精品解析：重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题卷

重庆市部分区2023~2024学年度第二学期期末联考 高一数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷､草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算虚部即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：B. 2. 某学校有小学生270人，初中生人，高中生810人.为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则为（ ） A. 270 B. 360 C. 450 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意初中生应抽取120人. 所以，解得 故选：D. 3. 若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为. 故选：C. 4. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，以及投影向量的定义与计算，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，，当的夹角为时，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 5. 已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用余弦定理可判断角为钝角. 【详解】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 6. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲： 乙： 则下列结论正确的是（ ） A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较小 C. 乙成绩的极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定 【答案】D 【解析】 【分析】将甲乙成绩从小到大进行排列，分别计算出甲乙成绩的平均数，中位数，极差，方差，比较大小即可判断. 【详解】将甲乙两位射击运动员的射击环数从小到大进行排列可得： 甲：，乙：， 对于选项A: 甲的射击环数的平均数， 乙的射击环数的平均数， 所以甲乙成绩的平均数相等，故选项A错误； 对于选项B: 易得甲的射击环数的中位数为，乙的射击环数的中位数为，所以甲乙成绩的中位数相等，故选项B错误； 对于选项C: 易得甲的射击环数的极差为，乙的射击环数的极差为， 所以甲成绩的极差较大，故选项C错误； 对于选项D: 因为甲的射击环数的平均数， 所以甲的射击环数的方差为 因为乙的射击环数的平均数， 所以乙的射击环数的方差为 所以，所以乙比甲的成绩稳定，故选项D正确. 故选: D. 7. 如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加减法和数乘运算用表示出，然后可得的值，可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， ， 又为的中点， 所以. 所以，所以. 故选：A 8. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①与异面； ②三棱锥的体积为定值； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面与平面所成的角为定值. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①，证明出与相交，故故与异面，①正确；②，用等体积法进行证明；③，举出反例；④，证明出面面垂直，得到④正确. 【详解】①，显然，故四点共面，故与相交， 故与异面，①正确； ②，为定值，点到平面的距离为， 由于为定值，②正确； ③，当为的中点时，此时由于，， 所以，故平面截正方体所得的截面图形是四边形， 当时，此时平面截正方体所得的截面图形是五边形，如图所示， 平面截正方体所得截面图形不一定是四边形，③错误； ④，因为分别为的中点，所以， 又，， 所以≌，故， 又，故⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面⊥平面， 故平面与平面所成的角为定值，④正确. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，复数在复平面内对应的点为位于第四象限，所以C错误； 对于D中，，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知不重合的直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线过点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系即可判断. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，如图①所示，则由线面垂直知，故B正确； 对于C，若， 则由平面与平面垂直的性质得,因为，所以，故C正确； 对于D，若，则直线过点, 证明如下：如图②所示，因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以，故直线过点，故D正确. 故选：BCD. 图① 图② 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若在区间单调递增且，则的取值范围为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数解析式，然后利用代入验证法判断A；根据单调区间判断周期范围，然后可得，求出的范围，结合正弦函数的单调性可判断B；利用辅助角公式化简，根据平移变换和诱导公式可判断C；将问题转化为直线与在上的图象有两个交点，结合正弦函数性质可判断D. 详解】由图可知，，，所以， 所以， 将点代入解析式得，所以， 即，又，所以，. 对于A，因为， 所以点不是函数的对称中心，A错误； 对于B，在单调递增， 所以，解得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，要使在区间单调递增，则， 解得，所以，B正确； 对于C，， 将其图象向右平移所得图象对应的解析式为： ，C正确； 对于D，当时，， 当，即时，取得最大值2； 当，即时，； 当，即时，. 所以，要使方程在上有两个不相等的实数根， 只需直线与在上的图象有两个交点， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：根据正弦函数图象求解析式，一般先根据图象求和周期，由周期公式求，再通过代入点的坐标求，然后利用整体代入法，结合正弦函数性质求解即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，由特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故答案为： 13. 一个正方体的顶点都在表面积为的球面上，则正方体的棱长为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方体的体对角线即为外接球的直径可解. 【详解】设正方体的棱长为，则其体对角线长为， 所以外接球的半径为， 由题知，，解得. 故答案为：1 14. 已知中，则外接圆的半径为__________；线段的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空由正弦定理可得；第二空设三角形外接圆圆心为,由余弦定理得,又因为得出结果； 【详解】在中，设外接圆的半径为， 正弦定理得. 设三角形外接圆圆心为,则, 因为所以勾股定理可知, 所以, 在中，由余弦定理得， 所以， 又因为. 因此外接圆的半径为3；线段的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值： （2）求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直关系即可求解；（2）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 则 因为，则有，解得. 