第03讲 集合的运算（3个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第03讲 集合的运算（3个知识点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.交集的运算（必考） 2.并集的运算（常考） 3.补集的运算（常考） 4.交、并、补混合运算（常考） 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 3.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 5．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点） 知识点01：交集及其性质（重点） 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【即学即练1】若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝　 　． 知识点02：并集及其性质（重点） 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【即学即练2】已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2+x＝0}，则M∪N＝　 　． 知识点03：全集、补集及其性质（重点） 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【即学即练3】（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设全集，，则___________ 题型01 交集概念及其应用 【解题策略】 1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为： (1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【例1】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A．{x|0≤x≤2}　　 B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5　　　　B．4 C．3　　　　 D．2 【变式1-1】（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　 　． 【变式1-2】．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）设集合，，若，则的取值范围是________． 【变式1-3】（2022·上海·高一专题练习）记P＝{a|a是等腰三角形}，T＝{b|b是至少有一边为1，且至少有一内角为30°的三角形}，则P∩T的元素有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 并集概念及其应用 【解题策略】 求集合并集的两种基本方法 1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； 2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【例2】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0}　　 B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} 【变式2-1】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【变式2-2】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-3】已知，若，求实数的值. 题型03 集合交、并运算的性质及综合应用 【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 【变式3-1】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为_____． 【变式3-2】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 【变式3-3】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 题型04 补集的运算 【解题策略】 求集合的补集的方法 1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 【例4】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则________. 【变式4-1】（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）设全集，集合，则 ． 【变式4-2】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设全集，集合，若，则实数 ; 【变式4-3】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，. 若全集，求； 题型05 集合交、并、补集的综合运算 【解题策略】 解决集合交、并、补运算的技巧 1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【例5-1】（2022秋•徐汇区校级期中）设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 【例5-2】已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 【例5-3】（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【变式5-1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）设全集为，集合，，则=________. 【变式5-2】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知全集．若集合、满足，，则________． 【变式5-3】已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 一．选择题（共6小题） 1．（2022春•宝山区校级期末）满足条件，3，，3，5，7，的所有集合的个数是　　 A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 2．（2022秋•浦东新区校级月考）设为合数，为质数，表示自然数集，若满足，则这样的集合　　 A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个 3．（2022秋•普陀区校级期中）若集合不是集合的子集，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 5．（2023秋•嘉定区校级期中）已知全集中有个元素，中有个元素，若非空，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共11小题） 7．（2023秋•奉贤区期中）已知集合，，则　　． 8．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，0，1，2，，集合，则　　． 9．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　 　． 10．（2023秋•普陀区校级期中）已知全集，集合，，则　　． 11．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，且，0，，则的值为 　　． 12．（2024春•黄浦区校级期末）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则　　． 13．（2023秋•普陀区校级期末）已知集合，，，，，且，则的取值为　　． 14．（2023秋•嘉定区校级期末）设全集，，，4，6，，则　　． 15．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合，2，3，，，，满足，2，3，，则实数的值为 　　． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）设全集为，2，3，4，5，6，，，3，5，，，3，，则　　． 17．（2023秋•浦东新区校级期中）定义一种集合运算为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用运算和、、，可以表示下列集合中的 　　（填序号） ①； ②； ③． 三．解答题（共6小题） 18．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集，集合，．求，． 19．（2023秋•黄浦区校级期中）设集合，，，，若，试求实数与集合． 20．（2023秋•宝山区校级月考）若全集，4，，，，，求实数的值． 21．（2023秋•徐汇区期末）已知集合，，，，且． （1）若，求实数组成的集合． （2）若全集为，，求，的值． 22．（2023秋•虹口区校级期中）已知全集为，集合，集合，，． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 23．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，，若，求实数的值及． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的运算（3个知识点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.交集的运算（必考） 2.并集的运算（常考） 3.补集的运算（常考） 4.交、并、补混合运算（常考） 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 3.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 5．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点） 知识点01：交集及其性质（重点） 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【即学即练1】若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝　 　． 