2.3 有理数的乘方（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

2.3有理数的乘方 【考点1 有理数幂的概念理解】 【考点2 有理数的乘方运算】 【考点3 有理数四则混合运算】 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【考点5 算“24”点】 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【考点7科学记数法】 【考点8近似数】 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 知识点1：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点2：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点1 有理数幂的概念理解】 【典例1】在中底数是 ，指数是 ． 【变式1-1】在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【变式1-2】表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【变式1-3】算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【考点2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算的结果是 ． 【变式2-1】的值是（　　） A． B．3 C．9 D． 【变式2-2】下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】下列各对数中，相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点3 有理数四则混合运算】 【典例3】计算： (1) (2) 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算 (1) (2) 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【变式4-1】小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【变式4-2】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【考点5 算“24”点】 【典例5】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【变式5-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【变式5-2】“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【典礼6】计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算： 【变式6-3】计算：． 知识点3：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点7科学记数法】 【典例7】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】据中国铁路昆明局集团有限公司消息，截至2023年12月26日，丽香铁路开通运营满一个月，累计发送旅客超180000人次．数据180000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【考点8近似数】 【典例8】近似数是精确到（    ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【变式8-1】将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为 . 【变式8-2】用四舍五入法把精确到为 ． 【变式8-3】用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 人数（单位：万人） (1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？ (2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？ 【变式9-1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 6 2 进出次数 3 1 3 3 2 (1)请计算这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加了或减少了多少？ (2)根据实际情况，现有两种运费方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【变式9-2】某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.2 (1)第10次射击成绩的相对环数应记为____环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第____次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 【变式9-3】风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 一、单选题 1．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 2．将精确到千位并用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A．7 B． C．3 D． 4．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（   ） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 5．国庆假期，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：、0、、、，则这5天他共背诵汉语成语（　　） A．38个 B．36个 C．34个 D．30个 6．下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ） A． B． C． D．1 7．10位同学间相互通电话，如果每两位同学之间都要通一次电话，一共要通（　　）次． A．5 B．10 C．45 D．55 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．39 B．63 C．165 D．179 9．用用“※”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定※．如1※，则※2的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 10．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 11．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0即可．如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为；37可以写为二进制数字100101，因为，则十进制数字70是二进制下的（    ） A．7位数 B．6位数 C．5位数 D．4位数 二、填空题 12．已知与互为相反数，那么 ． 13．精确到 位，有 个有效数字． 14． ． 15．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 16．如图，在宽为m，长为m的矩形地面上修建两条宽都是1m的道路，余下部分种植花草．那么，种植花草的面积为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以50元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示， 售出数量（件） 7 6 3 5 4 5 售价（元） 0 问：该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 20．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3有理数的乘方 【考点1 有理数幂的概念理解】 【考点2 有理数的乘方运算】 【考点3 有理数四则混合运算】 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【考点5 算“24”点】 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【考点7科学记数法】 【考点8近似数】 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 知识点1：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点2：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点1 有理数幂的概念理解】 【典例1】在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 【变式1-1】在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 【详解】在中，底数是，指数是，幂是． 