精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度（下）七年级期末质量监测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分学科 考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所反映的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕 4. 如图，，，并且，则的度数为（ ） A. 55° B. 45° C. 30° D. 60° 5. 如图，分割的正方形可拼接成长方形，可以验证公式（ ） A. B. C. D. 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑的时间与支撑物的高度，得到如下表所示的数据．下列结论不正确的是（ ） 木板的支撑物高度 … 下滑时间 … A. 这个实验中，木板的支撑物高度是自变量 B. 支撑物高度每增加，下滑时间就会减少 C. 当时，为 D. 随着支撑物高度的增加，下滑时间越来越短 8. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，，平分，，，则点到的距离为(　　) A. 18 B. 12 C. 15 D. 无法确定 10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ） A. EC⊥AC B. EC＝AC C. ED ＋AB ＝DB D. DC ＝CB 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随着科技的进步，微电子技术飞速发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为，0.00000012用科学记数法可表示为______. 12. 某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮32秒，黄灯亮3秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为______． 13. 已知，，则的值是___________． 14. 如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm． 15. 在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于点H，若，则的大小为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）用简便方法计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图所示的是一个正六边形转盘被分成6个全等的等边三角形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个三角形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（当指针指向两个三角形的公共边时，需重新转动转盘），这时称转动了转盘1次． （1）下列说法正确的是______（直接填空）； A.出现的数为3的概率小于出现的数为4的概率 B.转动转盘，出现的数为6是随机事件 C.转动转盘6次，2一定会出现一次 D.转动转盘3次，出现的3个数之和有可能等于19 （2）求转动一次转盘，指针指向偶数的概率． 19. 按逻辑将下面的证明过程补充完整 如图，点、分别在、上，于点，，． 求证：．请填空． 证明：（ ① ） （ ② ） ③ （ ④ ） （已知） （ ⑤ ） （已知） ⑥ （ ⑦ ） （ ⑧ ） 20. 已知，等边三角形，过点作，连接交于点，且． （1）如图①，求证：垂直平分； （2）如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 21. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间距离为与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）观测图像可知点，点，点所代表的实际意义，请将、、分别填入对应的横线上． ①点______表示甲到达终点； ②点______表示甲乙两人相遇； ③点______表示乙到达终点． （2）、两地之间的路程为______千米； （3）求甲骑摩托车速度； （4）甲出发______h后，甲、乙两人相距180千米． 22. 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 23. 数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度（下）七年级期末质量监测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分学科 考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式乘单项式，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，选项是正确的，故不符合题意； B、，选项是正确的，故不符合题意； C、，选项是正确的，故不符合题意； D、，选项是不正确的，故符合题意； 故选：D 3. 下列成语所反映的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小进行判断即可求解． 【详解】解：十拿九稳、守株待兔、一箭双雕所反映的事件是随机事件，水中捞月所反映的事件是不可能事件，故选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意， 故选：C． 4. 如图，，，并且，则的度数为（ ） A. 55° B. 45° C. 30° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】延长AC交DE于点K．根据∠ACD=∠D+∠DKC即可解决问题． 【详解】解：如图延长AC交DE于点K． ∵AB∥DE， ∴∠A=∠DKC=35°， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD=90°=∠D+∠DKC， ∴∠D=90°-∠DKC=90°-35°=55°． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是添加辅助线，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，分割的正方形可拼接成长方形，可以验证公式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【详解】解：右图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，而左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以， 故选：A． 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 7. 如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑时间与支撑物的高度，得到如下表所示的数据．下列结论不正确的是（ ） 木板的支撑物高度 … 下滑时间 … A. 这个实验中，木板的支撑物高度是自变量 B. 支撑物高度每增加，下滑时间就会减少 C. 当时，为 D. 随着支撑物高度的增加，下滑时间越来越短 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中高度与时间的数据关系即可求解． 【详解】解：选项，木板支撑物高度在增加，时间在减小，故木板的支撑物高度是自变量，故正确，不符合题意； 选项，支撑物高度第一次增加，下滑时间就会减少；第二次增加，下滑时间减少，故错误，符合题意； 选项，当时，为，故正确，不符合题意； 选项，随着支撑物高度的增加，下滑时间越来越短，故正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查常量与变量的关系，反比例关系在实际中的运用，理解表格中常量与变量的关系，掌握反比例的定义是解题的关键． 8. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 9. 如图所示，在中，，平分，，，则点到的距离为(　　) A. 18 B. 12 C. 15 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点E，则DE的长度即为点到的距离，先根据角平分线的性质得出，然后通过BC的长度及求出CD的长度，则DE的长度可求． 【详解】过点D作于点E，则DE的长度即为点到的距离， ∵平分， ∴． ，， ． ∵，， ， 即点到的距离为12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ） A. EC⊥AC B. EC＝AC C. ED ＋AB ＝DB D. DC ＝CB 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以证明，再由全等三角形的性质可以证明A、B、C选项是正确的，D选项不正确． 【详解】在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 综上A、B、C是正确的，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是要对全等三角形的性质和判定很熟悉． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随着科技的进步，微电子技术飞速发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为，0.00000012用科学记数法可表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.00 000 012用科学记数法表示为：． 故答案炜：． 12. 