14.第四章 第二节 全等三角形和相似三角形-【一飞冲天·中考专项】2024年精品试题分类数学（天津专版）

中考专项精品试题兮类 数学 -飞冲天 第二节 全等三角形和相似三角形 (近五年中考未单独考察) 知识回顾 一、全等三角形 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边① ;对应角② ;对应的中线、高、角平分线、中位线都相等; 周长相等:面积相等 3.三角形全等的判定 三角形全等的判定定理 (1)边边边定理:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). (2)边角边定理:两边和它们的③ 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或 “SAS”). (3)角边角定理:两角和它们的夹边分熟相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或 “ASA”). (4)角角边定理:两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “角角边”或“AAS”) (5)直角三角形全等的判定:④ 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成 “斜边、直角边”或“HL”). 二、比例 1.基本性质: (1)a:b-c:d-ad- (2):b-b:c一b2-ac. b 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC).并且使AC是AB和BC的比例中项,即AB:AC= 0.618AB. 一7冲天 第四章三角形 三、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截,所得的 成比例. 推论:1.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边. 2.平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 四、相似三角形 1.三角形相似的判定 (1)三角形相似的判定方法 ①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三 角形相似/ ③判定定理1:三边成比例的两个三角形相似 ④判定定理2:两边成比例且⑧ 相等的两个三角形相似. 判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似 (2)直角三角形相似的判定方法 ①如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 ②如果两个直角三角形满足一组锐角对应相等,或两组真角边对应成比例,那么这两个直角三角 形相似: 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于 (4)相似三角形面积的比等于 3.相似多边形 (1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边 形,相似多边形对应边的比叫做相似比。 (2)相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等,对应边 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比。 ③相似多边形面积的比等于相似比的平方, 4.位似图形 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位 似图形,这个点叫做位似中心。 性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的 都等于相似比. 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换,利用位似变换可以把一个图形放大或缩小 中考专项精品试题兮类 数学 一飞冲天 5.(2021·和平期末)如图,在 5年模拟题 Rt△ABC中,C-90{*},AB= 10.AC-8,点E是边AC上一 素养自测 点,AE-5,ED AB,垂足为点D,则AD的 1.(2021·河西期末)下列多边形一定相似的是 长是 ( _~ A.16 C.6 A.两个平行四边形 B.两个矩形 D.4 C.两个菱形 D.两个正方形 6.(2020·河北期末)如图,在平面直角坐标系 2.(2021·和乎期末)在如图所示的网格中,以点 中,点E(-4,2),F(-1,-1),以原点0为位 O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是 似中心,把△EFO缩小为△EFO,且 ( 7__ △EFO与△EFO的相似比为1:2,则点E 的对应点E的坐标为 ) A.(2,- B.(8,-4) C.②-1)或(-2,1) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR 7.2019·和平期末)如图,点P在△ABC的边 AC上,要判断△ABP△ACB,添加一个条 C.四边形NHMQ D.四边形HMR 3.(2020·南开期末)已知两个相似三角形的相 件,不正确的是 似比为2:3,较小三角形面积为12平方厘来, 那么较大三角形面积为 A.18平方厘米 B.8平方厘米 A. ABP-C D.平方厘米 BAPB- ABC C.27平方厘米 C.A#A D.BDCB ABAC 4.(2020·河西期末)如图,△ABC与△DEF是 位似图形,相似比为2:3.已知AB一3,则DE 8.(2023·红桥结课)如图,在△ABC中,DE/ 的长为 ( ) BC,AB=3AD,若Smlcro-16,则SAnc的 _ 大小等于 ) B. C将 C A.16 B.18 C.20 D. 24 一飞冲天 第四章 三角形 9.(2020·河西期末)如图所示, 素养提升 写出一个能判定△ABC( 14.(2022·河西结课)如图,将△ABC绕点A逆 △DAC的条件 时针旋转,旋转角为a(0{}<a 180}),得到 10.(2022·和平一模)如图,则x= △ADE,这时点B旋转后的对应点D恰好在 直线BC上,则下列结论不一定正确的是 60 11.(2021·和平期末)如图,在△ABC中,点D. E在AC边上,且AE=ED=DC.点F,M在 AB边上.且 FE/MD//BC,延长FD交BC A.ABC-ADB EF B. ACD- EAD C. EAC& D. ED→180*- 15.(2019·滨海一模)如图,点O是等边三角形 ABC内的一点, BOC=150{*},将△BCO绕 12.(2019·和平期末)如图,直线//,直 点C按顺时针旋转60{得到△ACD,则下列 结论不正确的是 ( 线AC分别交/,l。,1。