故答案为：；； 【变式1-2】表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 【变式1-3】算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法及乘方运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据有理数的加法及乘方可进行求解． 【详解】解：由题意得； 故选C． 【考点2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2-1】的值是（　　） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的计算，有理数的乘方运算，注意符号是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式2-2】下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可． 【详解】解：A、，，是相反数，故A符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，不是相反数，故C不符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】下列各对数中，相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的计算，大小比较，根据乘方的意义，计算，比较大小即可． 【详解】A. ，，不相等，不符合题意；     B. ，，不相等，不符合题意；     C. ，，不相等，不符合题意；     D. ，，相等，符合题意； 故选D． 【考点3 有理数四则混合运算】 【典例3】计算： (1) (2) 【答案】(1)21 (2)-19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先去括号，再按照混合运算法则进行计算即可； （2）先算出乘方，再去括号，最后进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先进行括号里面的运算，再根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）先算乘方，再算乘法，最后相加减即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ， ． 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数计算．根据题意代入数值按照程序图计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴，，故继续计算， ，，故输出， 故答案为：． 【变式4-1】小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把5代入计算程序中，根据图中流程列出式子，计算，即可确定输出的数，解题关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】解：把5代入计算程序中得： ， ， 输出的数是6， 故答案为：6． 【变式4-2】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环， ， ∴第2023次为第1010组第二个， ∴第2023次输出的结果为3， 故答案为：3． 【考点5 算“24”点】 【典例5】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【变式5-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则列式即可． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【典礼6】计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算： 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和乘除，然后计算加减． 【详解】 ． 【变式6-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 知识点3：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点7科学记数法】 【典例7】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的方法是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，原数，原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式7-1】据中国铁路昆明局集团有限公司消息，截至2023年12月26日，丽香铁路开通运营满一个月，累计发送旅客超180000人次．数据180000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【变式7-2】我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 【变式7-3】新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：万=． 故答案为：． 【考点8近似数】 【典例8】近似数是精确到（    ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，解题关键是将科学记数法表示的近似数还原成数字形式．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，将科学记数法表示的近似数还原成数字形式，再确定精确到哪位即可． 【详解】解：，最后一位有效数字0在55000中处于百位， 所以，近似数是精确到百位． 故选：C． 【变式8-1】将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题考查科学记数法与有效数字．关键是掌握用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 用科学记数法（，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中从左边第一个不为零的数字开始就是有效数字，由此即可得到答案． 【详解】． 故答案为：． 【变式8-2】用四舍五入法把精确到为 ． 【答案】 【分析】此题考查近似数和有效数字，把万分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到为； 故答案为：． 【变式8-3】用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为． 故答案为：． 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 人数（单位：万人） (1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？ (2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？ 【答案】(1)客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三 (2)5500万元 【分析】（1）以前一周日为标准，根据本周5个工作日每天比前一天客流量增减数量，求出每天的游客量，比较5天的游客量，即得； （2）根据22与5的积加上5天中每天游客增减的总和，得到5天的游客总数，根据游客每人每天平均消费100元乘以5天的游客总数，得到这5天的游客消费总额． 【详解】（1）以前一周日的游客量为标准，本周5个工作日每天的游客量（万人）： 周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ∵， ∴客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三； （2）本周5天工作日游客总量， （万人）， 这5天的游客消费总额为，（万元）， 答：这5天的游客消费总额为5500万元． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解决问题的关键是熟练掌握题意列出算式，有理数的加法法则和乘法法则． 