精品解析：湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

湖南高一期未考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､坐位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干浄后，再选涂其他答察标号.回答非选掸题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本试卷主要考议内容：人教A版必修第一､二册，选择性必修第一册第一章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可得. 故选：D. 3. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】说明两个集合没有公共部分，借助数轴即可解题. 【详解】由题意可得. 因为，且一定不是空集， 则说明无公共部分. 因此. 故选：C． 4. 已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”充分不必要条件. 故选：B. 5. 已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题. 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式求出正切值，然后代入二倍角的正切公式中即可得解. 【详解】因为，所以，所以，则. 故选：C 7. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A. 至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B. “至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C. “恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D. “恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件，所以A错误， 对于B，“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件，所以B错误， 对于C，“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件，所以C正确， 对于D，“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件，所以D错误. 故选：C 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可. 【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足 解得 当是上的单调递减函数时， 解得.综上，的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点位于在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算计算，即可判断；根据复数的模的运算即可判断；根据共轭复数的定义即可判断；根据复数的几何意义即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是，故错误； ，故正确； ，故错误； 在复平面内对应的点位于在第一象限，故正确. 故选：. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得周期，从而求出，将点，代入解析式可得，即可判断AB；计算，若可说明的图象关于点对称，即可判断C；，即，解三角不等式即可判断D. 【详解】由图可知，又，则. 点在的图象上， ， ，解得， ，，则错误； 点在的图象上，，解得，则正确； ， 的图象关于点对称，则正确； 由，即，即， 得，解得， 所以不等式的解集是，则错误. 故选：BC. 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线到直线，求解即可判断C；根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合空间向量法即可求解D. 【详解】对于A，因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为，故A正确； 对于B，该几何体的体积为，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故C正确 对于D，设的中点为，连接、，则，， 则即二面角的平面角． 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、， 则，， 则，故D错误.    故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图1和图2直观想象“蒺藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________. 【答案】79 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】由题意知，数据已按由小到大排雷，因为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是. 故答案为：79. 13. 如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法来计算向量的模长即可. 【详解】 因为分别是棱的中点，所以， 则. 因为平面，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，所以. 因为， 所以. 故答案为： 14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，由平面推导出，得,作出四面体外接球球心的大致位置，设,利用和直角梯形建立关于的方程，解之即得外接球半径，继而得表面积. 【详解】 如图，连接交于，连接， 因平面平面,且平面，故得， 易知为的中点，则为的中点． 设四面体外接球的球心为，则平面， 设，则（*）， 而在直角梯形中，， 代入（*）得，， 解得，则， 故四面体外接球的表面积为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线面平行的性质应用和多面体的外接球问题，属于难题. 对于已知线面的平行条件，一般考虑通过直线构造一个平面与已知平面相交，得到线线平行；对于多面体的外接球，一般是先找到底面多边形的外接圆圆心，利用球的截面圆性质作出外接球球心，借助于直角三角形或直角梯形求解即得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】（1） （2）73 （3）180 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得． 【小问2详解】 由题意，估计平均分分. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可得，从而可证平面； （2）连接，可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 记，连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为，所以. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 17 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形化为一般三角形式，即可求周期； （2）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （3）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可得， 则的最小正周期. 【小问2详解】 令， 解得， 故的单调递减区间为. 【小问3详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值，且最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 18. 端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率； （3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）找出甲通过比赛的所有情况并求出对应概率后求和即可得； （3）借助间接法计算出甲､乙都没有通过比赛的概率后即可得. 【小问1详解】 甲第一轮答对类题目的概率为； 【小问2详解】 甲通过比赛的情况有以下三种： 第一种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第二种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第三种情况是甲答对2道类题目，其概率. 故甲通过比赛的概率为. 【小问3详解】 乙通过比赛的概率为. 甲､乙都没有通过比赛的概率为， 则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【小问1详解】 如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. 【小问2详解】 如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. 【小问3详解】 如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南高一期未考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､坐位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干浄后，再选涂其他答察标号.回答非选掸题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本试卷主要考议内容：人教A版必修第一､二册，选择性必修第一册第一章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A. 至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B. “至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C. “恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D. “恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点位于在第一象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式解集是 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________. 13. 如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________. 14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”学生人数. 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 18. 端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率； （3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$