精品解析：广东省广州市实验外语学校2023-2024学年高一下学期5月测试数学试题

广州市实验外语学校2023-2024学年第二学期 高一5月数学测试 一、单选题 1. 已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 7. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10. 如图，正方体的棱长为1，为的中点.下列说法正确的是（     ） A. 直线与直线是异面直线 B. 在直线上存在点，使平面 C. 直线与平面所成角是 D. 点到平面的距离是 11. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 三、填空题 12. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 这10名同学数学成绩的分位数是___________. 13. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为___________. 14. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米． 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. （1）根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数； （2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差. 选科方向 样本平均数 样本方差 物理方向 75 历史方向 60 18. 如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示. （1）求证：； （2）求与面所成的角； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 已知函数，其中，，. （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市实验外语学校2023-2024学年第二学期 高一5月数学测试 一、单选题 1. 已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部. 【详解】解：因为，所以， 所以，则共轭复数的虚部为. 故选：C 2. 已知，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线得出向量共线，结合向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】因为，，，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】按要求进行三角函数的平移与变换写出对应解析式，对比答案即可. 【详解】对于A，横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度得到，故A错误； 对于B，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，显然不对，同理D也不对； 对于C，将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位长度，得到. 故选：C. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对A，若，，则，故A错； 对B，若，，则有可能或，故B错； 对C，若，，则有可能或与相交，故C错； 对D，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面， 则另一条也垂直该平面，故D正确. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，从而根据变名的诱导公式可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D． 6. 自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（ ） A. 成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C. 高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D. 成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【解析】 【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案. 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，错误. 故选：D 7. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助外心性质与投影定义可得，结合向量的线性运算计算可得，即可得解. 【详解】因为是的外心，为的中点， 设的中点为，连接， 所以，，， . 故选：B. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系,结合锐角三角形求出范围，进行求解. 【详解】在中，， 由得， 因为，所以， 由余弦定理得，则，故， 又由正弦定理得， 整理得， 因为，故或（舍去），得， 为锐角三角形，故，解得，故， 所以的取值范围是． 故选：C. 二、多选题 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，正方体的棱长为1，为的中点.下列说法正确的是（     ） A. 直线与直线是异面直线 B. 在直线上存在点，使平面 C. 直线与平面所成角是 D. 点到平面的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】证明与在平面上，可以判断A；连接，，取的中点，连接，证明平面可判断B；连接交于点，连接，由平面，有平面，可判断C和D. 【详解】 对于A，正方体，，， 四边形是平行四边形，四点共面， 由图可知直线与直线都在平面中， 直线与直线不可能是异面直线，故A错误； 对于B，连接，，取的中点，连接， 又为的中点，则， 正方体，，， 四边形是平行四边形，， ，所以， 正方体，平面，又平面， ，且，平面， 得平面，则平面，故B正确； 对于C，连接交于点，连接， 由平面，有平面， 则即为直线与平面所成的角， 正方体的棱长为1，所以， ，则，故C错误； 对于D， 由平面知，即为点到平面的距离，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简函数，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解. 【详解】因为 ， 对A，令，则，即的单调增区间为， 则在上单调递增，故选项正确； 对B，图象向左平移个单位长度得到， ，故选项正确； 对C，由于，故选项错误； 对D，若函数在上至少有11个零点， 即与在上至少有11个交点， 令，则或， 即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为， 则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 这10名同学数学成绩的分位数是___________. 【答案】146 【解析】 【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可. 【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列： 140,142,142,143,144,145,147,147,148,150 根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147； 10名同学数学成绩的分位数为：. 故答案为：146 13. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解、，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球的半径为，作出轴截面（一半）如图： 因为的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为，， 又，所以，， 所以，解得（负值已舍去）， 故所求体积之比为 故答案为： 14. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 【详解】设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） 如图： 取中点，连接、， 是的中点， ， 又平面，平面， 平面， 和都垂直于平面， ， 又，，， 则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又，平面平面， 平面平面， 平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形中位线的性质得到，进一步得到平面，再由已知证出四边形为平行四边形，从而得到平面，即可得到平面平面，从而得证； （2）先证出平面，进而得出点到平面的距离为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， 在直角中，， 在直角中，， ，又为的中点， ， 又，， ，平面 平面， 即点到平面的距离为， 因为， 所以． 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. （1）根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数； （2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差. 选科方向 样本平均数 样本方差 物理方向 75 历史方向 60 【答案】（1），平均数69，第71百分位数75； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出a值，再求出学生成绩的平均数和第71百分位数作答. （2）由（1）结合平均数的意义求出，再根据方差的定义求出作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得， 学生成绩在区间内的频率依次为：， 样本平均数， 显然学生成绩在区间内的频率为，在区间内的频率为，因此第71百分位数， ，解得， 所以，估计该校全体学生成绩的平均数为69，第71百分位数为75. 【小问2详解】 依题意，抽取的30名学生中，物理方向有（人），则历史方向有12人， 由（1）知，，解得， 物理方向的样本数据为，历史方向的样本数据为， 依题意，，， 全体学生成绩的方差 ，解得， 所以，. 18. 如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示. （1）求证：； （2）求与面所成的角； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明: 在直角梯形中，连接，如图，，， 则四边形为菱形，，连接交于点O，则，， 因此，在折起后的图中，，，如图， ，平面，则平面，又平面， 所以. （2）45°； （3）. 【解析】 【分析】（1）在直角梯形中，证明，即可证得平面推理作答. （2）由面面垂直可得平面，再结合已知计算作答. （3）延长，交于点G，作出平面与平面所成二面角的平面角，借助直角三角形计算得解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连DO，由（1）可得，，则， ，而平面平面，平面平面，平面， 因此，平面，即是与面所成的角，而，则， 所以与面所成的角45°. 【小问3详解】 延长，，设，连接， 显然平面，平面，又平面，平面，即是平面与平面的交线， 因平面平面，，平面平面，平面BCDE， 则平面，又平面，即，作，垂足为H，连接， 又，则平面，又平面，于是得， 因此即为平面与平面所成锐二面角的平面角， 由（2）知，又，，则，， 在中，，则. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线， 两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 19. 已知函数，其中，，. （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为：；对称轴为：， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据数量积的坐标公式及三角恒等变换化简解析式，再根据正弦函数的周期性和对称性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性求解即可； （3）函数在上存在零点，分离参数可得在上有解，令，再结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 ， 由，则的最小正周期为， 令，，解得，， 即对称轴为，； 【小问2详解】 由（1）知，设，， 所以， 又在的单调递减区间是， 由，得， 所以在上的单调递减区间是； 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 函数在上存在零点， 即在上有解， 因为，所以， 所以， 令，， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $