13.4 导数构造函数的基本原理与方法策略-高考数学试题方法研究

13.4 导数构造函数的基本原理与方法策略 方法归纳 高考数学中常以导数为工具来求函数的单调区间、极值、最值、证明不等式等，而构造函数是求解导数问题常用的解题方法，因为构造函数可以使函数的形式变得更为简单。 那么如何构造函数呢？在含有导数的题目中，构造函数实质上就是利用导数的求导法则。但是构造函数要讲究方式方法，不合理的构造函数会使解题过程变得更为复杂，甚至会无果而终。 导数构造函数的基本原理 我们知道，对于两个函数f(x)与g(x)乘积或商的导数，有如下法则： 在我们构造函数时，一般需要使用这两个基本法则。我们通过观察发现两个函数的乘法求导后是体现的是“+”法，两个函数的除法求导后体现的是“-”法。 题目中我们遇到最多的g(x)一般为基本初等函数如：x或e^x或sinx等，现在我们就来具体看看构造函数的方法。 导数构造函数的方法 题目中的关系式为“+”法时，我们优先构造乘法型f(x)g(x)： （1），构造， （2），构造 ， （3），构造， （4），构造 ， 其中（3）（4）为（1）（2）的一般形式。 题目中的关系式为“-”法时，我们优先构造除法型： （5），构造， （6），构造， （7） ， 构造， （8），构造， 其中（7）（8）为（5）（6）的一般形式。 例题解析 例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，在(- ∞,0)上有且f(-2)=0，则不等式xf(2x)<0的解集为（ ） 【答案】{x|-1<x<1,且x≠0} 【解析】设，则 ∴在区间(- ∞,0)上为减函数 而f(x)是定义在R上的奇函数 ∴在R上为偶函数 ∴在区间(0，+ ∞)上为增函数 ∵f(-2)=0 ∴f(2)=0 即，且 xf(2x)<0即为 由偶函数的定义，及以上分析可知xf(2x)<0的解集为{x|-1<x<1,且x≠0} 例2、已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f’(x),当时，，若，则下列关于a,b,c的大小关系是（ ） 【答案】a<c<b 【解析】设 ∴当x<0时，；当x>0时， 即g(x)在(- ∞,0)上是减函数，在（0，+∞）上是增函数， ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴g(x)是R上的偶函数 且 即a<c<b 例3、定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f’(x)>1,f(0)=4，则不等式的解集为（ ） 【答案】（0，+ ∞） 【解析】∵f(x)+f’(x)>1,设 则 ∵f(x)+f’(x)>1 知 ∴ 故F(x)在R上是增函数 而当x=0时有 不等式的解集为（0，+ ∞） 例4、已知函数f(x)为定义在R上的可导奇函数，且f(x)<f’(x)对于任意x∈R恒成立，且f(3)=e,则的解集为（ ） 【答案】{x|x≤3 } 【解析】设 则 ∵f(x)<f’(x)对于任意x∈R恒成立 在x∈R上单调递增 <1时x≤3 ∴解集为{x|x≤3 } 跟踪练习 1、是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ） A． B． C． D． 2、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____ 4、已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为______ 5、若定义在R上的函数f(x)满足，，则不等式的解集为（ ） 6、已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足 ，若有穷数列的前n项的和等于，则n等于（ ）。 13.4 导数构造函数的基本原理与方法策略 1、【答案】C 【解析】由题意，设函数，则， 所以函数在区间上为单调递减函数或常数函数， 因为，所以，即. 故选：C. 2、【答案】A 【解析】 ，由题意可知在恒成立， 即恒成立， 设， 时，，为减函数； 时，，为增函数； 的最小值为，所以， 故选：A. 3、【答案】 【解析】 令，则，可以判断出在上单调递增，再由，，根据单调性即可比较大小. 令，则， 因为对于恒成立， 所以， 所以在上单调递增， ， ， ， 因为，所以，所以， 故答案为： 4、【答案】 【解析】 根据条件可得函数为偶函数，且在单调递减，从而可得不等式. 当时，，且为偶函数， 在单调递减， ， 解得：， 故答案为：. 5、解集（0，+∞） 【解析】令 则有 ∴F(x)为增函数 ∵ ∴ 即当x>0时， 即 ∴的解为（0，+∞） 6、【答案】5 【解析】∵函数f(x),g(x)满足 解得： ∴有穷数列是以为首项，为公比的等比数列 因为有穷数列前n项的和为 解得n=5 学科网（北京）股份有限公司 $$