13.7 三次函数极值点的判断-高考数学试题方法研究

13.7 三次函数极值点的判断 表现形式 三次函数的一般形式：f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0,x∈R) 方法归纳 求复杂函数极值点最常用的方法是对函数求导，以三次函数为例： （1）求导：f’(x)=3ax2+2bx+c (a≠0,x∈R) （2）判断是否存在极值： △=4b2-12ac≤0 ， f’(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增或递减，不存在极值点； △=4b2-12ac>0 ， f’(x)存在两个零点，f(x)存在极大值和极小值 也可以这样表述： f(x)有极值的充要条件：f’(x)有两个不同的零点； f(x)在区间(m,n)有一个极值的充要条件:f’(x)在区间(m,n)有一个零点（非重根）； f(x)在区间(m,n)有两个极值的充要条件:f’(x)在区间(m,n)有两个不同零点； （3）求极值： a值 图像 极大值点 极小值点 a>0 a<0 可见，当为极大值，当时取极小值。 且根据根与系数的关系知极值点处有： 例题解析 例1、已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1和x=1处取得极值， 且f(-2)=-4 （1） 求a与b的值； （2） 求函数y=f(x)的单调区间. 【答案】（1）a=0, b=-3（2）（-1,1） 【解析】 ∴f’(1)=0 , f’(-1)=0 可得：3+2a+b=0 , 3-2a+b=0 解得a=0, b=-3 （2）f(-2)=-4 ,a=0, b=-3代入f(x)=x3+ax2+bx+c得 f(x)=x3-3x2+2 ∴y=f(x)的单调递增区间为 y=f(x)的单调递增区间为（-1,1） 例2、【2024全国高考数学I卷第10题】设函数，则（ ） A．x=3是函数f(x)的极小值点 B. 当0<x<1时，f(x)<f(x²) C. 当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 【答案】ACD 【解析】选项A，=3(x-1)(x-3) ∴当x∈(1,3)时，f’(x)<0，当x∈(-∞,1)或x∈(3, ∞)时，f’(x)>0， ∴x=3是函数f(x)的极小值点，正确 选项B，（利用函数的单调性，比较x与x²的大小即可） 当0<x<1时，x-x ²=x(1-x)>0，所以0<x²<x<1 由A可知，函数f(x)在(0,1)单调递增，所以当0<x<1时，f(x)>f(x²)，错误 选项C，当1<x<2时，1<2x-1<3，而A上可知，函数f(x)在（1,3）上单调递减，所以f(1)> f(2x-1)>f(3)，即-4<f(2x-1)<0正确 选项D，当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=，即f(2-x)>f(x)正确 跟踪练习 1、【2022全国高考数学I卷第10题】已知函数，则 A. f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是y=f(x)曲线的切线 2、f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则（ ） 3、已知三次函数，若a,b是实数， 若a=3,b=3，求函数f(x)的极大值和极小值 4、若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之和为（ ） 13.7 三次函数极值点的判断 1、【答案】AC 【解析】，所以f(x)有两个极值点与， 令>0 解得或 令解得<x< ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减， 且， ∴f(x)仅有一个零点 f(x)+f(-x)=2，则f(x)关于点（0,1）对称 假设y=2x是y=f(x)曲线的切线，设切点为（a,b），则有 显然（1,2）（-1，-2）都不在曲线y=f(x)上，故D错误。 故选：AC 2、 【答案】1 【解析】f’(x)=3ax2+2bx+c，由图像可知，方程f’(x)=0的两个根为-1和2 则有 解得：3a=-2b 3、【答案】极大值f(-2)=11 ; 极小值f(1)= 【解析】代入a=3,b=3 求=3(x+2)(x-1) 解得 代入f(x)，求得极大值为f(-2)=11 ; 极小值为f(1)= 4、【答案】-3 【解析】当a≤0时，∵x>0,∴f(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内无零点， 当a>0时，代入极值点处x值的取值公式得： 当时，取极大值； 当时，取极小值； ∵函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，且f(0)=1 （f(x)在区间(m,n)有一个极值的充要条件:f’(x)在区间(m,n)有一个零点） ∴当时，取极小值 ，此极小值点即为0点 ∴，解得a=3 ∴ 又f(-1)=-4，f(1)=0，f(0)=1，故f(x)在[-1,1]上的最大值为1，与最小值-4，和为-3. 学科网（北京）股份有限公司 $$