专题04 圆的重难点题型汇编(十二大题型）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题04 圆的重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等．根据题意设弓臂所在圆的半径为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点， ∴，， 设弓臂所在圆的半径为， ∵D、C两点之间的距离为， ∴， ∴在中：，解得：， ∴弓臂所在圆的半径为， 故选：B． 2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，过点作，交于点，交于点，交于点，易得四边形、四边形均为矩形，由垂径定理可得，在中，由勾股定理可解得的长度，进而可计算的长度，然后计算圆盘离桌面最近的距离即可． 【详解】解：连接、，过点作，交于点，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即圆盘离桌面最近的距离是． 故选：C． 3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高度是．那么水面宽度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由勾股定理求出，再利用垂径定理即可求解，利用勾股定理求出是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水平面上方，且圆被水面截得的弦长为米、圆半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的应用，连接，交于，连接，根据垂径定理得到米，根据勾股定理求得，再利用线段和差即可求解，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】如图，连接，交于，连接， ∵点为运行轨道的最低点， ∴， ∴（米）， 在中， （米）， ∴点到弦所在直线的距离（米）， 故选：． 5．如图，为的弦，半径于点，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理，设，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 设， 由勾股定理得， 即， 解得： ∴ 故选：A． 6．如图，为的弦，，于点D，交于点C，且，则的半径为（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，根据垂径定理求出，设的半径为x，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接， ，， ， 设的半径为x，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 的半径为． 故选A． 7．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故选：C． 8．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸． 【答案】 【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，，为的半径， ∴， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴直径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 9．如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，经测量，，，则此车轮半径为 ．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 【答案】75 【分析】由垂径定理得，利用勾股定理得，解得． 【详解】解：，， ， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即车轮半径为． 故答案为：75． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 10．“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为8米，净高为8米，求此隧道单心圆的半径． 【答案】半径的长度是5米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，根据垂径定理，平分，则，在中，有，进而可求得半径． 【详解】解：为高， ∴根据垂径定理：平分， 又∵路面宽为8米， 则有：米． 设圆的半径是x米，则， 在中，有， 即：， 解得：， 即此隧道单心圆的半径的长度是5米． 11．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 12．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴, ∴点在圆外， 故选：． 13．在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，点和圆的位置关系，先由勾股定理求得，得到，即可求解，掌握点和圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点在内， 故选：． 14．在正方形中，以点为圆心，长为半径作，下列说法错误的是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆上 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论． 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ， 点在外，点在圆上，点在圆上，点在圆内， 故选：D． 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 15．平面直角坐标系中，M点坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（   ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相离，与y轴相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，根据点坐标为，求得点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据点与圆的位置关系即可得到结论，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】∵点坐标为， ∴点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∵的半径为2， ∴圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径， 故与x轴相离，与y轴相切， 故选：D． 16．的半径是，圆心到直线的距离为，直线与的公共点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，比较大小即可得到答案，熟记直线与圆的位置关系的判定，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： 的半径是，圆心到直线的距离为， ，即直线与相离，公共点个数是0， 故选：A． 17．以点为圆心画，若的半径，则与轴的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于圆心到直线的距离，则直线与圆的位置关系是相离． 【详解】解：∵圆心到轴的距离为，的半径， ∴， ∴与轴的位置关系是相离， 故选A 18．如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 19．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为， 故选：B． 20．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线 的距离 ，则直线与的位置关系是(     ) A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】解：， ，， 的半径为一元二次方程的根， 或， ， 当时，， 直线与的位置关系是相切， 当时，， 直线与的位置关系是相交， 故选：D． 【题型04：切线判定与性质综合】 21．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22．如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 23．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明切线连半径是常作的辅助线； （1）连接，由等腰三角形的性质及互余关系即可得，即，即可得证； （2）设的半径，则可得的长度，从而得的长度，在中，由勾股定理建立方程即可求得r． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 224．如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为3，若，求线段． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可； （2）过作于，得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，则， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 25．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接．由可得，从而得出，再证明，再证得，最后可得结论； （2）设的半径长为．在中，可得，再列方程．求解可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． ． ， ， ， ． 为的半径， 是的切线． （2）设的半径长为． 在中，． ， 即． 解得，即的半径长为5． 26．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)与相切，证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可． （1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切； （2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下： 连接， ， ； ， ， ， ∴； ， ， 与相切． （2）连接，； ，是的切线， ，， 又， 四边形为矩形， ； 在中，， ， ，， ． 答：长度为． 27．如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，由等边对等角可得，，即，，则，进而结论得证； （2）如图2，连接，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵以为直径的与相切于点E， ∴，为半径， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判定与性质．熟练掌握切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判定与性质是解题的关键． 28．如图，在中，，是的中点，以为直径作，交边于点，连接，． (1)求证；是的切线； (2)若是的切线，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键． （1）要证明是的切线，只要证明即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质求得的长，再求的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明： ，是的中点， ， 又 是直径， 是的切线； （2）连接， 点是的中点，，， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， 在中，由勾股定理，得， ． 【题型05 ：圆周角定理】 29．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 30．如图，是的直径，是弦，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据直径所对的圆周角是直角知，由直角三角形两锐角互余得的度数，再根据圆周角定理即可得解．理解和掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧是， ∴． 故选：B． 31．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 32．如图，是的直径，弦，连接，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求一个角的余角等知识，由直径所对的圆周角等于得出，求出的度数，再结合已知条件可求出，最后根据圆周角定理得出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 设交与点E， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 33．如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于度，求出，从而由圆周角定理得，最后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 34．如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角求出，然后根据圆周角定理的推论得，再依据含角的直角三角形的性质求出长，最后根据勾股定理求长即可． 【详解】解： 为直径， ， 和是同弧所对的圆周角， ， ， ， ． 故选：D． 【题型06：圆内接四边形】 35．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 36．如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 37．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 38．如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选A． 【题型07：三角形的内切圆】 39．如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图，      在中，， 根据勾股定理. 四边形中，，， ∴四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，； ∴； ∴． 故选：C． 40．如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】连接、、，根据切线长定理可得，、，，可得四边形为正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】连接、、， 根据切线长定理可得，、，， 又∵， ∴四边形为正方形，即， 在中，， ∵，， ∴，，， ∴ 解得，（舍去） ∴的半径为1， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键． 41．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 42．如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可． 【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，， ∵， ∴四边形为正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的内切圆O相切， ∴， ∴的周长是， ∴， ∵的面积， ∴； 故答案为：13． 【题型08：三角形的外接圆】 43．如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接，证明是等边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 点为等边的内心， ， ， 等边三角形的内心与外接圆的圆心重合， 点为的外接圆的圆心， ， 是等边三角形， ， 故选A． 44．如图，在，，于点D． (1)求证： (2)作的外接圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (3)过D作，垂足为E．求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在与中，利用即可得证； （2）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （3）连接，证明即可． 【详解】（1）在与中， ∵ ∴ （2）作任意一边的垂直平分线确定圆心O． 画出圆形． （3）解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、尺规作图——三角形的外接圆、切线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，掌握切线的判定方法． 45．如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质得到，进一步证明，得到，利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：证明：连接，如图，   ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）连接，，交于点，如图，    由（1）知：， ， 四边形为平行四边形， ，． ， ． ． 设半径的长为，则， ， ， 解得：． 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 46．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质结合圆周角的性质得到，进而得到，推出，即可证明结论； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线      是的直径      ，              ， ； （2）解：设的半径为r， 在中， ，          解得 的半径为2． 【点睛】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 47．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 48．一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（   ） A．3 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，易得为等边三角形，利用三线合一和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的中心是O，一边是，过O作与G， 则：，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴，即边心距是； 故选C． 49．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接． 点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为： 50．如图，六边形是圆O的内接正六边形，设四边形 的面积为，的面积为 ， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形、全等三角形的判定，等边三角形的判定等知识．连接，，，，证明，得到，证明，得到，即可得到，，即可求出． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵六边形是圆O的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 故答案为： 51．如图所示，在圆内接正六边形中，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的内接多边形的性质、垂径定理、勾股定理、扇形的面积等知识点，发现成为解题的关键． 如图：连接,交于G，由圆的内接四边形的性质可得,；然后再证是等边三角形，进而得到、，再运用勾股定理可得，即，再证明可得，结合图形可得，最后运用扇形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图：连接,交于G， ∵在圆内接正六边形中， ∴,, ∴是等边三角形，, ∴ , ∴, 在中，即：，解得：, ∴ ∵, ∴, ∴, ∴． 故答案为：． 52．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的内角和为 ． 【答案】/1440度 【分析】此题主要考查正多边形的性质，多边形内角和，连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解正多边形的边数，再结合多边形内角和公式即可求解．解题的关键是熟知圆周角定理． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 则这个正多边形的内角和为， 故答案为：． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 53．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 54．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 55．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 56．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键． 【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 57．将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 58．