15.第四章 第三节 解直角三角形-【一飞冲天·中考专项】2024年精品试题分类数学（天津专版）

一飞冲天 第四章三角形 第三节 解直角三角开形 (必考，每年2考，13分) (Ⅱ)设塔AB的高度为h(单位：m). 5年真题 (1)用含有h的式子表示线段EA的长 命题1】 (结果保留根号)： 特殊角的三角函数值(5年5考) (i)求塔AB的高度(tan27°取0.5，√3取 1.(2023·天津中考)sin45°+5的值等于( 1.7,结果取整数). A.1 B./2 C.3 D.2 2.(2022·天津中考)tan45的值等于 A.2 B.1 e号 3.(2021·天津中考)tan30的值等于 A.③ 3 以号 C.1 D.2 4.(2020·天津中考)2sin45的值等于 7,(2022·天津中考)如图，某座山AB的顶部有 A.1 B.2 C.3 D.2 座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线 5.(2019·天津中考)2sin60°的值等于 上.从地面P处测得塔顶C的仰角为2，测 A.1 B.2 C.3 D.2 得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高 度为32m,求这座山AB的高度（结果取 命题2 锐角三角函数的实际应用(5年5考】 整数) 6.(2023·天津中考)综合与实践活动中，要利用 参考数据：tan35>y0.70,tan42°≈0.90. 测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座 高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE 30,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习 小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角 为27 (I)求DE的长： 口mnaa6o回山色地山包uG山eDaD色的a口um口mG 口中考专项精品试题分美数学 一冲天 8.(2021·天津中考)如图，一艘货船在灯塔C的10.(2019·天津中考)如图，海面上一艘船由西 正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发 向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔 出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东 的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行 30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰 40方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的 角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的 B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援.求 高度CD(结果取整数) AB的长（结果取整数）， 参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， 参考数据：tan40°≈0.843取1.73. tan31°≈0.60. 北 314人459 9.(2020·天津中考)如图，A,B两点被池塘隔 开，在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC 221m,∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得 THE TOP 的数据，求AB的长（结果取整数） L 参考数据：sin58°≈0.85，c0s58°≈0.53， tan58°≈1.60. 飞冲天 冲天 58 B 当oaccr向OD▣GaD地山DO山eDaD色时a口色ma0mG 一飞冲天 第四章三角形 知识回顾 一、直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角① 可表示如下：∠C=90°→∠A+∠B=90°. 2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的② ,可表示如下： ∠C=90°∠A=30°→BC=③ AB. 3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半.可表示如下： ∠ACB=90,D为AB的中点→CD=2AB=BD=AD. 4.勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b=c2. 二、一些特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45 60° sin a ⑤ √2 2 cos a 2 2 tan a ⑧ ⑨ 三、解直角三角形的理论依据 T 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. 1.三边之间的关系：a+b=c2(勾股定理)： 2.锐角之间的关系：∠A十∠B=90°： 3边角之间的关系：sinA=,cosA-=名，anA=号：sinB= .cos B= .tan B= 5年模拟题 2.(2021·南开一模)√3tan60的值等于( B.3 C.3 D.3 是素养白测 3.(2020·和平一模)3tan45的值等于( (2021·河西结课)在Rt△ABC中，∠C=90°， A.1 B.3 C.3 D.33 BC=10,AC=8,则tanA的值为 ( 4.(2020·河东一模)30s30的值为 ( A B.3 c D c n号 atcracrrat的eau向oan色a边色m■dm@ 中考专项精品试题分集数学 一冲天 5.(2019·南开一模)3tan60的值等于( )10.(2020·和平一模)如图，建筑物BC上有一 宣传牌AB,从D处测得宣传牌底部B的仰 B.3 c D.33 角为35°，前进4m到达E处，从E处测得宣 6.(2019·翔宇下学期期初)sin60°十tan45°的 传牌顶部A的仰角为45°.已知建筑物BC的 值等于 ( 高是16m,求宣传牌AB的高度（结果精确到 A.√2 B.3+2 C.3 D.1 0.1m). 参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0,82 7.