【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z， 则A∩B＝{1，2，3}． 故答案为：{1，2，3}． 知识点02：并集及其性质（重点） 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【即学即练2】已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2+x＝0}，则M∪N＝　 　． 【解答】解：集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2+x＝0}＝{﹣1，0}， 则M∪N＝{﹣1，0，1，2}． 故答案为：{﹣1，0，1，2}． 知识点03：全集、补集及其性质（重点） 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【即学即练3】（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设全集，，则___________ 【答案】 【详解】全集，， 则 题型01 交集概念及其应用 【解题策略】 1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为： (1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【例1】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A．{x|0≤x≤2}　　 B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5　　　　B．4 C．3　　　　 D．2 【答案】(1)A　(2)D　 【解析】(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图， 故A∩B＝{x|0≤x≤2}． (2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2， ∴8∈A,14∈A， ∴A∩B＝{8,14}，故选D. 【变式1-1】（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　 　． 【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3）， ∴A∩B＝（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【变式1-2】．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）设集合，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，，故. 【变式1-3】（2022·上海·高一专题练习）记P＝{a|a是等腰三角形}，T＝{b|b是至少有一边为1，且至少有一内角为30°的三角形}，则P∩T的元素有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】①若该三角形只有一边为1，另两边相等且都大于1或都小于1， 这样的等腰三角形有2个； ②若该三角形有两边为1，两个底角为30°或75°， 这样的等腰三角形有2个； 所以P∩T的元素有4个． 题型02 并集概念及其应用 【解题策略】 求集合并集的两种基本方法 1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； 2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【例2】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0}　　 B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2} (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} 【答案】(1)D　(2)A　 【解析】M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D. (2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}． 【变式2-1】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【答案】16 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 【变式2-2】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：由题意得： 集合 集合子集的个数为，，，，，，， 故集合的子集个数为8个. 【变式2-3】已知，若，求实数的值. 【答案】. 【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得 【详解】因为中，且两根之积为，又， 故，所以，则， 由上知：，所以，代入得，显然满足. 所以. 题型03 集合交、并运算的性质及综合应用 【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． [思路点拨]　 [解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k≤. 【变式3-1】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为_____． 【答案】1或3或4. 【详解】由解得或，所以， 由解得或， （i）若，则，满足； （ii）若，则，因为， 所以或， 综上实数的值为1或3或4. 【变式3-2】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为，所以， 若即，则，满足题意； 若即， 因为，所以解得， 综上，实数的取值范围是， 【变式3-3】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 【答案】 【详解】 ，即或 又 ，即或 又因为 所以且 又因为 所以或 所以只有成立， 所以是方程的根，即 故，即 所以或 当时，方程变为 所以不满足，故不符合题意舍去. 当时，方程变为 所以满足，和，满足题意. 题型04 补集的运算 【解题策略】 求集合的补集的方法 1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 【例4】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则________. 【答案】(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　 【解析】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，，{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知{x|x<－3或x＝5}． 【变式4-1】（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 【变式4-2】（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 【变式4-3】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，. 若全集，求； 【答案】或 【分析】根据补集得定义即可得解； 【详解】解：由， 得或； 题型05 集合交、并、补集的综合运算 【解题策略】 解决集合交、并、补运算的技巧 1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【例5-1】（2022秋•徐汇区校级期中）设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中； 故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B）， 故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）． 【例5-2】已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 【答案】 【详解】已知，， 所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6， 因为，， 所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9， 集合A、B中没有0，1，10， 综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10， 所以． 【例5-3】（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 【变式5-1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）设全集为，集合，，则=________. 【答案】 【详解】，故. 【变式5-2】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知全集．若集合、满足，，则________． 【答案】 【详解】说明； 说明，所以. 或解： 【变式5-3】已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 【答案】 【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求. 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分， 又中有个元素，故中有个元素； 法二：因为有个元素，又全集中有个元素， 故的元素个数个． 故答案为：. 一．选择题（共6小题） 1．（2022春•宝山区校级期末）满足条件，3，，3，5，7，的所有集合的个数是　　 A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可． 【解答】解：，3，，3，5，7， ，且 的集合可能为，或，7，或，7，或，7，或，3，7，或，5，7，或，5，7，或，3，5，7， 故选：． 【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型． 