1.4数学归纳法（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.4 数学归纳法 课程标准 学习目标 （1）了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 （1）了解数学归纳法的原理; （2） 会用数学归纳法证明等式； （3）会用数学归纳法证明不等式； （4）会用数学归纳法求数列通项公式. 知识点01 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 解析 1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2.第一步归纳奠基中的不一定是；第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项. 3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 4.要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【即学即练1】 用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 知识点02 数学归纳法的应用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 【即学即练2】用数学归纳法证明. 【题型一：对数学归纳法的理解】 例1． 用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（    ）项 A．7 B．6 C．5 D．4 变式1-1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 变式1-2．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 变式1-3．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【方法技巧与总结】 理解数学归纳法的解题步骤， 第一步归纳奠基中的不一定是，要根据命题确定成立的最小值； 第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项，可写成和时命题的形式，再看两者的区别. 【题型二：等式的证明】 例2．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 变式2-1．有下列命题：；使用数学归纳法证明 变式2-2．用数学归纳法证明：． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明等式成立，先确定等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定和时增加了什么项，接着可用到作差或者“凑项”的方法证明时命题成立。 【题型三：不等式的证明】 例3．用数学归纳法证明：． 变式3-1．设，，且，用数学归纳法证明：． 变式3-2．当时，求证：. 变式3-3．设，且，证明∶. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明不等式成立，先确定不等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定和时命题的形式，在证明时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法、放缩法. 【题型四：求数列通项公式】 例4．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 变式4-1．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 变式4-2．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 变式4-3．在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法求数列的通项公式，往往先根据题意进行猜想数列的通项公式，再进行证明。关键也是在第二步中，确定和时命题的形式，在证明时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法. 【题型五：其他应用】 例5．设，其中n为正整数． (1)求，，的值； (2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 变式5-1．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 变式5-2．数列满足：，，求证：． 变式5-3．已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义 ，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质： （i）若，则 （ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点． (1)若函数，求（写出结果即可） (2)证明：若，则． (3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算． 【方法技巧与总结】 1 涉及到与正整数有关的命题，可想到数学归纳法，比如整除问题，函数不等式等. 2 在求解或证明的过程中，严格遵循数学归纳法的两个步骤，要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 一、单选题 1．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 2.用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（    ） A． B． C． D． 4.现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 5.已知数列，，， ．对于任意的正整数n，不等式恒成立，则正数t的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 6.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 7.“”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（    ） A． B． C．对任意，都有 D．存在 8.黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 10.已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 11.已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 三、填空题 12．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． 13.用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 14.已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？ 16.证明：凸n边形的对角线的条数． 17.，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 18.设，对于,,，…，定义，求证：对于，有． 19．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数． …… (1)求第2行和第3行的通项公式和； (2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式； (3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 数学归纳法 课程标准 学习目标 （1）了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 （1）了解数学归纳法的原理; （2） 会用数学归纳法证明等式； （3）会用数学归纳法证明不等式； （4）会用数学归纳法求数列通项公式. 知识点01 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 解析 1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2.第一步归纳奠基中的不一定是；第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项. 3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 4.要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【即学即练1】 用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，对分别赋值和，比较左式即得. 【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为， 当时，等式为， 则左边增加的代数式是. 故选：A. 知识点02 数学归纳法的应用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 【即学即练2】用数学归纳法证明. 证明 当时，左边，右边，故等式成立； 假设时，等式成立，即； 当时，左边， 右边，左边右边，故等式成立. 综上，成立. 【题型一：对数学归纳法的理解】 例1． 