精品解析：广东省深圳市盐田区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级 数学 说明： 1.全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将考场、姓名、班级、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并用 2B 铅笔把准考证号对应的信息框涂黑． 3.作答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息框涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，答案一律无效． 4.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近年来，中国的5G技术迅猛发展，中国广电正式开启5G 网络服务，成为第四大通信运营商．以下四大通信运营商标志中，不是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，符合题意； D．是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 若，则下列不等式成立的是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质、反证法等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据反证法、不等式的性质即可解答． 【详解】解：A，当时，，故A错误，不符合题意；  B. 由则  ，故A错误，不符合题意；        C.  由则  ，故C错误，不符合题意；  D. 由则  ，故D正确，符合题意． 故选D． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式的积的形式，熟知因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，是整式乘法，不是因式分解，不合题意； B. 是因式分解，符合题意； C. 没有将多项式化为乘积形式，不是因式分解，不合题意； D. 没有将多项式化为乘积形式，不是因式分解，不合题意． 故选：B． 4. 点向上平移2个单位后到达原点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 把原点向下平移2个单位即可解答． 【详解】解：∵点向上平移2个单位后到达原点， ∴点的坐标，即 故选A． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可． 【详解】解：解得在数轴上表示如下： 故选：B． 6. 如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A. 五边形的内角和是 B. 五边形的外角和是 C. 五边形的内角和是 D. 五边形的外角和是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．根据题意可知小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，再根据多边形的外角和性质即可得出答案． 【详解】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和， 小强转过的角度之和为． 故选：B． 7. 下列说法，正确的是 （ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、命题的真假判断、线段垂直平分线的性质、反证法的应用等知识点，熟练掌握相关性质和概念是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、线段垂直平分线的性质、反证法逐项判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故A选项错误，不符合题意； B、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故逆命题是假命题，B选项说法错误，不符合题意； C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等，故C选项说法错误，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，D说法正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图， 平行四边形与平行四边形全等， 且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上， F在BC上， C在上．若，则四边形的周长为 （ ）． A. 23 B. 22 C. 21 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等形的性质等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键． 根据全等形和平行四边形的性质可得、，则；再根据线段的和差可得，最后根据四边形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵平行四边形与平行四边形全等， ∴,， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 故选A． 9. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在AC的延长线上， 若A、B、D三点共线， 且， 则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴, ∴． 故选：C． 10. 如图，与均为等边三角形，， 点B， C， D， P在一条直线上，， 则的长为 （ ）． A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解题的关键． 连接，过E作与F，根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得、，进而得到，再证可得；然后说明可得；设，则，然后用x表示出、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作与F， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为________ 【答案】4 【解析】 【分析】在中，由于，，根据等腰三角形的底边上的高与底边上的中线互相重合可证是的中点，又因为是的中点，根据三角形中位线定理可证和平行，并且等于的一半，从而得解． 【详解】∵，， ∴ ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理是解本题的关键． 13. 关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根问题可进行求解． 【详解】解：由可知当时，分式方程有增根， ∴该分式方程的增根为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键． 14. 如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 延长相交于点M，根据平行四边形的性质可得、、，再结合角平分线的定义等腰三角形的性质可得，通过证明得出，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：延长相交于点M， ∵四边形为平行四边形， ∴，即，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为10． 15. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组 ； （2）解方程：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、解分式方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可； （2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可. 【详解】解：(1)解不等式①，得. 解不等式②，得. ∴原不等式组的解集为. (2) 方程两边都乘，得，解得：， 检验： 当时， ， ∴分式方程的根是. 17. 先化简， 再求值： ，其中 【答案】；18 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的运算法则进行计算，再将代入化简以后的式子中求值即可． 此题主要考查了分式的化简求值，正确通分是解题关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知的三个顶点坐标分别是． （1）平移， 得到， 若点A的对应点的坐标为， 请画出； （2）将以点 为旋转中心旋转后得到， 请画出， 并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心 P 点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图、求旋转中心等知识点，作出对应点的位置是解题的关键． （1）先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）先作出点旋转后的对应点，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）如图：连接、，其交点即为点P,即可得出旋转中心P点的坐标． 【小问1详解】 解：如图, 即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：如图, 即为所求, 点坐标为． 【小问3详解】 解：． 19. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人． （1）直接写出x的范围． （2）如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 【答案】（1） （2）500人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，分式方程的应用； （1）由不等关系式：八年级人数人，八年级人数人人，列出不等式组，即可求解； （2）等量关系式：元零售价购买的数量个元批发价购买的数量，据此列方程，即可求解； 找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这个学校八年级学生有人．由题意得， ， 解得：， 故：； 【小问2详解】 解：设批发的价格为每支元，由题意得 按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同， 零售的价格为每支元， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （人）； 答：这个学校八年级学生有人． 20. 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O． （1）下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）选定一个条件，然后运用平行线的判定与性质即可解答； （2）根据平行线的性质可得及已知条件可得，然后根据三角形中线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：方法1：我选①，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方法2：我选③.证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴，即. 又∵， ∴. ． 21. 受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图． 根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）． 素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 22. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】初步感知：，见解析；类比探究：，见解析；拓展应用： 【解析】 【分析】初步感知：先证明、C、M在同一直线上，再证明，得出，根据，得出； 类比探究：在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； 拓展应用：在上取点M，连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：初步感知：∵将绕着点D逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴、C、M在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比探究：，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 拓展应用：在上取点M，使连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级 数学 说明： 1.全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将考场、姓名、班级、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并用 2B 铅笔把准考证号对应的信息框涂黑． 3.作答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息框涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，答案一律无效． 4.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近年来，中国的5G技术迅猛发展，中国广电正式开启5G 网络服务，成为第四大通信运营商．以下四大通信运营商标志中，不是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是 （ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 （ ） A. B. C. D. 4. 点向上平移2个单位后到达原点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A. 五边形的内角和是 B. 五边形的外角和是 C. 五边形的内角和是 D. 五边形的外角和是 7. 下列说法，正确的是 （ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 8. 如图， 平行四边形与平行四边形全等， 且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上， F在BC上， C在上．若，则四边形的周长为 （ ）． A. 23 B. 22 C. 21 D. 20 9. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在AC的延长线上， 若A、B、D三点共线， 且， 则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，与均为等边三角形，， 点B， C， D， P在一条直线上，， 则的长为 （ ）． A. 4 B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 12. 已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为________ 13. 关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 14. 如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为_________． 15. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组 ； （2）解方程：. 17. 先化简， 再求值： ，其中 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知的三个顶点坐标分别是． （1）平移， 得到， 若点A的对应点的坐标为， 请画出； （2）将以点 为旋转中心旋转后得到， 请画出， 并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心 P 点的坐标． 19. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人． （1）直接写出x的范围． （2）如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 20. 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O． （1）下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 21. 受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图． 根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）． 素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 22. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $