9.4 外接球（表面积体积）-高考数学试题方法研究

9.4 外接球（表面积/体积） 方法步骤 （1）寻找外接圆圆心 ： 直角三角形外接圆圆心——斜边的中点； 等腰（等边）三角形外接圆圆心——底边的中线上； 矩形（正方形）外接圆圆心——对角线的交点， 等腰梯形外接圆圆心——上底或下底的垂直平分线上。 （2）判断球心：分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接球球心； （3）构造直角三角形利用勾股定理求解球半径，进而求出外接球表面积或体积； 经验技巧：①若两个面相互垂直，那么球心与两个外接圆圆心的连线相互垂直； ②两外接圆圆心共面：若两个面相互垂直，且外接圆圆心在同一平面上的话，必有一多边形外接圆圆心就是球心（且一般不在两面交线上）； ③椎体顶点投影底面外心：若椎体顶点在底面投影点为底面外心，则有： 设椎体的高为h，底面外接圆半径为r，那么外接球半径； ④两直角三角形共斜边：若椎体A-BCD的外接球，有两个面均为直角三角形Rt△ABC、Rt△ABD，且共斜边AB，那么椎体A-BCD的外接球球心为AB的中点O，外接球半径为AB的一半，即：R=|AB|/2。 例题解析 例1、（2020•合肥模拟）已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝2，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，取BC的中点E，AD中点G 则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是△SAD的外心， 过点E作平面ABCD的垂线，点F作平面SAB的垂线，交点为O 则O是圆锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝GE＝3，AF＝2， 设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R， 则 则OE＝GF＝1， ∴当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时， ，故选：A． 例2、（2020•广东二模）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为，则a＝（　　） A．2 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点， 所以：△A1DE为等腰直角三角形； 斜边DE上的高为： 要想三棱锥A1﹣CDE的体积最大；需高最大，则当△A1DE⊥面BCDE时体积最大， 此时三棱锥A1﹣CDE的高等于： 取DC的中点H，过H作下底面的垂线； 此时三棱锥A1﹣CDE的外接球球心在OH上； ∵三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为； 所以球半径R = ； （事实上，点H即为球心，以下计算可省略） 如图 ① ② 即： ③ ④ 联立③④可得a = ； 故选：B． 例3、（2020•珠海三模）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，△PAB是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　 　． 【答案】 【解析】如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设△ABC的中心为O， 由AB＝2，得CO = CF =． ∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形， （若两个面相互垂直，且外接圆圆心在同一平面上，必有一多边形外接圆圆心就是球心） ∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心， 则外接球半径R＝OC = ∴该三棱锥外接球的表面积为 故答案为：. 例4、（2020春•江西月考）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为等边三角形，若四棱锥P﹣ABCD的体积与四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积大小之比为，则正方形ABCD的边长为　 　． 【答案】2 【解析】如图，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点为N，连接PN， 设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，等边三角形PAD外接圆的圆心为O2， 则O2为△PAD 的重心，则|PO2||PN|，正方形ABCD 外接圆的圆心为O1． ∵PN⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD， （说明：若两个面相互垂直，那么球心与两个外接圆圆心的连线相互垂直） ∴PN⊥平面ABCD，所以OO1∥PN， 所以四边形OO1NO2 为矩形，所以OO2＝NO1． 设正方形ABCD 的边长为2x，则|PN|=x，所以|PO2|=x，|OO2|＝x， ∴四棱锥P﹣ABCD 外接球的半径为， ∴四棱锥P﹣ABCD 外接球的表面积为 四棱锥P﹣ABCD 的体积为 ∴，即解得x=1 ∴正方形ABCD 的边长为2，故答案为：2． 跟踪练习 1、【2022全国高考数学乙卷第9题】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 A. B. C. D. 2、【2022辽宁高考数学第7题】正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有 顶点在同一球面上，则球的表面积是 A.100 B.128 C.144 D.192 3、一直直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球的表面积为_______. 