2024届山东省威海市高考一模数学试题

2024年威海市高考模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.样本数据11,12,13,16,20,22,25,27,36的60%分位数为 A.20 B.21 C.22 D.23.5 2.在研究集合时，用cad(A)来表示有限集合A中元素的个数.集合M={1,2,3,4}, N={xx>m},若card(M∩N)=2,则实数m的取值范围为 A.[2,3) B.[2,3] C.(2,3) D.(2,+0) 3.已知双曲线号后=1a>0,6>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±2x B.y=+2x C D.y=±4 4.已知正项等比数列{an}中，a=1,且-a5,a4,a,成等差数列，则a2= A.2 B.3 C.4 D.6 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为√3的直线过点F,且与C在第 一象限的交点为A,若|AF=8,则p= A.2 B.4 C.8 D.12 6.在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为棱BC,BC的中点，若平面DBB与平 面AEF的交线为I,则I与直线AD所成角的大小为 B臂 c D 7.已知向量a,b满足|a=1,|b=2,且对元∈R,|b+ab-a,则ab= A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.设a= 0b=h1.21,c=10s 100则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 高三数学第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题为真命题的是 A.(1+i)是纯虚数 B.对任意的复数z,z2z C.对任意的复数z,(z-1)z-1)为实数 D.cosa+isina =cos(a+B)+isin(a+B) cos B+isin B 10.已知函数fo)=sin(x+乃，则 6 A.f(x)在(0,1)上单调递减 B,将y=)图象上的所有点向左平移2个单位长度后得到的曲线关于y轴对称 C.f(x)在(-1,2)上有两个零点 D觉f0= 1数学家加斯帕尔：蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆子+广1>b>0)任意两条互 相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，√a2+b为半径的圆上，这个圆被称为该 椭圆的蒙日圆。已知椭圆C:x+少 9b2 =1(0<b<3)可以与边长为2√6的正方形的四条 边均相切，它的左、右顶点分别为A,B,则 A.b=√5 B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12 C.椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足|MA=√3|MB D若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E,F两点，且直线OE,OF的斜率都存在， 记为k,k2,则k·k,为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x3-x)的展开式中x3的系数为 (用数字作答) 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=√6，b+c=4, cosC=-6 ,则sinA=」 6 14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的 体积为 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等 级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质 量检测 (1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀 等级的概率： (2)若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到 优秀等级的件数为X,求X的分布列和数学期望. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边三角形， PD⊥AB,AD∥BC,AD=4,AB=BC=2,M为PA的中点. (1)证明：DM⊥平面PAB: (2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值. B 17.(15分) 已知函数f(x)=lnx-ax+l. (1)求f(x)的极值： (2)证明：lnx+x+1≤xe. 高三数学第3页（共4页） 18.