11.2 离心率（圆锥曲线定义法、渐近线法、倾斜角法）-高考数学试题方法研究

11.2 离心率（圆锥曲线定义法、渐近线法、倾斜角法） 方法归纳 求圆锥曲线离心率的基本思路是把已知条件转化为a，b，c的关系。 由于椭圆，双曲线是中心对称图形，解圆锥曲线常涉及到的平面几何知识及代数知识： ①中位线； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”； ④韦达定理（根与系数的关系），主要为联立直线与圆锥曲线方程时使用。 椭圆第二定义：平面内，到给定一点的距离与它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹称为椭圆。 双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。 圆锥曲线 图形 离心率表示 椭圆（定义法） 椭圆 （第二定义） 双曲线 （定义法及渐近线倾斜角法） 焦点在x轴上，设渐近线与x轴的夹角为α： 双曲线 （第二定义） 例题解析 例1、设椭圆的左右焦点为F1 、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1 PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是多少？ 【答案】 【解析】 例2、设椭圆的左右焦点为F1 、F2，点P在椭圆上，△OF1P为正三角形，求椭圆离心率？ 【答案】 【解析】由△OF1P为正三角形，设PF1 = OF1 =OF2 =OP= x ，∠PF2 O=30º=∠F2P O 那么 PF2 = ∴ 例3、设椭圆的右焦点为F1 ，右准线为l，若过F1且垂直x轴的弦长等于点F1到右准线为l的距离的，则椭圆的离心率是（ ） 【答案】 【解析】由椭圆的第二定义 例4、设双曲线的一条渐近线倾斜角为125º，那么椭圆的离心率为多少？ 【答案】 【解析】 例5、【2019全国高考理科I卷第16题】设双曲线的左右焦点为F1 、F2，过F1 的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，且，则双曲线的离心率为多少？ 【答案】2 【解析】 为直角三角形 又∵O为F1 F2的中点 ∴ 根据三线合一知：OA平分∠F1OB 又∠F1OA = ∠F2OB ∴∠α=60º ∴ 跟踪练习 1、 【2022年全国高考数学乙卷第11题】 双曲线C的两个焦点，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M、N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2、（多选 2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率 C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得 3、如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4、【2013年新高考I卷第16题】已知双曲线的左右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，则C的离心率为（ ）。 5、【2022全国高考真题（理）▪利用基本定义】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.2 离心率模型（圆锥曲线定义法、渐近线法、倾斜角法） 1、【答案】C 【解析】由题意，点N在双曲线右支，记切点为点P，连接OP，则OP⊥MN，|OP|=a,,则。过点作交直线MN于点Q，连接，则又点O为中点，则|。由，得， 故，由双曲线定义， 则2b-a=2a,即 2、【说明：此题若数形结合会更简单】 【答案】ABD 【解析】如图，设，则由正六边形性质可得点， 由点在椭圆上可得，结合可得， 椭圆离心率， 当点为椭圆上顶点时，，此时； 点在双曲线的渐近线上可得即, 双曲线的离心率为, 当点为双曲线的顶点时，易知. 故选：ABD. 3、【答案】B 【解析】 取左焦点，连接，，根据椭圆的对称性可得：是矩形， 设， 中，即： 解得：，则 在中即：， 所以椭圆离心率为. 故选：B 本题解题关键：有直角的构造直角三角形利用勾股定理解题 4、【答案】 【解析】【法一▪圆锥曲线定义法】由，可设 由对称性可得则， 则 解得t = a, 在中，有 即 故 【法二▪直译法】设 则 又，则有 又 解得可得：即 故 5、【答案】A 【解析】由已知可得A(-a,0)，设 ① 而② 将②代入①得： 。故选A 学科网（北京）股份有限公司 $$