于点A,B,C,直线DF ) 分别交/.,1.于点D.E,F,AC与DE相交 QTHE 值为 。# A.BO-AD B. DOC-60” C.OD1AD D.OD/AB 16.(2022·津南一模)如图,在钝角 13.(2022·河西结课)如图,在△ABC中,DE/ △ABC中,BAC=35*,将 BC分别交AB,AC于点D,E.若AD=3, △ABC绕点A顺时针旋转70 DB2.BC-6,则DE的长为 #7## 得到△ADE,点B,C的对应点 分别为D,E,连接BE.则下列结论一定正确 的是 ( ) A. ABC-/AED B. AC-DE C.AD+BE-AC D.AE平分BED 中考专项精品试题兮类 数学 一飞冲天 17.(2020·红桥期末)如图,D是△ABC的边 相交于点G.若AG:GD=4:1,BD:DC= BC上一点,AB=4,AD=2,DAC= B$$ 2.3,则EC:AE的值是 ) 若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为 ( ~ D.a 21.(2019·滨海二模)如图,在等腰直角△ABC 18.(2022·和平一模)如图,在△ABC中,点D 中,AC-BC. ACB=90*},点O在斜边AB$$$ 在BC边上,连接AD,点G在线段AD上, 上,且满足BO:OA-1:3,将△BOC绕C GE/BD.且交AB于点E,GF//AC,且交 点顺时针方向旋转到△AQC的位置,则 CD于点F,则下列结论一定正确的是 ~ AQC的大小为 ( A.100* B.105。 C/20” C D/35* DFDG B.DFAD A.AB_AG 22.(2019津南二模)如图,在Rt△ABC中, AEAD ABC=90,AB-BC-$2,将△ABC绕点$$$$$$ C.#GD FGEG DLE D# AECE C逆时针转60{,得到^MNC,则BM的长是 19.(2023·西青一模)如图,在△ABC中, CAB=20{*}, ABC=30{},将△ABC绕点$ A逆时针旋转60*得到ABC',点B,C的对 应点分别为B',C,连接CC交AB'于点E ( 下列结论一定正确的是 ) A.1 B.③ 7B D.1+3 23.(2021·津南一模)如图,在△ABC中,AB # AC,AD | BC,垂足为D.DE AB,垂足为 E,F是边AC的中点,连接DF.若AC=10. # A.CC'B'-70* B.C'A|AB DE一4,则BE的长为 C.BC'-B'E D.C'B'/AC 20.(2019·翔宇下学期期初)如图,在△ABC 中,D,E分别是BC,AC上的点,AD与BE 一7冲天 第四章三角形 24.(2021·河北期末)如图,在平面直角坐标系 26.(2019·河北结课)在△ABC中,E,F分别为 中,已知点A(8,0)和点B(0,6),点C是AB 线段AB,AC上的点(不与A,B,C重合) 的中点,点P在折线AOB上,直线CP截 △AOB所得的三角形与△AOB相似,那么 点P的坐标是 图1 图2 (I)如图1,若EF/BC, 25.(2020·河北期末)如图,在锐角三角形ABC (II)如图2,若EF不与BC平行,(I)中的 中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于 结论是否仍然成立?请说明理由 点G,AF1DE于点F,EAF-GAC. (I)求证:△ADEoABC: (I)若AF-3,AG-5,求△ADE与△ABC 的周长之比. # YTOTHETOP ##### ###天## 中考专项精品试题兮类 数学 -7冲天 27.(2022·红桥结课)如图,在△ABC中,D为28.(2020·河西期末)在同一平面内,将两个全 边AB上一点,ADC=ACB,若AD=2. 等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一 AC-3,BC-5,求BD,CD的长. 起,A为公共顶点, BAC= AGF-90{},若 △ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF, AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与 点B重合,点E不与点C重合) (I)求证:△ABE△DCA; (II)在旋转过程中,试判断等式BD4CE^{}= DE^{*}是否始终成立.若成立,请证明:若 不成立,请说明理由 #### #7### )THETOP ##### ###天##中考专项数学 参考答案 第二节全等三角形和相似三角形 如图，分别过点C,F作AB的垂线，垂足分别为M,N, :FNLAB,CM⊥AB, 知识回顾 .FN∥CM. ①相等©相等①夹角①斜边和一条直角边⑤6 .△AFN∽△ACM. @ ⑦对应线段⑧夹角⑨相似比⑩相似比的平方 器 ①成比例@距离之比 5年模拟题 吉AR,FN AE·FN_AE·AE 1.D2.A3.C4.B5.D6.C7.D8.B AB.CM AB·CMAB·AC 9AC=BCDC答案不唯)1号981.子2号 27.解：：∠ADC=∠ACB,∠DAC=∠CAB, ∴.△ADC△ACB, 13.8 14.B15.D16.D17.A18.D19.A20.A 提福-器 21.B22.D23.224.0,3或4,0)或（子0） 号品 25.解：(I)证明：：AG⊥BC,AF⊥DE .∠AGC=∠AFE=90°， AB=号，DC=号 ∠EAF=∠GAC, ÷BD=ABAD-号2- .∠AED=∠ACB, :BD的长为7CD的长为号 :∠EAD=∠CAB. ∴.△ADEo△ABC: 28.解：(I)证明：：∠BAE=∠BAD+45°， ∠CDA=∠BAD+45°， (Ⅱ)出(I)可得△ADE∽△ABC. ∴，∠BAE-∠CDA. AG⊥BC,AF⊥DE, :∠B=∠C=45, 六AADE与△ABC的周长之比为号-号 '.△ABE∽△DCA: 26.解：(I)证明：：EF∥BC, (Ⅱ)成立. ∴.△AEF∽△ABC 证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的 .AEAF 位置， ABAC' (： AB·AC (Ⅱ)若EF不与BC平行，(I)中的结论仍然成立 理由如下： 则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°，∠EAH=90. 中考专项数学 参考答案 则CE-HB.AE=AH,∠ABH=∠C=45°，∠EAH=90. 连接HD,在△EAD和△HAD中， AE-AH,∠HAD-∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD, .△EAD≌△HAD(SAS). DE=DH. :∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴.BD+HB=DH, 即BD+CE=DE.