精品解析：广东省广州市三校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

2023-2024学年第二学期期末三校联考 高一数学 命题学校：广州大学附属中学 命题人：陈轶凡 审题人：罗翔 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 若集合，，则等于 A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，不共线，满足，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A 23 B. 24 C. 25 D. 26 8. 已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 极差变小 D. 方差变小 10. 吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，连接，为线段的中点，则在翻折过程中，（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 存在某个位置使得 C. 点始终在三棱锥外接球的外部 D. 当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 14. 将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若在区间上恰有两个零点，，求的值. 17. 如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成角为，底面ABCD为直角梯形， （1）求证：平面平面PCD： （2）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 18. 在中，角所对的边分别为， （1）求 （2）若，角的平分线交于. （I）求证：. （II）若，求的最大值 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末三校联考 高一数学 命题学校：广州大学附属中学 命题人：陈轶凡 审题人：罗翔 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 若集合，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解. 【详解】集合， 解不等式,可得， 所以 所以选C 【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】， 则，则其虚部为， 故选：D. 3. 边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出正三角形的直观图，求出高，计算面积即可. 【详解】正三角形的直观图如图： 由题意，，， 所以过点作，垂足为， 则，所以三角形的面积为：. 故选：A 4. 已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件平方求得，然后根据投影向量公式计算即可求解. 【详解】因为， 所以，即，得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 5. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为： 即， 故选：A. 6. 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合独立事件的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，，则， 而，， 所以，所以事件相互独立， 反过来，当，， 此时，，满足， 事件相互独立，所以不一定， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由其关于对称有，则， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则， ，则， ，， 故选：C. 8. 已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解. 【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图， （为边的中点），由外接圆的性质得， 因为为锐角且，所以， 设外接圆的半径，则， 因为，所以，， 所以，，，设， 则外接圆的方程为：， 因为， 所以. 则，解得， 则， 代入外接圆方程得： ，整理得：， 由基本不等式得：，当且仅当取等号. 化简得：，解得或， 由图知：，所以，故的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 极差变小 D. 方差变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分析判断D作答. 【详解】对于A，新数据的总和为：， 与原数据总和相等，且数据个数都是，因此平均数不变，A正确； 对于B，不妨设原数据为：，中位数为，则新数据为：，中位数为2，B错误； 对于C，原数据极差为：，新数据极差为：， 而，即极差变小了，C正确； 对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确. 故选：ACD. 10. 吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数式与指数式的互化，得，由的值，结合对数式的运算规则和对数函数的单调性，判断选项中的不等式是否成立. 【详解】由，得，则，，， ，，，即，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，D选项正确； 故选：BCD 11. 如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，连接，为线段的中点，则在翻折过程中，（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 存在某个位置使得 C. 点始终在三棱锥外接球的外部 D. 当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，找到或的补角为异面直线CN与所成的角，利用余弦定理求出，异面直线CN与所成的角的余弦值为定值；B选项，假如可证出，与矛盾；C选项，作出辅助线，得到即为三棱锥外接球的半径，由于，所以，可得到C正确；D选项，作出辅助线，找到即为二面角为平面角，即，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积. 【详解】A选项，矩形ABCD中，，M为边BC的中点， 所以为等腰直角三角形，故，，翻折过程中，， 取的中点，连接，因为N为线段的中点，所以， 则或的补角为异面直线CN与所成的角， 因为M为边BC的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以，其中， 由余弦定理得， 故，故， 即异面直线CN与所成的角的余弦值为，故A正确； B选项，因为，所以，故⊥， 假如，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以不存在某个位置使得，故B错误； C选项，由于⊥，故外接圆的圆心为，设三棱锥外接球球心为， 则⊥平面，连接，则即为三棱锥外接球的半径， 由于，所以， 所以点C始终在三棱锥外接球的外部，故C正确； D选项，取的中点，连接，， 因为，所以，且，所以⊥， 所以即二面角为平面角，即， 过点作于点，则， 因为，⊥，平面， 所以⊥平面，又平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 由C选项可知，三棱锥外接球球心为，则⊥平面， 过点作⊥于点，则，， 若球心在平面的上方时，如图，此时， 由勾股定理得，， 故，解得，不合要求，舍去； 若球心在平面的下方时，如图，此时， 由勾股定理得，， 故，解得，满足要求， 代入上式可得外接球半径为， 三棱锥的外接球的表面积为. 