用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（    ）项 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】分别写出与时相应的代数式，对比观察求解. 【详解】当时，则 当时，则 ∴从k到添加的项数共有5项 故选：C. 变式1-1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【分析】 利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 变式1-2．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 【答案】B 【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 变式1-3．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 理解数学归纳法的解题步骤， 第一步归纳奠基中的不一定是，要根据命题确定成立的最小值； 第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项，可写成和时命题的形式，再看两者的区别. 【题型二：等式的证明】 例2．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明见解析 【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可. 【详解】当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 变式2-1．有下列命题：；使用数学归纳法证明 【答案】证明见解析 【分析】 利用数学归纳法证明给定等式即可. 【详解】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，，即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 变式2-2．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】当时，验证等式成立；假设当时，等式成立，利用复数的运算以及两角和的正弦、余弦公式证明出当时，等式也成立，再由归纳原理可知，结论成立. 【详解】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明等式成立，先确定等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定和时增加了什么项，接着可用到作差或者“凑项”的方法证明时命题成立。 【题型三：不等式的证明】 例3．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则 ， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 变式3-1．设，，且，用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明方法证明即可． 【详解】当时，左边，右边， 因为，所以，故左边右边，原不等式成立； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，，， 在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综上，对一切正整数，不等式都成立． 变式3-2．当时，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法即可进行证明. 【详解】（1）当时，左边，右边，左边右边. （2）假设当时不等式成立， 即， 则当时，左边， 即当时，不等式也成立. 综上可知，对一切，且，不等式都成立. 变式3-3．设，且，证明∶. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明即可. 【详解】证明：①当时，， ∴成立. ②假设当时命题成立， 即当，且（，2，…，n）时， 均有. ③当时，对于， 若，则命题显然成立. 若存在，不妨设， 则在中必存在一个数小于1，不妨设这个数为， 从而，即. 把看作一个整体，有 . 故原命题对也成立. 综上可得，原命题成立. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明不等式成立，先确定不等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定和时命题的形式，在证明时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法、放缩法. 【题型四：求数列通项公式】 例4．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 【答案】(1)，，猜测，证明见解析 (2) 【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测并证明； （2）使用错位相减法即可. 【详解】（1），. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则，故结论对成立. 综上，有成立. （2）设数列的前项和为，则. 所以. 故. 变式4-1．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可. 【详解】由，可得． 由，可得． 同理可得，，． 归纳上述结果，猜想 下面用数学归纳法证明这个猜想． （1）当时，③式左边，右边，猜想成立． （2）假设当时，③式成立，即， 那么，即当时，猜想也成立． 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立． 变式4-2．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【分析】 （1）根据递推公式求，进而猜想通项公式； （2）利用数学归纳法证明，结合等差数列的定义和求和公式分析求解. 【详解】（1）因为数列满足，， 可得，， 由此可猜想. （2）证明：①当时，显然成立； ②假设当时，成立，即； 当时， ， 所以时也成立， 综合①②可得：. 因为， 可知数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 变式4-3．在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)，，，证明见解析 (2) 【分析】（1）代入计算即可得到，按照数学归纳法的步骤证明即可； （2），再利用错位相减法即可. 【详解】（1）∵， ∴ 因此可猜想: ； 当时，，等式成立， 假设时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，. （2）， ① ② 由①-②得： 【方法技巧与总结】 用数学归纳法求数列的通项公式，往往先根据题意进行猜想数列的通项公式，再进行证明。关键也是在第二步中，确定和时命题的形式，在证明时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法. 【题型五：其他应用】 例5．设，其中n为正整数． (1)求，，的值； (2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据，代入相应的值即可； （2）由（1）中，猜想：时，，再用数学归纳法证明：当是，猜想正确，假设当时，猜想正确，得出，再结合，得出，猜想成立，则由数学归纳法可知，猜想成立． 【详解】（1），，． （2）猜想：时，， 证明：①当时，成立， ②假设当时，猜想正确， 即， ∴， ， ， 即成立， 由①②可知，对于时，成立． 变式5-1．设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 变式5-2．数列满足：，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先用数学归纳法证明其加强命题，从而使原命题得证． 【详解】先用数学归纳法证明加强命题：对一切正整数n，有， 1°当时，显然成立． 2°假设时，有，则当时， 一方面，由基本不等式，有． 等号当且仅当时取得，因为，所以． 另一方面，， 当时，也成立， 因此，． 变式5-3．已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义 ，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质： （i）若，则 （ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点． (1)若函数，求（写出结果即可） (2)证明：若，则． (3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）由次迭代函数定义，即可得出. （2）利用数学归纳法证明. （3）利用的桥函数和相似函数，求的迭代可以转换为求的迭代；结合不动点的知识求函数的桥函数和相似函数，求的迭代可以转换为求的迭代. 【详解】（1）根据次迭代函数的定义，由，可得. （2）证明：因为，有，即， 有，即. 当时，，成立； 假设时成立，即，； 当时， ， 因此成立， 综上所述，若，则. （3）根据相似函数不动点也相似，桥函数选取时可令不动点为一解，当， 选取桥函数， ，， 易得， 由（2）可知，， 即有． 当，选取桥函数（不唯一）， ，．易得， 由（2）可知，. 【点睛】本题考查函数迭代的问题，求函数迭代可从以下方面入手： （1）简单函数的次迭代，一般先迭代几次，观察规律并猜测表达式，再利用数学归纳法证明. （2）当函数的迭代较复杂时，利用不动点有关的桥函数相似法.例如需要求已知函数的次迭代，只需要找出一个桥函数以及相似函数，其中确定和可从的不动点来考虑. 