精品解析：山东省德州市夏津县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年第二学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 为提高同学们的安全意识，倡导安全文明风尚，夏津县某中学走廊张贴了部分安全提示标志．下列安全提示标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，4，8 5. 下列四边形中不一定为菱形的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形 B. 每条对角线平分一组对角的四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 6. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 7. 把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　） A. y＝﹣2x+4 B. y＝﹣2x+8 C. y＝﹣2x﹣4 D. y＝﹣2x﹣8 8. 如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 11. 已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（ ） A. 若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B. 若，则一次函数图象上任意两点和满足： C. 若一次函数的图象不经过第四象限，则 D. 若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 12. 如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤ ．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 根据图象，不等式kx＞﹣x＋3的解集是_____． 14. 若都是实数，且，的值为______． 15. 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________. 16. 如图，四边形中，，取中点O，中点E，连接、，若，则______． 17. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上． （1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（）的条件下，直接写出的长度． 21. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c （1）以上成绩统计分析表中，______，______，______； （2）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生； （3）从平均数和方差看，若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积． 23. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 24. 为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　 　辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 25. 问题情境 在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形AEFG中，点在一条直线上，连接（如图1）． （1）操作发现 图1中线段和的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）在图1的基础上，将正方形绕着点沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由． （3）类比探究 如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，，则．请利用这一数量关系解决： 若，知形在顺时针旋转过程中，当点在同一直线时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 为提高同学们的安全意识，倡导安全文明风尚，夏津县某中学走廊张贴了部分安全提示标志．下列安全提示标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误； C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误； D是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故选：B． 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，4，8 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．， 以3，，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．， 以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．， 以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5. 下列四边形中不一定为菱形的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形 B. 每条对角线平分一组对角的四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法逐项排除即可，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】、对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形，此选项不符合题意； 、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 即对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意； 、如图， ∵和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 即用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形，此选项不符合题意； 故选：． 6. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案． 【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8； 从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8； 从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 综上，中位数和众数都没有改变， 故选：D． 【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 7. 把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　） A. y＝﹣2x+4 B. y＝﹣2x+8 C. y＝﹣2x﹣4 D. y＝﹣2x﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可． 【详解】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的， ∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变） ∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）① 把点（m，n）代入①并整理，得 y＝﹣2x+（2m+n）② ∵2m+n＝8③ 把③代入②，解得y＝﹣2x+8， 即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8． 故选B． 【点睛】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，斜率不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程（点斜式、斜截式、两点式等）来解答． 8. 如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图作已知角的角平分线，平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着证明，然后利用勾股定理计算． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 10. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，，得到，进而得到，由三角形内角和定理，得出，即可得到的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， , 故选：C． 11. 已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（ ） A. 若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B. 若，则一次函数图象上任意两点和满足： C. 若一次函数的图象不经过第四象限，则 D. 若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 12. 如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤ ．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据角的和差关系求得；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；求出，由即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，，，， ∴， 又∵， ∴（HL），故①正确； ∴，， 又∵， ∴，故②正确 设，则，， ∵G是的中点， ∴， ∴， 在直角中，根据勾股定理，得： ， 解得：， ∴，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴，故⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 根据图象，不等式kx＞﹣x＋3的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2）， 所以关于x的一元一次不等式kx﹣x＋3的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键． 14. 若都是实数，且，的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得：， ， 故答案为：． 15. 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________. 【答案】南偏东30° 【解析】 【分析】直接得出AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案. 【详解】如图， 由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile， ∵122+162=202， ∴△APB是直角三角形， ∴∠APB=90°， ∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行， ∴∠BPQ=30°， ∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行； 故答案为南偏东30°. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键． 16. 如图，四边形中，，取中点O，中点E，连接、，若，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形中位线定理，根据点是中点，，则，所以，由三角形外角性质可得，又为的中点，点是中点，则为中位线，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ∴， 在中， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，零指数幂的运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减，即得答案； （2）先计算完全平方公式，零指数幂和二次根式的化简，再进行二次根式的加减运算，即得答案． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上． （1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度）； （2）画图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据图形的位置可得变换过程； （2）根据旋转的性质画出图形； （3）由网格和勾股定理即可求解； 本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，正确理解几何变换是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据图中可知：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度； 【小问2详解】 如图， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图， ∴． 21. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c （1）以上成绩统计分析表中，______，______，______； （2）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生； （3）从平均数和方差看，若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6；7；7 （2）甲 （3）乙， 理由如下：． 因为甲、乙两组学生成绩的平均数相等，且，所以乙组的成绩比较稳定，故选择乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，熟练掌握公式和定义，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的定义解答即可； （2）根据中位数，比较解答即可； （3）计算乙的方差，比较大小后作出决策即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 7出现次数最多4次，故众数， 故答案为：6；7；7． 【小问2详解】 解：根据题意。甲组的中位数是6，乙组的中位数是7，由于“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”，即大于中位数，故是甲组的学生， 故答案为：甲组． 【小问3详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式：（1）根据函数图像上点的坐标特征求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 点在直线， ， 点的坐标为， 的长为， ， 设直线的解析式为， 把坐标代入得： 直线的解析式为； 【小问2详解】 直线的解析式为 点坐标为， 点的坐标为， 23. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 24. 为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　 　辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【解析】 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数=总人数÷35，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】解：（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键. 25. 问题情境 在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形AEFG中，点在一条直线上，连接（如图1）． （1）操作发现 图1中线段和的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）在图1的基础上，将正方形绕着点沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由． （3）类比探究 如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，，则．请利用这一数量关系解决： 若，知形在顺时针旋转过程中，当点在同一直线时，请求出的值． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，证明得出，，求出，即可证明结论； （2）延长交于点，交于点，证明，得出，，求出，即可证明结论； （3）分两种情况讨论：当在线段上时，当在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理，求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图所示， 四边形和都是正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）成立，理由如下： 延长交于点，交于点，如图所示： 四边形和都是正方形， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：，； （3）当在线段上时，如图所示， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在线段上时，如图所示， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $