量检测数学试卷

2025届新高三期末联合教学质量检测 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若样本空间中的事件，，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 360 D. 720 7. 已知则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为2 C. 第6项与第7项的系数相等 D. 含的项的系数为448 10. 某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（ ） A. B. C. D. 至少进1个球的概率为0.9919 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得表数据. 6 8 10 12 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程_______，据此可预测判断力为的同学的记忆力为____. （回归直线方程是：，其中，） 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 16. 端午节吃粽子是我国传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值． 18. 将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号x 1 2 3 4 5 销量y (万台) 2 3.5 2.5 8 9 （1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量； （2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据： 了解 不了解 合计 男生 25 女生 20 合计 （i）根据已知条件，填写上述2×2列联表； （ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关?参考公式： 1. 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 2. α 0.050 0010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数为的导函数，记，其中为常数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高三期末联合教学质量检测 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法得到，从而得到实部的值，由复数的乘法得到，从而得到虚部的值，从而得到，得到对应的点，得到所在象限. 【详解】，所以，所以， 其在复平面内的对应点为，位于第一象限． 故选：A． 3. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D. 【详解】因为随机变量，满足，且，所以 对于A，，所以A不正确； 对于B，，， ，所以B不正确； 对于C，，， ，所以C不正确； 根据, 由, 则，， 故选：D. 4. 若样本空间中的事件，，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件概率公式和全概率公式结合已知条件求出，再由和结合条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以，解得， 因为 所以. 故选：A. 5. 已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数判断在和上各有1个零点，转化为当时，有2个零点，利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可. 【详解】当时，，当时，单调递增； 当时，单调递减． 又，，，所以在和上各有1个零点． 又因为有4个根，所以当时，有2个零点， 因为，所以，即， 解得． 故选：B． 6. 北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 360 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 7. 已知则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比较大小，构造，结合单调性即可比较大小；比较大小，构造，结合单调性即可比较大小. 【详解】令，则，所以单调递增， 又，所以，即， 所以，所以，即，所以， 设，则，所以单调递减， ，即，故，，即，所以， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合的特点，，构造；结合的特点，，构造；从而得解. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围. 【详解】由， 两边同时加，得：. 设，则，所以在上单调递增. 所以. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为2 C. 第6项与第7项的系数相等 D. 含的项的系数为448 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式系数性质及展开式的通项公式即可得解. 【详解】展开式的通项为， 因为，所以二项式系数最大的项为，故A正确； 令，得常数项为，故B错误； 第6项为，第7项为， 所以第6项与第7项的系数相等，故C正确； 含的项为，其系数为，故D正确. 故选：ACD. 10. 某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（ ） A. B. C. D. 至少进1个球的概率为0.9919 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，根据二项分布概率的计算公式和均值与方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意知，，则，解得， 所以， ， 所以至少进1个球的概率为. 故选：ABD 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的极值点，并根据极值点和零点的定义，即可判断AB，根据的特征，判断，即可求等差数列，判断C，根据导数的几何意义，求切点个数，即可判断D. 【详解】A.，得或， ，变化情况如表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数有2个极值，故A错误； B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即， 即函数 其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确； C.当时，满足， 则， ， 同理，满足，故C正确； D.设过点作曲线的切线的切点为，则，， 则，即， 即，得，或， 有两个切点，所以过点可作曲线的两条切线，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】已知函数，则， 且，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 某研究机构对高三学生记忆力和判断力进行统计分析，得表数据. 6 8 10 12 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程_______，据此可预测判断力为的同学的记忆力为____. （回归直线方程是：，其中，） 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程；再用方程代入数据预测记忆力即可. 【详解】设y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点 由表格数据得， ， ， ， 故根据最小二乘原理知， 所以， 即线性回归方程为； 将代入方程，得， 即可预测判断力为4的同学的记忆力为. 故答案为：；. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______. 【答案】1250 【解析】 【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】由题意知，所以，， 若，则， 即，即， 由切比雪夫不等式知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内， 则，解， 所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 故答案为：1250 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）448 （2）255 【解析】 【分析】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【小问1详解】 因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以． 16. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； （3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解； （2）根据超几何概率公式，列式求解； （3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 令表示事件“三种粽子各取到1个”，则； 【小问2详解】 的所有可能值为， 且 综上知，分布列为 1 2 3 【小问3详解】 由题意知的所有可能值为，且，. 综上知，的分布列为 1 2 3 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值． 【答案】（1）单调增区间：，单调减区间：． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析得出结论. 【小问1详解】 易知定义域为R，， 所以，，，． 故单调增区间：，单调减区间：． 【小问2详解】 因为，， 所以曲线在点处的切线为 把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解， 即且，即 解得或． 18. 将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号x 1 2 3 4 5 销量y (万台) 2 3.5 2.5 8 9 （1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量； （2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据： 了解 不了解 合计 男生 25 女生 20 合计 （i）根据已知条件，填写上述2×2列联表； （ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关?参考公式： 1. 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 2. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），可以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台 （2）（ⅰ）列联表见解析；（ⅱ）该校学生对氢能源的了解情况与性别有关 【解析】 【分析】（1）利用已知可求得，，求得回归直线方程，可求2024年氢能源乘用车的销量的预测值； （2）补全的列联表，计算可得结论. 【小问1详解】 年份编号的平均数， 销量的平均数， 所以， 又 所以， 于是， 所以关于的经验回归方程为，又因为年份2024对应的编号为7， 所以， 故可以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为： 了解 不了解 合计 男生 35 25 60 女生 20 40 60 合计 55 65 120 （ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关， 根据列联表中的数据可得：， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关. 19. 已知函数为的导函数，记，其中为常数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解； （2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证. 【小问1详解】 定义域为. ，， ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，则，解得， 令，则，解得， 在单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故， 函数有两个极值点， 在有两个不同零点的必要条件是， 解得， 当，在单调递增，在单调递减， ， 由零点存在性定理得：在，各有1个零点， 的取值范围是. ②函数有两个极值点， ① ② ①②得：， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上成立， ，得证. 【点睛】关键点点睛：要证明不等式，关键点之一在于消去后对结论进行恰当变形，转化为证明成立，其次关键点在于令换元，转化为证明成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$