精品解析： 四川省巴中市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题（北师大版 ）

巴中市2024年春七年级期末考试 数学试卷（北师版） （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 中华酒文化源远流长，下图是某传统酿酒工艺装置部分玻璃仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ） A 克氏蒸馏烧瓶 B. 发生器 C. 分液漏斗 D. 锥形瓶 3. 以下是不可能事件的为（ ） A. 水中捞月 B. 小明中考体育成绩满分 C. 小红抛硬币，连续两次正面朝上 D. 长江水向东流，最后汇入东海 4. 如图，，添加下列条件，能使是（ ） A. B. C. D. 以上都可以 5. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 去年夏天，巴中遭遇暴雨袭击，下表是暴雨当天巴河某处水位记录，该处的警戒水位是3.5米，请问当天超越警戒水位0.25米的时间是（ ） 时间/时 4 8 12 16 20 24 水位/米 2 2.5 3 3.5 4 4.5 A. 17时 B. 18时 C. 19时 D. 20时 10. 如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，将一张长方形纸片分别沿折叠后，点B落在点M处，点C落在点N处，且E，M，N三点刚好在同一条直线上，为的平分线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为______元（用合适的记数法表示）． 14. 如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 15. 如果是一个完全平方式，那么整数m的值为______． 16. 如图，在中，，，分别过点A，C作过点B的直线的垂线AD，CE．若，，则_______． 17. 如图，科学兴趣小组发现，将光线照在平面镜上会形成反射光线，且两条光线与形成的夹角相等，即．将一条平行于的光线照在平面镜上，两条反射光线交于点P，若，，则与形成的夹角（锐角）为_______°． 18. 如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为_______． 三、解答题（共84分） 19. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）已知，，求的值． 20. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中以线段为边作锐角（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）； （2）在图2中以线段为腰作等腰直角（作出一个即可），的面积为______； （3）在图3中的直线l上画出点P，使得最短． 22. 如图，在中，，连接为的中线，延长交于点D． （1）若，，求的度数； （2）点G线段上，满足，求证：． 23. 所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，． （1）下列各式中是完全平方式的编号有______； ①；②；③；④；⑤． （2）若，请利用完全平方式求的值． 24. 2024年清明节，某校七年级师生乘大客车去通江王坪川陕革命根据地红军烈士陵园研学．该年级师生从学校出发，到达目的地，可是5班小明同学睡过了头，错过了出发时间，于是小明爸爸开私家车沿同一路线送他去目的地，他们出发．甲车代表大客车，乙车代表私家车，汽车离学校的距离与时间的关系如图所示． （1）学校距离目的地______千米； （2）乙车出发多少小时后追上甲车？ （3）在什么时刻，两车相距40千米？ 25. 已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴中市2024年春七年级期末考试 数学试卷（北师版） （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，按照同底数幂相乘法则计算结果，即可解答，熟知同底数幂相乘底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2. 中华酒文化源远流长，下图是某传统酿酒工艺装置部分玻璃仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ） A. 克氏蒸馏烧瓶 B. 发生器 C. 分液漏斗 D. 锥形瓶 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．克氏蒸馏烧瓶不是轴对称图形，不符合题意； B．发生器不是轴对称图形，不符合题意； C．分液漏斗不是轴对称图形，不符合题意； D．锥形瓶是轴对称图形，符合题意． 故选D． 3. 以下是不可能事件的为（ ） A. 水中捞月 B. 小明中考体育成绩满分 C. 小红抛硬币，连续两次正面朝上 D. 长江水向东流，最后汇入东海 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握不可能事件、随机事件、必然事件的定义成为解题的关键． 不可能事件、随机事件、必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，符合题意； B. 小明中考体育成绩满分是随机事件，不符合题意； C. 小红抛硬币，连续两次正面朝上是随机事件，不符合题意； D. 长江水向东流，最后汇入东海是必然事件，不符合题意． 故选A． 4. 如图，，添加下列条件，能使的是（ ） A. B. C. D. 以上都可以 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定, 根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， 添加时，则可利用证明， ， ，， 即， ，故A正确； 添加时，可得，， ， ，故B正确； 添加时，如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确； 故选：D． 5. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查完全平方式，多项式乘以多项式，根据相关计算法则，把各选项中的左边展开，再与等式右边相比较即可选出答案，熟知计算法则是解题的关键． 详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意， 故选：C． 7. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ， ， 小明离地面的高度是， 故选：C． 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据题意可得平分，可求得，利用平行线的性质，即可解答，熟知角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得平分，又，， ， ， ， 故选：A． 9. 去年夏天，巴中遭遇暴雨袭击，下表是暴雨当天巴河某处水位记录，该处的警戒水位是3.5米，请问当天超越警戒水位0.25米的时间是（ ） 时间/时 4 8 12 16 20 24 水位/米 2 2.5 3 3.5 4 4.5 A. 17时 B. 18时 C. 19时 D. 20时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求得水位y与时间x的表达式为，再把代入求解即可． 【详解】解：设水位y与时间x的表达式为， 把、代入得，， 解得， ∴水位y与时间x的表达式为， 当超越警戒水位0.25米时，水位为（米）， 把代入得，， 解得， 故选：B． 10. 如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、求阴影部分的面积等知识点，明确各部分图形的面积关系成为解题的关键． 先说明，再观察得到，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴ ． 故选A． 11. 如图，将一张长方形纸片分别沿折叠后，点B落在点M处，点C落在点N处，且E，M，N三点刚好在同一条直线上，为的平分线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠性质，角平分线的定义，掌握折叠性质是解题关键，由折痕分别为，可得，由E，M，N三点刚好在同一条直线上知，可求，根据，得到进而得到，，即可得到，由射线为的平分线，可求． 【详解】解：由折叠的性质得：， E，M，N三点刚好在同一条直线上， ， ， ， ，， ， 为的平分线， ． 故选：B． 12. 如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得，进而证明得到即可判定①；由可得，然后证明即可判定②；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明可得，再证明可得，然后证明可得，再说明，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴. ∵，, ∴，即②正确； ∴, ∵，， ∴, ∵, ∴, ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵，, ∴,即③正确； ∴ ∴， ∴, ∴， ∵，， ∴,即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 如图：连接 ∵,, ∴， ∴, ∵, ∴, ∴,即④正确． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为______元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 14. 如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，正确理解程序计算的流程是解题的关键．先将代入，求得的值为6，小于20，根据程序流程，将再次代入，求得的值为30，大于20，即可输出结果． 【详解】当时，， 当时，， 所以． 故答案为：30． 15. 如果是一个完全平方式，那么整数m的值为______． 【答案】9或##或9 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 先确定首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍也就是，由此对应求得m的数值即可． 【详解】解：∵是一个多项式的完全平方， ∴，解得：或9． 故答案为：9或． 16. 如图，在中，，，分别过点A，C作过点B的直线的垂线AD，CE．若，，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，由垂直的定义可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，，由平角的定义得出，等量代换得出，利用证明，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：8． 17. 如图，科学兴趣小组发现，将光线照在平面镜上会形成反射光线，且两条光线与形成的夹角相等，即．将一条平行于的光线照在平面镜上，两条反射光线交于点P，若，，则与形成的夹角（锐角）为_______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的相关计算，过点P作，则，由平行线的性质得出，根据角的和差关系得出，再根据平行线的性质得出，过点B作，根据入射角等于反射角，，再根据角的和差关系得出． 【详解】解：过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 过点B作，根据入射角等于反射角， ∴， ∴， 故答案为：75． 18. 如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线性质、数字类规律探究，先根据三角形的中线性质和三角形的面积公式求得前几个三角形的面积，然后找到变化规律，进而可求解． 【详解】解：由题意，， ， ， ……， 依次类推，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共84分） 19. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）已知，，求的值． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算． （1）实数的混合运算，先计算零次幂，负整数幂以及平方运算，最后加减运算即可． （2）整式混合运算，先计算平方，再计算乘除运算，最后合并同类项即可． （3）整式的混合运算，计算多项式乘以多项式，最后合并同类项即可． （4）利用同底数幂除法的逆用以及幂的乘法逆用，展开代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 又， ∴原式 20. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】（1） （2）不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【小问1详解】 解：转出数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中以线段为边作锐角（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）； （2）在图2中以线段为腰作等腰直角（作出一个即可），的面积为______； （3）在图3中的直线l上画出点P，使得最短． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）以为腰作等腰即可； （2）以为边构造等腰直角三角形即可．利用网格求三角形面积即可． （3）作B点关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，点P即为所求． 【小问1详解】 如图1，任意一个C点即可∶ 小问2详解】 如图2，任意一个C点即可 【小问3详解】 如图3，P点为所求 图3 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，利用轴对称性质求最短距离，作等腰直角三角形，利用网格求三角形的面积等，掌握轴对称图形的定义以及性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，连接为的中线，延长交于点D． （1）若，，求的度数； （2）点G在线段上，满足，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质结合可得、，再根据三角形内角和定理可得；然后根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答； （2）根据据等腰三角形三线合一的性质及三角形内角和定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，即，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【小问1详解】 解：，为的中线, ∴平分, ， ， ，为的中线, ． 【小问2详解】 证明：，为的中线, ∴平分, ． ． 23. 所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，． （1）下列各式中是完全平方式的编号有______； ①；②；③；④；⑤． （2）若，请利用完全平方式求的值． 【答案】（1）①②④⑤ （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征整理出，把代入原式计算即可得到结果； 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【小问1详解】 解：①，是； ②，是； ③，不是； ④，是； ⑤，是； 故答案为：①②④⑤ 【小问2详解】 解： ∵ ∴ 24. 2024年清明节，某校七年级师生乘大客车去通江王坪川陕革命根据地红军烈士陵园研学．该年级师生从学校出发，到达目的地，可是5班小明同学睡过了头，错过了出发时间，于是小明爸爸开私家车沿同一路线送他去目的地，他们出发．甲车代表大客车，乙车代表私家车，汽车离学校的距离与时间的关系如图所示． （1）学校距离目的地______千米； （2）乙车出发多少小时后追上甲车？ （3）在什么时刻，两车相距40千米？ 【答案】（1）300 （2）小时 （3）在时，两车相距40千米 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图像、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据函数图像即可解答； （2）先根据函数图像求出两车的速度，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）分甲车出发、乙车没有出发；甲、乙两车相遇前后，乙车到达、甲车途中三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图像可得：学校距离目的地300千米． 故答案为：300． 【小问2详解】 解：由函数图像可得：甲车的速度为；乙车速度为：， 设乙车出发t小时后，两车相遇， 由题意可得：， 解得：． 答：乙车出发小时后追上甲车． 【小问3详解】 解：①甲车出发、乙车没有出发，甲乙两车相距用时为：，此时为：； ②甲、乙两车相遇前后，甲乙两车相距用时与相遇时间之差为：； 又有相遇时刻为，则甲乙两车相距时的时间为 ：和； ③乙车到达、甲车途中，甲乙两车相距的时刻为：． 答：在时，两车相距40千米． 25. 已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线和进行分类讨论是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）根据（1）可得，分类讨论即可解答； （3）延长点，使得，证明为等边三角形，可得，再证明，得到，最后证明，即可得到． 【小问1详解】 证明：， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据（1）中可得， ， 当时，， ； 当时，； 当时，， ， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； 【小问3详解】 证明：如图，延长点，使得， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$