(2022·滨海一模)2sin30°的值等于 tan35≈0.70. A立 B.1 D.3 8.(2023·红桥结深)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90,BD为斜边AC的高，D为垂足， 则下列结论中正确的是 天 AmA-裙 B.cos A= BO AC 11.(2019东丽一模)如图，高楼顶部有一信号 CanA=A能 D.anA= 发射塔(FM),在矩形建筑物ABCD的D、C BC AD 两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°， 9.(2021·红桥结课)如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，AC=8,BC=6,求sinA,cosA.tanA○ 64.5°，矩形建筑物高度DC为22米.求该信 号发射塔顶端到地面的距离FG(结果精确到 的值. 1m). 参考数据：sin64.5°≈0.90，co564.5 0.43,tan64.5°≈2.1. A D45", 冲天 64.5 B h口accracrat山地auo山色知aopnc边em■dma 一飞冲天 第四章三角形 12.(2022·和平二模)如图，斜立于地面的木杆 (Ⅱ)若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶 AB,从点C处折断后，上半部分BC倒在地 去，当到达点A'时，测得港口B在A'的 上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得 南偏东75的方向上，求此时渔船的航行 ∠ACD=60°，∠ADC=37°，折断部分CD长 距离（计算结果保留根号）. 5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数） 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75，√3≈1.73. 777777777>777 14.(2020·河东一模)如图，某办公楼AB的右 边有一建筑物CD,在建筑物CD离地面2米 高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角 AEM=22°，在离建筑物CD25米远的F 点观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AFB= 45(B,F,C在一条直线上). (I)求办公楼AB的高度： (Ⅱ)若要在A,E之间挂一些彩旗，请你求出 A,E之间的距离（结果保留整数） 参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93 是素养提升 tan22°≈0.40. 13.(2021·南开一模)如图，4 某渔船在完成捕捞作业后 准备返回港口C,途经某海 60 域A处时，港口C的工作 B 人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一 港口B的工作人员监测到点A在正西方向 上.已知港口C在港口B的北偏西60°方向， 且B,C两地相距120海里。 (L)求出此时点A到港口C的距离（计算结 果保留根号)： h口accracrat山地auo山色知aopnc边em■dma 中考专项精品试题分集数学 一冲天 15.(2019·河东一模)综合实践课上，某兴趣小16.(2022·河西一模)如图，甲、乙两座建筑物的 组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为 水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得 实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂 乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处 直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E 的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和 的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为 DC(结果取整数). 45°，此时航拍无人机的高度为50米.已知1 参考数据：tan48≈1.11，tan58°≈1.60. 号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直 地面于点C和D,B为CD的中点，求2号楼 的高度（结果保留根号》 60不45 E 1 飞天 2号楼 楼 地而 LYTO THE TOP 冲天 一飞冲天 hema他a白山eaG山色地a山uuG山e时on色时a山色m口ma中考专项数学 参考答案 第三节解直角三角形 AC=AB+BC. 5年真题 AB+BC AB Lan∠APC ian∠APB 1.B2.B3.A4.B5.C .AB BC·tan∠APB 32×tan35" 6.解：(I)在Rt△DCE中，∠DCE=30,CD=6, an☑APC-tanZAP师-an2ian35≈ “DE=2CD=3.即DE的长为3m: 32×0.70 0.90-0.70 -112(m). (I)(1)在R△DCE中，cos∠DCE- EC 答：这座山AB的高度约为112m 8.解：如图，过点B作BH⊥CA,垂足C .EC=CD·cos∠DCE=6Xcos30°-33. 为H. 在Rt△BCA中.由tan∠BCA= 款AB=A,∠BCA=45 根据题意，∠BAC=60°，∠BCA=40°， 得CA--人 CA=257. :在Rt△BAH中，tan∠BAH= BH :.EA-CA+EC=h+3/3. A 即EA的长为(h十3√5)m: cos∠BAH=AH AB' (i)如图，过点D作DF⊥ ∴，BH=AH·1an60°=V3AH, AB,垂足为F 根据题意，∠AED=∠FAE= AB-AH 0s60 =2AH. ∠DFA=90, D271 BH ,'在R△BCH中，tan∠BCH 10 四边形DEAF是矩形. 45 CH 3AH ∴DF=EAh433,FA=DE=3. ·CH=BH tan 40 tan 40 可得BF=AB-FA=h-3. 义CA=CH+AH, 在R△DF中，iam∠BDF-,∠BDF=27 257=3AH 1an40 +AH.可得AH=257X1an40 3+tan40° .BF=DF·tan∠BDF.即h-3=(h+35)×1an27°. AB=2X257×an40°2×257×0.84 168(海里). :h=3+33X10m27≈3+3X1,7X0.5≈11(m. 3+tan 40" 1.73+0.84 1一tan27 1-0.5 答：AB的长约为168海里， 答：塔AB的高度约为11m 9.解：如图，过点A作AH⊥CB,垂足为点H. 7.解：根据题意，BC=32,∠APC-42°，∠APB=35°. 在Rt△PAC中，tan∠APC-AC PA' :.PA AC tan∠APC 58 在Rt△PAB中，an∠APB=AB PA 根据题意，∠ACB=45°，∠ABC=58°，BC=221. AB ∴PA-tan/APB' 中考专项数学 参考答案 在R△CAH中，tan∠ACH-T 厚 3 ·CH=AH tan 45 =AH. 5年模拟题 1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.B8.D :在R△BAH中，∠ABH-品 9.解：在R1△ABC中，，∠C=90°，AC=8,BC=6, sin∠ABH=AH 由勾股定理，得AB=√AC+BC-10, AB” tan 587AB=AH .BH=_AH 81n58a: 10.解：根据题意，∠BDC=35,∠AEC=45,DE=4,BC=16. 又BC=CH+BH, BC tan58.可得AH=221Xtan58 221=AH+,AH :在R△BDC中，tan∠BDC- 1+tan 58 ..DC= BC 221X1an58 221×1.60 AB-1+m8xn58≈a十.00X0.5160(m. tan 353. 答：AB的长约为160m :.EC-DC-DE- BC an35-4. 10.解：如图，根据题意，∠CAD=31°，∠CBD=45, 在R△ABC中，a∠ABC-瓷. ∠CDA=90°，AB=30. 六AC-EC·an45°-EC-,BC tan 354, ÷AB=AC-C8 -4-16≈2.9(m). 31°∠459 答：宜传牌AB的高度约为2.9m B 11.解：设DE=x,由题意得EG=DC=22,CG=DE-x 在△ACD中，im∠CAD-0, 在R△FDE中，m45票 ∴AD= CD .FE=DE·tan45”=x 1n31, :在R△BCD中，an∠CBD=BD, CD 在R△PCG中，tm64.5-密 ∴.FG=CG·tan64.5≈2.1x, .BD= CD tan 5=CD. FG=FE+EG. 又AD=AB十BD, .2.1x=x+22,解得x=20, :CD .FG=2.1x=42(米). tan 31-30+CD. 答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG约为42米 .CD- 30Xtan31°。30×0.60 12.解：过点A作AF⊥(CD于点E, 1-tan31下≈1-0.60 =45(m). 容：这座灯塔的高度CD约为45m. 知识回顾 ①互余@-半③号④斜边回号⑥号@号 7777777777 中考专项数学 参考答案 ∴∠AE(C=∠AED=90, 由题意可知∠ACD=60°，∠AD=37,CD=5.73. :在R△AED中，n∠ADC能， 75a D .DE= AE tan 373. 出题意，∠EA'A=30°，设AE=x, ·在R△AEC中，an∠ACD=AE, CE,sin∠ACD=A C 在Rt△A'EA中，A'E=√5x,A'A=2r CE-AE-AEAE. 在R1△A'BE中，∠3=90°-75°=15，且∠CBD=30°， tan 603 3 、AA至之三及 ∠3=∠CD,即AB是∠CBD的平分线， sin 60 2 且AE⊥DB,A'F⊥BC, CD=CE+DE=5.73. .A'F=A'E=V3x. 9A8+4e ∠1=60°-30°=30°， 1an37=5,73. ∴.在R1△A'CF中，A'C=2A'F=23x AE- 5.73 5.73 +1 .731=3 .AC=A'C+A'A=23x+2x=40√3，.x=30-103, 3 tan 37 30.75 .AA=2x=(60一20V3)海里， AB-AC+CD-2AE+CD3 答：此时渔船的航行距离为(60-203)海里. 答：木杆AB的长度约是9米 14.解：(I)山题意知，EM⊥AB于点M,设AB为x米. 13.解：(I)如图，过点C作CD⊥BA,交BA延长线于点D, 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴.BF=AB=x, ∴.BC=BF+C=x+25, 在R△AEM中，∠AEM=22,AM=AB-BM=AB-CE 758 x-2 “EM=BC=x+25,ian∠AEM=AM EM' 在R1△BCD中.∠CBD=90°-60=30°， 即T2 r+25 =tan22°， ∴CD-2BC-60, 解得x≈20（米）. 六在R△CDA中AC-S-05海里. 答：办公楼AB的高约为20米： 容：此时点A到港口C的距离为40√5海里： (I)在R△AME中，co2- (Ⅱ)如图，过点A'作AE⊥DB于点E,过点A作AF⊥ 由(1)可得EM=C=x+25≈20+25=45（米）. BC于点F, AE-EM 25g48米). 答：A,F之间的距离约为48米. 中考专项数学 参考答案 15,解：过点E作EG⊥AB于G,过点F作FH⊥AB于H, 在Rt△AED中，tan∠ADE-AE ED 60 45 .AE-ED·1an48 HP- ∴.EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48 ≈78×1.60-78×1.11≈38. 号楼 ',DC=EB≈38. 地面 答：甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC 则四边形ECBG,HBDF是矩形， 约为38m. ∴.EC=GB=20,HB-FD, B为CD的中点， .EG-CB=BD=HF. 由已知得：∠EAG-90°-60°-30° ∠HAF=90°-45°=45， 在R△AEG中，AG=AB-GB=50-20=30, ∴EG=AG.an30=30×5-105, 在R1△AHF中，AH=HF=105, .FD=1B=AB-AH=(50-103)米. 答：2号楼的高度为(50一105)米 16.解：如图，过点D作DE⊥AB, 48 垂足为E. 5只 则∠AED=∠BED=90. 由题意可知，BC=78,∠ADE 48,∠ACB=58°， ∠ABC=90°，∠DCB=90 可得四边形BCDE为矩形 ..ED=BC=78.DC=EB 在R△ABC中，an∠ACB=A5 BC ,.AB=BC·tan58≈78×1.60≈125.