【方法技巧与总结】 1 涉及到与正整数有关的命题，可想到数学归纳法，比如整除问题，函数不等式等. 2 在求解或证明的过程中，严格遵循数学归纳法的两个步骤，要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 一、单选题 1．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 2.用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】显然当时，，而当时，，A不是； 当时，，B不是；当时，，C不是； 当时，，符合要求，D是． 故选：D 3.用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解. 【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除． 当时， 故选：A． 4.现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 5.已知数列，，， ．对于任意的正整数n，不等式恒成立，则正数t的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】数学归纳法证明 ，进而求证是递增数列，再由已知可得恒成立，即可求参数t的范围. 【详解】归纳法证明 ， 当时，成立，若时，成立， 则，则，而，所以， 综上， 恒成立， ，故 ， 所以数列是递增数列， 又，，则恒成立， 所以，故正数t的最大值为3. 故选：C 6.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 7.“”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（    ） A． B． C．对任意，都有 D．存在 【答案】C 【分析】根据递推关系可计算，，故可判断AB的正误，利用数学归纳法可证：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数，故可判断CD的正误. 【详解】因为，故，故， 而，故，故A错误. 但，故，此时，故B错误. 下面用数学归纳法证明：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数. 当时，，此时除3余1，除3余2， 且，为奇数，为偶数. 设当时，除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数. 则当时，为奇数，为偶数， 为奇数， 又与除3余数相同，故除3余1，故除3余2， 故除3余2， 由数学归纳法可得除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数. 故除3余1，除3余2，故除3余0，即， 故C正确. 由C的分析可得没有项使得，否则除以3的余数为0，故D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再 利用数学归纳法证明即可. 8.黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 若当时，成立， 则时， ，故C正确； 对于D，当时，， 若当时，成立， 则时，， 要使， 而，， 只需，只需，显然， 故只需， 当时，该式子为，显然成立， 若当时，有，     当时， ， 从而对任意正整数均有， 综上所述，，故D正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解. 二、多选题 9.对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 【答案】BD 【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可. 【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确. 故选：BD. 10.已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 【答案】ABD 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 11.已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 【答案】ABD 【分析】对于A：根据递推公式分析求解即可；对于B，根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于C，由结合分析判断；对于D，根据递推公式结合函数的单调性得出结果. 【详解】对于A，若，则，， 以此类推可知：，所以数列为常数列，故A正确； 对于B，若，，， 以此类推可知：， ， 则，即，故B正确； 对于C，由结合选项B得出， ，所以，故C错误； 对于D，若，； ， 假设 ， 构造函数，易知在上单调递增， 所以， 由以上归纳得出，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于D，根据递推关系假设 ，结合函数性质分析判断. 三、填空题 12．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． 【答案】当时，等式成立. 【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可得到答案. 【详解】根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为： 当时，等式成立， 故答案为：当时，等式成立. 13.用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 【答案】 【分析】由数学归纳法的定义，依次写出，时等号左边的情形，对比即可得解. 【详解】假设时成立，即， 当时，等号左边为， 对比可知，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式. 故答案为：. 14.已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③． 【详解】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 四、解答题 15．数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】记是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真． 结论：为真． 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真． 完成这两步，就有真，真……真，真……．从而完成证明． 16.证明：凸n边形的对角线的条数． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明即可. 【详解】证明：①当时，，四边形有两条对角线，命题成立； ②假设当，时，命题成立，即凸边形的对角线的条数， 当时，凸边形是在边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原边形的一边，增加的对角线条数为， . 故时，命题也成立. 由①、②可知，对任意，命题成立. 17.，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【分析】求出，，用归纳法证明，从而求出. 【详解】因为，， 所以， 同理， 猜想： ， ①当时，成立； ②假设时成立，即 ， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 18.设，对于,,，…，定义，求证：对于，有． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】由及可得，， 因而，． 即时不等式成立． 设，则由已知的递推式得， . 假设，我们证明． ， 因为，所以，从而， 于是，． 即命题对n+1成立． 由此，对所有的自然数命题成立，即对均有． 19．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数． …… (1)求第2行和第3行的通项公式和； (2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式； (3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有． 【答案】(1)，，，…，，，，，…， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据三角形数表的特点，求出，再求出； （2）利用数学归纳法进行证明即可，并得到数列是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式； （3）在（2）的基础上得到和，根据通项公式特征，令，并用裂项相消法求和得到，并求出当时，满足于任意的，均存在实数，当时，都有. 【详解】（1），； ，． （2）当时，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列，满足要求， 假设当时成立，即第行为公差为的等差数列， 则当时， ， 故第行的数也依次成等差数列，公差为， 综上，数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列． 由于，，， 所以，， ， 由于，故，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． （3）， 故， 令，则， 故 ， ， 因为，所以， 故， 令，则当时，都有， 综上，为满足要求的等比数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$