某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮32秒，黄灯亮3秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式计算，熟知某事件的概率这个事件发生的结果数除以总的结果数是解题的关键． 【详解】解：当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率． 故答案为：． 13. 已知，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将变形为，再把，代入即可求解． 【详解】解：，且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式，结合已知条件将所求代数式变形是解题的关键． 14. 如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm． 【答案】1 【解析】 【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题． 【详解】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝6cm， ∵EF＝8cm， ∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣6）＝1（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 15. 在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在直线相交于点H，若，则的大小为______． 【答案】45°或135° 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出∠DCH=∠DAB，再利用“角角边”证明△ABD和△CHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CD，求出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACD=45°，然后分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可． 【详解】解：∵AD，CE为高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=90°， ∠DCH+∠B=90°， ∴∠DCH=∠DAB， 在△ABD和△CHD中， ， ∴△ABD≌△CHD（AAS）， ∴AD=CD， ∵AD是高， ∴△ACD等腰直角三角形， ∴∠ACD=45°， 如图1，△ABC是锐角三角形时，∠ACB=∠ACD=45°， 如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB=180°-∠ACD=180°-45°=135°， 所以，∠ACB的大小为45°或135°． 故答案为：45°或135°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）用简便方法计算： 【答案】（1）1 （2）4043 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂以及有理数的乘方进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 本题考查零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，平方差公式，掌握零指数幂的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的计算方法、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入原式计算，即可求出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是熟练运用整式的混合运算法则． 18. 如图所示的是一个正六边形转盘被分成6个全等的等边三角形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个三角形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（当指针指向两个三角形的公共边时，需重新转动转盘），这时称转动了转盘1次． （1）下列说法正确的是______（直接填空）； A.出现的数为3的概率小于出现的数为4的概率 B.转动转盘，出现的数为6是随机事件 C.转动转盘6次，2一定会出现一次 D.转动转盘3次，出现的3个数之和有可能等于19 （2）求转动一次转盘，指针指向偶数的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用随机事件的意义分析得出即可； （2）根据概率公式求解可得． 本题主要考查了概率的意义与概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解： A、出现的数为3的概率与出现的数为4的概率均为，此结论错误； B、转动转盘，出现的数为6是随机事件，此结论正确； C、转动转盘6次，2不一定会出现，此结论错误； D、转动转盘3次， ∴出现的3个数之和最大是18，不可能等于19，此结论错误． 故选：B； 【小问2详解】 解：个数中，偶数有3个， 指针指向偶数的概率为． 19. 按逻辑将下面的证明过程补充完整 如图，点、分别在、上，于点，，． 求证：．请填空． 证明：（ ① ） （ ② ） ③ （ ④ ） （已知） （ ⑤ ） （已知） ⑥ （ ⑦ ） （ ⑧ ） 【答案】①已知；②垂直定义；③；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角的余角相等；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据平行线的性质与判定进行作答即可． 【详解】证明：（已知） （垂直定义） （直角三角形两个锐角互余） （已知） （同角的余角相等） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：①已知；②垂直定义；③；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角的余角相等；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行 20. 已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且． （1）如图①，求证：垂直平分； （2）如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用． （1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）可得，由，则． 【小问1详解】 证明：是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分； 【小问2详解】 证明：由（1）知垂直平分， ， ， ． 21. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）观测图像可知点，点，点所代表的实际意义，请将、、分别填入对应的横线上． ①点______表示甲到达终点； ②点______表示甲乙两人相遇； ③点______表示乙到达终点． （2）、两地之间的路程为______千米； （3）求甲骑摩托车的速度； （4）甲出发______h后，甲、乙两人相距180千米． 【答案】（1）①；②；③ （2）240 （3）甲的速度为40km/h （4）或 【解析】 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题； （2）由图象可得，两地之间路程为240千米； （3）根据出发后3小时到6小时，甲行驶了千米，即可得到甲的速度； （4）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：分析函数图象知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达地；6小时时甲到达地． 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 解：根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，两地之间路程为240千米 故答案为：240； 【小问3详解】 解：甲的速度是：千米时，则乙的速度是：千米时； 【小问4详解】 解：①相遇之前：（小时） ②相遇之后：（小时）， 故答案为：或． 22. 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；③ （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【小问1详解】 解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 23. 数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解（2）等腰（3）见详解（4） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意进行作图即可； （2）结合等腰三角形的判定进行作答即可． （3）先过点D作，交于一点即为点，结合平行线的性质得，证明，即可作答． （4）在上截取，记交于点F，运用三角形内角和性质得，再证明是等边三角形，然后证明，进行边的运算，即可作答． 【详解】解：（1）如图：以点A为圆心，以的长度为半径画弧交过点B的直线于两个点，即为 ，连接， （2）依题意，∵ ∴小红发现，是等腰三角形 （3）如图：过点D作，交于一点即为点 ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 过点作直线 ∴ ∴在中， ∴， ∵， ∴ ∴ （4）如图所示：在上截取，记交于点F ∵，过点作交的平分线于点． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$