13.5 单变量不等式恒成立与存在性问题-高考数学试题方法研究

13.5 单变量不等式恒成立与存在性问题 表现形式 单变量不等式的存在性是最简单的一种“存在性”问题，是基础。因此我们必须首先要弄清楚它分为哪几种情况，又有哪些变形。 “存在”的意思是在x取遍给定几何中的每一个值，至少有一个函数值满足给定的不等式，它有两种形式：“存在x∈A，使得k>（或≥）f(x)成立”等价于“当x∈A时，k>（或≥）f(x)min”;“存在x∈A，使得k<（或≤）f(x)成立”等价于“当x∈A时，k<（或≤）f(x)max”。 单变量存在性问题的基本情形 （1） 使得 ； （2） 使得 ； （3）使得方程有解 k的取值范围即为f(x)的值域； 使得方程无解 k的取值范围即为f(x)的值域的补集； 单变量存在性问题的复杂形式 （4）使得方程 h(x)=f(x)-g(x)≤0有解； （5）使得方程 h(x)=f(x)-g(x)≥0有解。 方法归纳 （1）如果已知变量取值范围，求参数取值范围，则有两种解题方法 ①分离变量法 ②一元二次不等式法（利用一元二次函数的性质） （2） 如果已知参数取值范围，求变量取值范围 ①更改主元法（已知谁的范围把谁作为主元，见练习） 例题解析 例1、存在实数x∈[0,]使得成立，求实数a的取值范围。 【答案】(-∞,-2] 【解析】∵x∈[0,]使得 ∴ ∵ ∴a≤-2 即a∈(-∞,-2] 例2、已知函数，若存在x∈[1,3]，使得f(x)=g(x)，则实数a的取值范围是（ ） 【答案】[1,4] 【解析】令h(x)=f(x)-g(x)=在x∈[1,3]有解， 等价于 ∴a∈[1,4] 例3、已知函数，若存在x∈[1,3]，使得f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围是（ ） 【答案】(-∞,4] 【解析】令h(x)=f(x)-g(x)=，在x∈[1,3]有解 等价于 ∴a∈(-∞,4] 例4、已知函数，若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围。 【答案】[-1,+∞] 【解析】f(x)≤(a+2)x， ∵ x∈[1,e] 易知x-lnx>0 ∴,x∈[1,e] 令,x∈[1,e] 又 ，当x∈[1,e]时，x-1≥0，lnx≤1， x+2-2lnx>0 从而g’(x)≥0(仅当x=1时取等号) ∴g(x)在[1,e]上为增函数 ∴g(x)最小值为g(1)=-1 ∴a的取值范围是[-1,+∞] 跟踪练习 1、 【分离变量法】若存在正数x，使成立，则实数a的取值范围是__________ 2、 【分离变量法】若在x=0处取得最大值，则实数a的取值范围是_______________ 3、 【二次函数法或分离变量法】若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为__________ 4、 【二次函数法或分离变量法】对任意实数x∈[-1,1]，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 5、 【更改主元】已知a∈[-1,1]，不等式恒成立，求实数x的取值范围。 13.5 单变量不等式恒成立与存在性问题 1、【答案】 【解析】 ， 令则 在上单调递增 2、【答案】 【解析】时，g(x)在x=0处可渠道最大值， ，在上恒成立， 即，在上恒成立， ①当x=0时，显然成立，此时a∈R ②当，即在上恒成立， 令t=x+2，则 则 在上递增， 则在上递减 即 综上所述 3、【答案】 【解析▪法一▪二次函数法】设原不等式的解集为空集， 即恒成立，令t=|x|，即，上恒有g(t)≥0 即 解得 【法二▪分离变量法】由原不等式的解集为空集，即恒成立 得 即 4、【答案】a>3 【解析▪二次函数法】令， x∈[-1,1] 对任意的x∈[-1,1]恒成立，有 解得a>3 请同学们自己试试分离变量法。 5、【答案】 【解析▪更改主元】a∈[-1,1] 时恒成立， 即 设 可得 即 解得 则有 学科网（北京）股份有限公司 $$