(17分) 在直角坐标系xOy中，已知曲线C:y=ax2+c过点(0，-1)，且与x轴的两个交点为A, B,|AB=4. (1)求C的方程： (2)已知直线1与C相切. (i)若1与直线y=-1的交点为M,证明：1⊥OM; (i)若I与过原点O的直线相交于点P,且1与直线OP所成角的大小为45°，求点P 的轨迹方程 19.(17分) 设x∈R,y是不超过x的最大整数，且记y=[x],当x≥1时，[x]的位数记为f(x), 例如：0=1，f99=2,f962)=3. (1)当10≤x<10(n∈N+)时，记由函数y=fx)的图象，直线x=10,x=10”以 及x轴围成的平面图形的面积为an,求a,a2及a+a2++a。: (2)是否存在正数M,对x∈[M,+o),f(3)>f(2),若存在，请确定一个M的 值，若不存在，请说明理由： (3)当x≥1，neN+时，证明：f(x)+f10x)+f10x)++fI0"x)=f10"x)-1. 高三数学第4页（共4页）2024年威海市高考模拟考试 数学参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分。 题号 3 6 答案 C A D A B c B 二、选择题：每小题6分， 共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题：每小题5分， 共15分。 题号 12 13 14 答案 35 5 32π 3 3 四、解答题： 15.(13分) 解：(1)用A,A,分别表示抽到是甲厂产品、乙厂产品，B表示抽到的产品达到优秀等级，则 P(4)=60%,P(42)=40%,P(B4)=90%,P(B4)=65%. 从而有PB)=P氏4)PB4)+P(A,)PB4)=60%x90%+40%x659%=5 4 4分 (2)由(1)知，质检部门在该市场中随机抽取1件该商品达到优秀等级的概率为号 可得X-B4,专.则X的取值范围是0,12,34， -5分 P(X-0)-Cx( 96 625 4、4256 P(X=4)=C×(兮°= 625 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 4 1 P 16 96 256 256 625 625 625 625 625 -11分 E(X)=4×55 416 13分 高三数学答案第1页（共6页） 16.（15分) (1)证明：取AD的中点O,连接PO, 因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD, 1分 因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,POc平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥AB, -2分 因为PD⊥AB,PD∩PO=P, 所以AB⊥平面PAD,- -3分 因为DMC平面PAD,所以AB⊥DM, -4分 2 因为△PAD为等边三角形，M为PA的中点， 所以DM⊥PA, -5分 因为AB∩PA=A, 所以DM⊥平面PAB. 7分 (2)解：连接CO, 因为AD∥BC,AD=2BC, 所以AO∥BC且AO=BC, 所以四边形ABCO为平行四边形，所以AB∥OC, 所以OC⊥平面PAD,-- -8分 以O为坐标原点，OC,OD,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， -9分 则C(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,25),B(2,-2,0),M(0,-1,5),-10分 所以PB=(2,-2,-2V3),CM=(-2,-1,V3),CD=(-2,2,0),---------11分 设平面MCD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 CM.n=0 可得 -2x-y+V3z=0 CD.n=0 -2x+2y=0 令x=1,则n=(1,1,5), -13分 设直线PB与平面MCD所成角为0， 则sin0cos<PB,n>= 1PB.nL2-2-6=3 1PB1nl√20.V5 5 所以直线PB与平面MCD所成角的正弦值为 15分 高三数学答案第2页（共6页） 17.(15分) 解：(1)由题意知f)的定义域为0，+)，d)=-a=- …2分 当a≤0时，"(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值：-4分 当a>0时，令f>0,解得0<x<,令f<0,解得x> 1 a 所以f)在(0，上单调递增，在（台+四）上单调递减， 所以f)的极大值为f白=n。,无极小值 -6分 a 综上，当a≤0时，f)无极值：当a>0时，fo)的极大值为n,无极小值.