2．（2022秋•浦东新区校级月考）设为合数，为质数，表示自然数集，若满足，则这样的集合　　 A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个 【分析】由题意中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果． 【解答】解：设为合数，为质数，表示自然数集， 中只比中少两个元素：0和1， 满足， 中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数， 这样的集合有无数个． 故选：． 【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质． 3．（2022秋•普陀区校级期中）若集合不是集合的子集，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据集合的定义与性质，计算即可． 【解答】解：集合不是集合的子集， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题． 4．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，能求出的取值范围． 【解答】解：集合或， 集合，， ， 当时，，满足要求； 当时，， 由，得，解得，； 当时，， 由，得，解得，． 综上，的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2023秋•嘉定区校级期中）已知全集中有个元素，中有个元素，若非空，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据交集的运算求解即可． 【解答】解：由题意得，，即， 全集中有个元素，中有个元素，非空， 则的元素个数为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键． 6．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】举例说明错误，分类分析正确即可． 【解答】解：取，则对任意集合，都有，故错误； 取，则对任意集合，都有，故错误； 取，则，故错误； 对于，若，，则，，； 若，，则，，； 若，则，，； 若，如图， 则，，； 若，如图， 则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，； 若，如图， 则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，； 若，如图， 则，，． 综上所述，恒不成立． 故选：． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题． 二．填空题（共11小题） 7．（2023秋•奉贤区期中）已知集合，，则　　． 【分析】应用集合的并集的定义计算求出集合即可． 【解答】解：，，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了并集的运算，是基础题． 8．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，0，1，2，，集合，则　　． 【分析】由集合交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合，0，1，2，，集合， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题． 9．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　． 【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}， 因为A∩B≠∅， 所以a≥1 故答案为：[1，+∞） 【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题． 10．（2023秋•普陀区校级期中）已知全集，集合，，则　　． 【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解． 【解答】解：由题设或， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题． 11．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，且，0，，则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解． 【解答】解：设方程的根为，，方程的根为，， 可知，，，，0，，且且， 分析可知：方程的根为，2，方程的根为0，2， 即，，，，满足，0，，符合题意， 可得，解得，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 12．（2024春•黄浦区校级期末）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则　，4，7，　． 【分析】由已知求得与，再由交集运算得答案． 【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，， ，， 则，4，7，． 故答案为：，4，7，． 【点评】本题考查交集与补集的混合运算，是基础题． 13．（2023秋•普陀区校级期末）已知集合，，，，，且，则的取值为　3　． 【分析】根据即可得出，从而可得出或3，然后验证所得的值是否满足题意即可． 【解答】解：， ， 或，解得或3， ①时，，3，，不满足集合元素的互异性，应舍去； ②时，，7，，，1，，满足题意； ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题． 14．（2023秋•嘉定区校级期末）设全集，，，4，6，，则　，1，3，　． 【分析】先求出全集，再结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集，，1，2，3，4，5，6，， 则，4，6，， 故，1，3，． 故答案为：，1，3，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 15．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合，2，3，，，，满足，2，3，，则实数的值为 　或或0　． 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可． 【解答】解：因为，2，3，， 所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或． 故答案为：或或0． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）设全集为，2，3，4，5，6，，，3，5，，，3，，则　，　． 【分析】由补集与交集运算可得． 【解答】解：由全集，2，3，4，5，6，，，3，， 则，又，3，5，， 则． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期中）定义一种集合运算为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用运算和、、，可以表示下列集合中的 　①②③　（填序号） ①； ②； ③． 【分析】根据新定义运算逐个判断即可． 【解答】解：由定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或或， 所以， 综上，，，． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，解题关键是分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题，属于中档题． 三．解答题（共6小题） 18．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集，集合，．求，． 【分析】根据补集，交集，并集的定义进行计算即可． 【解答】解：，． ，则或， 或， 则或． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，交、并、补的定义是解决本题的关键，是基础题． 19．（2023秋•黄浦区校级期中）设集合，，，，若，试求实数与集合． 【分析】根据已知条件，结合交集、并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，， 则，解得， 故，， ，， 故，3，． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 20．（2023秋•宝山区校级月考）若全集，4，，，，，求实数的值． 【分析】根据集合间的关系列方程求出． 【解答】解：由题意，且， 解得， 即实数的值为． 【点评】本题考查补集的应用，属于基础题． 21．（2023秋•徐汇区期末）已知集合，，，，且． （1）若，求实数组成的集合． （2）若全集为，，求，的值． 【分析】（1），可得，，由得，对分类讨论能求出结果； （2）由全集为，，即，得，，代入，求出，，，由此能求出结果． 【解答】解：（1），，， ，， 当，则； 当，则； 当，则， 综上可得实数组成的集合为，． （2）由全集为，，即，得，， ，解得， ，， ，，解得， 综上，，． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 22．（2023秋•虹口区校级期中）已知全集为，集合，集合，，． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出，集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可． 【解答】解：（1），或， 所以或， 即，，； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知． 【点评】本题考查了集合的运算以及不等式问题，是基础题． 23．（2024春•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，，若，求实数的值及． 【分析】由，，以及与的交集确定出的值，进而求出与的并集即可． 【解答】解：，，，，，，且，中， 或， 解得：或， ①当时，，1，，，，，不满足题意舍去； ②当时，，0，，，，，满足题意， 综上所述：实数的值为，，，0，1，． 【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$