【小问2详解】 可知， 设与的夹角为，则 所以向量与向量夹角的余弦值. 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率直方图. （1）求直方图中的值； （2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，说明理由. 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中各组的频率之和为1，即可求出答案； （2）求出该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率，即可估计出所求答案； （3）根据百分位数的求法，列式求解，即得答案. 【小问1详解】 由频率直方图可知，月均用水量在的频率为. 同理在的频率分别为， ， 由， 解得 【小问2详解】 由（1）知，该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为. 由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水量不低于3吨的人数为； 小问3详解】 因为前6组的频率之和为， 前5组的频率之和为 所以，由，解得， 因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，82%的居民每月的用水量不超过标准. 17. 已知函数. （1）求函数的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程； （2）求函数在上的单调递减区间. 【答案】（1），周期，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，由周期公式可的周期，利用整体代入法求对称轴方程即可； （2）先求的范围，然后利用正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 ， 函数的周期 由，解得； 所以，函数图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，有，要使单调递减， 则需要，解得， 故函数在上的单调递减区间为. 18. 如图，在平面四边形中，. （1）求的值； （2）求的正弦值； （3）若，求中边上高的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理，列出方程，即可求解； （2）在中，根据正弦定理，求得，得到，结合，即可求解； （3）在中，利用余弦定理，求得，再由三角形的面积公式，求得的面积为，设中边上高的长度为，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，由余弦定理得 即，即， 所以或（舍去），所以的值为. 【小问2详解】 解：在中，由正弦定理得， 即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 又因为，所以. 【小问3详解】 解：由， 在中，由余弦定理得 ，解得， 又因为的面积为， 设中边上高的长度为，可得， 可得，所以的边上高的大小为. 19. 如图，在五面体中，. （1）证明：； （2）给出①；②；③平面平面.试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理； （3）在（2）中推理正确的前提下，求直线与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）所选条件及证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用线面平行的性质定理证明线线平行； （2）分情况应用线面垂直判定定理及面面垂直性质定理证明； （3）根据线面垂直判定定理找到线面角再求边长得出正切. 【小问1详解】 证明：因为面面，所以面. 又因面，面面，所以. 【小问2详解】 解：条件①②，结论③： 且，故四边形是平行四边形，故， 因为，所以， 又平面， 所以面，而面，故平面平面； 条件①③，结论②： 且，故四边形是平行四边形，故， 由可得. 因面面，面面面， 所以面，而面， 因为，故. 若条件②③，结论①： 由于且，故四边形是平行四边形，故， 若，则，由于面面，无法推导平面， 不能推出， 【小问3详解】 连接直线 因为平面,平面，所以平面， 所以为直线和平面所成的角， 在中，. 因为平面,平面，所以平面， 由，则面，面，所以， 因为平面，面，所以， 直线和平面夹角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市部分区2023~2024学年度第二学期期末联考 高一数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷､草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A B. 1 C. D. 2. 某学校有小学生270人，初中生人，高中生810人.为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则为（ ） A. 270 B. 360 C. 450 D. 540 3. 若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 4. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下： 甲： 乙： 则下列结论正确的是（ ） A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较小 C. 乙成绩极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定 7. 如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①与异面； ②三棱锥的体积为定值； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面与平面所成的角为定值. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 10. 已知不重合的直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线过点 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若在区间单调递增且，则的取值范围为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 一个正方体的顶点都在表面积为的球面上，则正方体的棱长为__________. 14. 已知中，则外接圆的半径为__________；线段的最大值为__________. 四､解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值： （2）求向量与向量夹角的余弦值. 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率直方图. （1）求直方图中的值； （2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨人数，说明理由； （3）若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，说明理由. 17. 已知函数. （1）求函数的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程； （2）求函数在上的单调递减区间. 18. 如图，在平面四边形中，. （1）求的值； （2）求的正弦值； （3）若，求中边上高的长度. 19. 如图，在五面体中，. （1）证明：； （2）给出①；②；③平面平面.试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理； （3）在（2）中推理正确的前提下，求直线与平面夹角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$