-7分 (2)【法1】证明：令g(x)=xe-nx-x-l(x>0), 则ge=6r+e-1=e-, -8分 令h(x)=xe-l(x>0),则h(x)=(x+I)e>0, 所以h(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为h(0)=-1<0,h)=e-1>0,- -9分 所以h(x)存在唯一的零点∈(0,1)，使得h(x)=xe-1=0，- -10分 当xe(0,x)时，(x)<0,则g'(x)<0:当xe(x,+o)时，(x)>0,则g'()>0, 所以g(x)在(0，)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， -12分 所以g(x)≥g(xo)=xe-lnx-x-1，- -13分 由xoe*-1=0,两边取对数得nx+xo=0, -14分 故g(x)=0,所以xe-lnx-x-1≥0，即lnx+x+1≤xe成立. -15分 【法2】证明：要证明lnx+x+1≤xe, 只需证明nte≤xe-l, 令t=xe(t>0),即证明nt≤t-1,- -10分 即证明lnt-t+1≤0，即当a=1时，f()≤0. -12分 由第(1)问知，当a=1时，f()≤f)=0, 所以lnx+x+l≤xe成立.- 15分 高三数学答案第3页（共6页） 18.(17分) 解：(1)因为曲线C:y=ar2+c过点(0，-1)，所以c=-1, 1分 由ar2-1=0,可得x=±，因为AB非4， a 所以乙=4，解得a=子所以C的方程为y=式2-1 va -4分 (2)(①设直线与曲线C相切的切点为m,网-)，因为/=方，所以k=受 1 则1的方程为y- 4+1= -m) -1 -6分 4 所以M兮-， -7分 由题意知m≠0，所以kaw=-之，可得ak=-1,所以11OM,一 9分 (i)设P的坐标为(x,y),则OP=(x,y),因为1与直线OP所成角的大小为45°， 且1的一个方向向量为v=0,受，所以c0s45°=Op别， OP x+ y 可得 2 …10分 +y+ 4 整理得(4-m2)x2+8y+(m2-4)y2=0, -11分 即[(2-m)x+(m+2)y][(2+m)x+(m-2)y=0, 所以(2-m)x+(m+2)y=0或(2+m)x+(m-2)y=0, -12分 当(2-m)x+(m+2y=0时，m=2x+2y x-y 因为y受2-1，所以y--当-1 x-y x-v 可得x3+y2-y3-x2y=2x2+y2), 即xx2+y2)-y0y2+x2)=2(x2+y2),因为x2+y2≠0，所以x-y=2, -14分 当2+mx4m-2y=0时.m-2,因为y受-2-1， x+y 同理可得x+y=-2, 16分 所以点P的轨迹方程为x-y=2或x+y=-2(x曰y+2引) -17分 高三数学答案第4页（共6页） 19.(17分) 解：(1)若n=1,则1≤x<10,可得f(x)=1,所以a,=(10-1)×1=9,-1分 若n=2,则10≤x<102,可得f(x)=2,所以42=(100-10)×2=180，-----2分 当10≤x<10时，可得f(x)=n,所以a。=(10”-10)×n=9m10时， -3分 设T=a,+a++a, 则T,=9+18×10+27×102.+9(n-)-102+9n-104, 上式×10得10T=9×10+18×102+27×103.+9(n-1)-104+9n-10”, 两式相减得-9T.=9+9×10+9×102+9×103+910-9n10", 整理得T.=n10"-(1+10+10+103..+10), 所以7=0-S-山 …5分 9 (2)由题意知，若x满足3≥10×2，则f3)>f(2)一定成立， -6分 所以1g3≥lg(10×2),即xlg3≥1+xlg2, 解得x产g3所以M取g2*国中任何值皆可一 -9分 (3)设[x]的位数为m,则10≤x<10",可得m-1≤lgx<m, 所以[gx]=m-1,即m=lgx]+1,所以f(x)=gx]+1,- -11分 所以左边=f(x)+f10"x)+f10x)+…+f10"x), =lgx]+1)+g10"x]+1)+(g10"x]+1)++lg10x]+1), =g++片g+g+++"g+ 设lgx=[gx]+a,且一定存在正整数k,1≤k≤n, 使ae分冷(o哈UU分，)0，) -13分 上试=gH1+g+a+++e+a+2++…+g+a++ =leg+led+a+诗+gx)+a+子++e+a+"+n -[lgx]+(lgx]+[@+)+QlgxJ+[a+2)+..+lgxJ+[@+2 高三数学答案第5页（共6页） +lg+a+”-+凸++lg+[a+”-马+n =nlg+n+a++[a+++[a+"+[a+”-+++[a+", n 因为ae-1,与， 1 2<a+n=k<1,1≤a+”-kl<a+”-k+2<<a+0-l<2, .2 所以0<u+-<a n 所以[a+=[a+名==a+n-=0,[a+m-k+凸=-[a+n-马=l, 因此左边=lgx]+k-1+n， -15分 =[lg(10"x")]+1-1=[1g(10"x")]=[n+nlgx]=n+[nlgx]=n+[mlgx]+nal=n+nlgx]+[nal, 因为ae为，所以aek-1,可得a-k-1 因此右边=lgx]+k-1+n,- 16分 所以左边=右边， 即f(x)+f00x)+f10x)+…+f00"x)=f10"x-1.- -17分 高三数学答案第6页（共6页）