故当二面角为60°时，三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件； 其中满足的有：，共个基本事件， 所求概率. 故答案为：. 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 14. 将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，求出棱长为4的正四面体的外接球半径，即可得出结论 【详解】大球表面积的最小时，四个小球两两外切并均与大球内切， 大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示， 把棱长为4的正四面体扩成棱长为的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角线，如图所示， 则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为， 所以这时大球的半径为， 则这个大球表面积的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 小问1详解】 （1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若在区间上恰有两个零点，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解； （2）利用三角函数的对称性得到，由题设条件得到，从而利用诱导公式即可得解. 【小问1详解】 对于， 令，解得， 因为，当时，；当时，； 所以在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为在区间上恰有2个零点， 所以在有两个根， 令，解得， 所以当时，函数图像的对称轴为， 所以，则， 又，则， 所以. 17. 如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形， （1）求证：平面平面PCD： （2）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，再利用锐角三角函数及余弦定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解； 方法二.根据已知条件及线面角的定义及线面垂直的性质定理，建立空间直线坐标系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直和面面垂直的判定定理即可求解； （2）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及锐角三角函数即可求解. 方法二.设，可得，求出直线CE的方向向量和平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【小问1详解】 方法一. 由，得， 因为平面，是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 在中，,解得， 因为所以 在中，, 因为所以 在中，由余弦定理得，即. 由，得， 因为平面，平面,所以, 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 方法二.由，得， 因为平面，是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 在中，,解得， 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，， ，， ， ，， 所以，， 所以，，即， 又，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 存在，理由如下， 方法一.取的中点，连接，如图所示， 因为，所以， 因为所以,所以四边形为矩形， 所以, 因为平面，平面,所以, 又，平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 由（1）知，,且是的中点， 所以.在中，， 因平面，平面,所以, 在中，， 由,得，在中，, 取的中点为，连接,又, 所以,在中，, 所以，解得,所以, 所以,,所以. 所以线段上存在点，使CE与平面PAD所成的角为，此时. 方法二.由（1）知，，，，，， 设， 所以，， 因为平面，平面，所以，又， 且，所以平面， 所以是平面PAB的一个法向量， 所以， 解得，或， 当时，点与重合，不符合题意，舍去， 所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且. 18. 在中，角所对的边分别为， （1）求 （2）若，角的平分线交于. （I）求证：. （II）若，求的最大值 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角互化，分析运算，即可得到答案. （2）（I）根据正余弦定理结合角度关系分析，即可证明结论. （II）根据已知结论可得，利用基本不等式，即可得到答案. 【小问1详解】 因为, 结合正弦定理和余弦定理可得 ，即， 方程两边同时除以，得， 令，所以， 解得或即或， 所以或. 【小问2详解】 （I）证明：在中，由正弦定理得①， 由余弦定理得② 同理在中，则 ③， ④， 因为是的角平分线，则， 所以， 又， 则，， ①③得，⑤， 所以， 得 ， 所以 ，得证. （II）因为，所以，即， 由⑤式可知， 所以，由（I）得 ， 所以， ，当且仅当，时等号成立， 所以， 故的最大值为. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由； （2）若为“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）是的“n重覆盖函数”，； （2）实数a的取值范围是； （3）正实数a的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）第一问根据新定义，结合函数单调性即可求解； （2）第二问先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，然后对a分类讨论即可求解； （3）第三问可由题意得，则，，要有2024个根，作出函数的图像，结合图像即可求解. 【小问1详解】 ,， 由题目定义可知，对，恰好存在不同的实数， 使得，其中 即，易得， 故对，能找到一个，使得， 是的“n重覆盖函数”，. 【小问2详解】 由题意得：的定义域为R， 即对，存在2个不同的实数， 使得（其中）， 又，故， 所以，即： ， 即对，有2个根， 当时，已有1个根， 故只需时，仅有1个跟， 当时，，符合题意， 当时，， 则需满足，解得：， 当时，抛物线开口向下， ，，若仅有一个根， 由可知，当时，， 所以无解，则只需：， 综上，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 因为，则对于， ， 要有2024个根， ，作出函数图象如下： 有图象易知，当时， ，此时当时，则有， 解得：，要使得有2024个根， 则， 又因为，故， 故正实数a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出分段函数的图象，数形结合，转化为直线与函数图象交点个数问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$