某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ． 【答案】/96度 【分析】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长． 根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， ， 解得， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 59．如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 60．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得， 解得： 故答案为：． 61．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 62．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 63．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 64．如图，如图，为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积． 连接、、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算扇形面积就可． 【详解】解：连接、、． ∵为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴和等底等高， ， ∵点为半圆的三等分点， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 65．在等腰直角中，已知．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，扇形面积，阴影面积，熟练掌握分割计算是解题的关键．阴影面积等于计算即可． 【详解】根据题意，得阴影面积等于，， 则， 故 ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（    ）    A． B． C． D． 2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高度是．那么水面宽度是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水平面上方，且圆被水面截得的弦长为米、圆半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，为的弦，半径于点，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，为的弦，，于点D，交于点C，且，则的半径为（    ） A． B． C．7 D．8 7．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 8．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸． 9．如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，经测量，，，则此车轮半径为 ．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 10．“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为8米，净高为8米，求此隧道单心圆的半径． 11．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 12．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 13．在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 14．在正方形中，以点为圆心，长为半径作，下列说法错误的是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆上 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 15．平面直角坐标系中，M点坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（   ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相离，与y轴相切 16．的半径是，圆心到直线的距离为，直线与的公共点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 17．以点为圆心画，若的半径，则与轴的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 18．如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 19．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 20．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线 的距离 ，则直线与的位置关系是(     ) A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切 【题型04：切线判定与性质综合】 21．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 22．如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 23．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 24．如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为3，若，求线段． 25．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 26．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 27．如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 28．如图，在中，，是的中点，以为直径作，交边于点，连接，． (1)求证；是的切线； (2)若是的切线，，求的长． 【题型05 ：圆周角定理】 29．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 30．如图，是的直径，是弦，，则（    ） A． B． C． D． 31．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 32．如图，是的直径，弦，连接，，，若，则（    ） A． B． C． D． 33．如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【题型06：圆内接四边形】 35．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 36．如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 37．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 38．如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型07：三角形的内切圆】 39．如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 40．如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 41．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 42．如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【题型08：三角形的外接圆】 43．如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在，，于点D． (1)求证： (2)作的外接圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (3)过D作，垂足为E．求证：为的切线． 45．如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 46．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 47．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 48．一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（   ） A．3 B． C． D．12 49．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为 ． 50．如图，六边形是圆O的内接正六边形，设四边形 的面积为，的面积为 ， 则 ． 51．如图所示，在圆内接正六边形中，，则阴影部分的面积为 ． 52．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的内角和为 ． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 53．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 54．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 55．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 56．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 57．将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 58．某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ． 59．如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是    60．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 61．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 62．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 63．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 64．如图，如图，为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 ． 65．在等腰直角中，已知．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$