4、【两直角三角形共斜边】已知在三棱锥D-ABC中，DA=DC=6，AB=3，AC=2BC=6，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为________. 5、【两直角三角形共斜边】已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，若该棱锥的体积为，则此球的表面积为（　　） A．16π B．20π C．8π D．5π 6、（2020•聊城模拟）我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD﹣EFGH有外接球，且平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该刍童外接球的表面积为（　　） A．12π B．24π C．36π D．48π 7、（2019秋•莆田期末）在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为，若三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π，则AC的长为　 　． 8、已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为　 　． 9、【椎体顶点投影底面外心】（2020•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC，面PAB⊥面ABC，PA＝PB＝4，，∠ACB＝90°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（　　） A．20π B．32π C．64π D．80π 9.4 求几何体外接球（表面积/体积）的方法和技巧 1、 【答案】C 【解析】由题意知，当四棱锥为正四棱锥时，体积最大，设底面边长为a,底面所在圆面的半径为r，则，所以四棱锥的高，所以体积 当且仅当时，等号成立 所以该四棱锥的高 故选C 2、【答案】A 【解析】由题意得，上底面所在平面截取球所得圆半径是3， 下底面所在平面截取球所得圆半径是4， 则轴截面中由几何知识可得 解得R=5 ∴球的表面积是 3、【答案】169π 【解析】由已知很容易得出△ABC为直角三角形，且外接圆圆心在BC中点上；且△BCB1的外接圆圆心在CB1中点上，过面△BCB1和△ABC的外接圆圆心作垂线，很容易知道，三棱柱的外接圆圆心就是的CB1中点 球的直径2R=BC1，因为，所以BC1=13，R=，所以球的表面积 4、【答案】72π 【解析】因为DA=DC=6，AB=3，AC=2BC=6，所以DA2+DC2=AC2，即DA⊥DC，BA⊥BC，所以△ABC和△ACD均为直角三角形. 公共斜边为AC.取AC的中点E，连接BE，DE，则AE= BE=CE=DE，所以点E为三棱锥D-ABC的外接球球心，则 三棱锥外接球的半径R=3.所以三棱锥的外接球的表面积为4πR2=72π. 5、【解析】由∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，得PB就是三棱锥外接球的直径， 如图所示： 易得， 所以 即PA＝4， 则 故三棱锥外接球的半径为． 所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝20π， 故选：B． 6、【解析】如图，设上底面中心为O1，下底面中心为O2， 刍童外接球的球心为O，则O，O1，O2共线， 连接O1E，O2A，OE，OA， 由已知可得，，O1O2＝1． 设该刍童的外接球的半径为R，OO2＝h， 则R2＝8+h2，R2＝5+（h+1）2，联立解得R2＝9． ∴该刍童的外接球的表面积为S＝4πR2＝36π． 故选：C． 7、【解答】解取PA的中点哦，连接OB，OC，因为∠PBA＝∠PCA＝90°， 所以OA＝OP＝OB＝OC， 即O为三棱锥外接球的球心， 设外接球半径为R，由S＝4πR2＝6π，所以 过O做OO'⊥面ABC交于O'，连接O'A则O'A为△ABC， 则O'A为△ABC外接圆的半径设为r，则r＝O'A， 因为点P到底面ABC的距离为，所以OO'， 在△AOO'中，R2＝OO'2+r2，所以，即r＝1， 在△ABC中，AC＝2r•sin60°＝， 故答案为：． 8、（2020•中卫二模）已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为　52π　． 【解答】解：如图所示 设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r， 在△ABC中，由余弦定理可得： ∵ 解得：r＝2． 又由题知S△ABC = 2×2×sin120°=， 又三棱锥O﹣ABC的体积为S△ABC•|OO1|= ， 所以棱锥O﹣ABC的高|OO1|＝3，∴球O的半径， ∴球O的表面积为4πR2＝52π． 故答案为：52π． 9、【解答】解：如图， 在三角形PAB中，由PA＝PB＝4，AB＝， ∵∠ACB＝90°取AB中点D， 则△ABC的外心为D且DC＝DA＝DB， ∵面PAB⊥面ABC， 再设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，则P，O，D三点共线； ； 连接OC，则OC＝OP＝R； OC2＝OD2+DC2⇒R2＝（2﹣R）2+（2）2⇒R＝4； ∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4π×42＝64π． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$