10.5 二项分布与超几何分布的区别与联系-高考数学试题方法研究

10.5、二项分布与超几何分布的区别与联系 二项分布和超几何分布是高考题型中考察概率最高的一种题型，选择题、填空题、大题都经常能看到它们的身影，特别是二项分布。然而二者之间又非常易于混淆，现将两种题型的区别与联系归纳如下： 二项分布：一般地，在n重伯努利实验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p). 二项分布的均值与方差：若离散型随机变量满足X~B(n,p),则其均值、方差可以利用定义计算，也可利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)计算。 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为其中n,N,M∈N﹢,M≤N,n≤N；m=max{0,n-N+M}，r=min{n,M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么随机变量X服从超几何分布。 超几何分布的均值： 二项分布与超几何分布的异同： 相同点：随机变量均为非负整数值的离散型分布列。 异同点：①二项分布是有放回随机抽样，超几何分布不放回随机抽样，即二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布则不是； ②二项分布可以知道也可以不需要知道总体容量，但需要知道“合格率”，而超几何分布需要知道总体容量，也就是说总体个数有限的； ③二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题,超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题。 从异同点来看，超几何分布和二项分布看似区别很大，实际上，二者之间是有联系的。 二项分布与超几何分布之间的联系： 当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者用极限的概念来说，超几何分布的极限就是二项分布。 要想读懂二者之间的区别与联系，还需要结合具体实例才能真正理解，请看下面例题： 例1、【二项分布】有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵有放回地取样，每次取样结果相互独立，∴属于二项分布，每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, , 也可用正难则反的解题策略： 故D选项正确． 【注意】不要受书本超几何分布理论解释的影响，以为只要有次品的题就是超几何分布。 例2、【超几何分布】某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ） A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村 C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村 【答案】B 【解析】 用表示这个村庄中深度贫困村数，因为是不放回抽样，所以服从超几何分布， 故， ∴，， ，， .故选：B 例3、【二项分布】如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【解析】本题不知道总体容量，而普及率一目了然，因此是二项分布。 由题意可知小汽车的普及率为， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，成立； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,不成立； C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，成立； D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,不成立. 例4、李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________. 【答案】 【解析】如果放回抽取，可能会抽取到同一道题就没考试意义，因此为超几何分布 设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数超几何分布，且， 故所求概率为， 故答案为：. 例5、设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由已知， ∴，. ∴. 故选：AD 例6、【2018高考数学全国一卷第20题】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1) (Ⅰ)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0。 (Ⅱ)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)； (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验? 【答案】(1)p0=0.1 (2)(i)490 （ii）应该 【解析】(1)由题意，每件产品为不合格品的概率都为p，即相互独立，可知服从二项分布 20件产品中恰有2件不合格品的概率为，因此 ∴当p∈(0，0.1)时，f ’(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f ’(p)<0； ∴f ’(p)的最大值点为p0=0.1 (2)(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格件数，依题意有Y~B(180，0.1)，则这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和X=20×2+25Y ∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490 （ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费400元，若余下的不检验则要490元，所以应该对余下的产品作检验. 学科网（北京）股份有限公司 $$