1.2 一元二次方程的解法（2）导学案 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2024年秋九年级数学上册导学案(1-3) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：1.2　一元二次方程的解法（2） 学习目标： 1、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 2、在配方过程中体会“转化”的数学思想，掌握转化的技巧。 学习重点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 学习难点：把一元二次方程转化为(x＋h)2＝k的形式。 自学要求：认真阅读教材P10-12，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、问题导入： 我们已经学过了用直接开平方法解形如(x+h)2=k(k≥0)的一元二次方程，那么如何解方程 x2＋6x＋4＝0呢? 2、探索新知： 知识点一：探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程： 活动一：议一议：完全平方式：a2±2ab+b2=a2±2b·a+b2=(a±b)2。 试一试：把下列各式配成完全平方式。 （1）x2－2x＋ ＝（x－ ）2 ； （2）x2＋8x＋ ＝（x＋ ）2； （3）x2－5x＋ ＝（x－ ）2 ； （4）m2－12m＋ ＝（m－ ）2。 你发现了什么规律？ 总结： 对二次项系数为1的且只有二次项和一次项的整式配方时，应该加上一次项系数一半的平方。 即x2＋px＋ ＝(x＋ )2；体现了从特殊到一般的数学思想方法。 知识点二：体验配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程： 活动二：你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？ 【提示：将方程转化为（ ）2＝k的形式的过程】 解：x2＋6x＝-4 ------移项:把常数项移到方程的右边 x2＋6x＋32＝-4+32 配方：两边加上32,使左边配成完全平方式 (x+3)2=5 变形：变成了(x+h)2=k 的形式 x+3=± 开方：当k ≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解． x= -3± 求解：解一元一次方程; x1= -3+，x2= -3- 定解：写出原方程的解. 小结： 1、把一个一元二次方程变形为 的形式，当 时， 就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： （1）移项：把常数项移到方程的右边；（2）配方：在方程两边都加上一次项系数的一半的平方， 把一元二次方程转化为（x＋h）2＝k（k≥0）的形式；（3）再通过直接开平方法求出方程的解。 简记为：移项、配方、变形、开方、求解、定解。 知识点三：数学实验室----拼图验证： 活动三：用拼图的方法转化方程：x2+2x-24=0. （1）原方程可化为：x(x+2)=24，转化为长为（x+2），宽为x的矩形面积为24，如图1所示； （2）分割为一个正方形和一个矩形，边长如图2所示； （3）将矩形长为2的边除以2，并把右侧的拼到上方，右上角拼上边长为1的正方形， 就得到边长为(x+1)的正方形.如图3所示，得(x+1)2=24+1， 即(x+1)2=25。 二、例题讲解 例1、用配方法解下列方程： （1）x2－4x＋3＝0　　　 　（2）x2＋3x－1＝0 例2、运用配方法解下列方程： （1）(x-2)2=x+7； （2）(y-1)2-10(y-1)+9=0. 三、基础强化： 1、将一元二次方程x2－8x-5＝0化成（x＋a）2＝b（a、b为常数）则a，b的值分别为（ ） A、-4，21 B、-4，11 C、4，21 D、-8，69 2、若x=0是关于x的一元二次方程的解，则m= 。 3、已知a、b、c是直角三角形的三边（c是斜边），若（a2＋b2）2－2（a2＋b2）－15＝0， 则斜边c的值为 。 4、将方程x2－3x＋p＝0配方后得到（x＋m）2＝，（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。 4、 拓展提高： 5、 若M=3x2+8，N=2x2+4x，请比较M与N的大小关系； ★6.当x、y为何值时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值？最小值为多少？ 五、总结反思： 1、把一个一元二次方程变形为 的形式，当 时， 就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2、数学思想方法：①转化思想；②整体思想 3、解一元二次方程的基本思路： 二次方程 一次方程 4、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：移项、配方、变形、开方、求解、定解。 六、随堂检测： 1、用配方法解方程时，原方程应变形为 （ ） A、 B、 C、 D、 2、不论x、y是什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值 （ 　　） 　A、总不小于2　 　B、总不小于7　 　C、可为任何实数　 D、可能为负数 3、用配方法解下列方程： （1）x2－6x－16＝0；　　　 （2）x2＋7x－12＝0。 　　 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$