【变式9-1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 6 2 进出次数 3 1 3 3 2 (1)请计算这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加了或减少了多少？ (2)根据实际情况，现有两种运费方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)比原来减少了，减少了7吨 (2)选择方案二比较合适 【分析】（1）根据表格中的数据列出算式，计算即可； （2）表示出两种方案中的费用，比较即可． 【详解】（1）根据题意，得：（吨）． 答：这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了7吨； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）． ∵， ∴选择方案二比较合适． 【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，准确计算是解题的关键． 【变式9-2】某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.2 (1)第10次射击成绩的相对环数应记为____环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第____次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 【答案】(1) (2)③ (3)10.02环 【分析】（1）计算即可得出答案； （2）这10次射击中，相对环数的绝对值最大的那一次与10环偏差最大； （3）求出10次射击的总成绩，即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴第10次射击成绩的相对环数应记为环， 故答案为：； （2）解：根据表中的数据可知，， ， ， ， ， ， ∵， ∴这10次射击中，与10环偏差最大的是第③次射击， 故答案为：③； （3）解：∵（环）， ∴（环）， ∴这10次射击的平均成绩是10.02环． 【点睛】本题主要考查正负数的概念，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握正负数表示的实际意义． 【变式9-3】风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； (2)该厂工人这一周的工资总额是14505元． 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：（只， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （2）解：（元， 答：该厂工人这一周的工资总额是14505元． 一、单选题 1．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 2．将精确到千位并用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法和近似数，先用科学记数法表示，再根据精确度四舍五入即可． 【详解】解：∵用科学记数法表示为， ∴精确到千位为， 故选：B 3．（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方的定义及计算方法是求解的关键．这里先计算出乘方，根据负数的偶数次方为正、奇数次方为负，去括号求解即可. 【详解】解：， 故选：C． 4．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（   ） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， （元）， 故选：C． 5．国庆假期，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：、0、、、，则这5天他共背诵汉语成语（　　） A．38个 B．36个 C．34个 D．30个 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数．根据总成语数天数据记录结果的和，即可求解． 【详解】解： （个， 这5天他共背诵汉语成语38个， 故选：A． 6．下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数混合运算与程序图，掌握有理数的混合运算法则即可求解． 根据程序图，把输入的x得到的结果和2做比较后再进行操作，算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴输出的的值为：， 故选：B． 7．10位同学间相互通电话，如果每两位同学之间都要通一次电话，一共要通（　　）次． A．5 B．10 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，能够理解题意，读懂题意是解题的关键．根据题意可知两位同学通电话，不论是甲打给乙，还是乙打给甲，只能算一种情况，再根据题意列出式子进行计算即可． 【详解】解：两位同学通电话，不论是甲打给乙，还是乙打给甲，只算一种情况， 根据题意可得（种）情况． 故选：C． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．39 B．63 C．165 D．179 【答案】C 【分析】本题考查了根据图中的数学列式计算，掌握类比的方法列式计算是关键．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：百位上的数+十位上的数+个位上的数，再列式计算即可． 【详解】解：（天）， 故选：C． 9．用用“※”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定※．如1※，则※2的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出※2的值． 【详解】解：根据新定义得： ※2 ， 故选：A 10．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】解决本题关键是理解三家商店不同的优惠政策，分别找出求现价的方法，求出现价，再比较．甲店打七五折：是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价9元乘求出每瓶的现价，再乘瓶，即可求出在甲店需要的钱数； 乙店“满三送一”：是指买4瓶饮料只需要付3瓶的钱，先用瓶除以4，求出里面最多有几个4瓶，还余几瓶，从而求出需要付钱的瓶数，再乘9元，即可求出在乙店需要的钱数； 丙店“每满元减元”：是指每元可以减免元，先用瓶乘9元，求出原价一共是多少钱，再除以，求出总钱数里面有多少个元，就是可以减免多少个元，再用乘法求出可以减免的钱数，然后用原总价减去可以减免的钱数，从而求出丙店需要的钱数，再比较即可求解． 【详解】解：甲店： （元） 乙店： （元） 丙店： （元） （元） 答：在甲店购买更省钱． 故选：A． 11．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0即可．如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为；37可以写为二进制数字100101，因为，则十进制数字70是二进制下的（    ） A．7位数 B．6位数 C．5位数 D．4位数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：A． 二、填空题 12．已知与互为相反数，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及相反数的定义，乘方运算，先根据相反数的定义进行列式，再计算，然后代入，即可作答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 则， 故答案为：9． 13．精确到 位，有 个有效数字． 【答案】 万 四 【分析】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此作答即可． 【详解】， 从左往右数，第一个数字0在万位上， 即近似数精确到万位， 有效数字是3，2，8，0四个， 故答案为：万，四． 14． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，先算括号里面的加法和减法，发现得出来的分数正好可以约分．在分数的巧算中，乘除法最主要的简便运算就是能约分． 【详解】解： ． 15．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算， 根据计算和为24选择合适的运算符号和括号计算得出算式即可． 【详解】解：根据计算和为24可列算式：． 故答案为：． 16．如图，在宽为m，长为m的矩形地面上修建两条宽都是1m的道路，余下部分种植花草．那么，种植花草的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的运算在图形面积中的应用，注意计算的准确性． 【详解】解：由图可知：种植花草的面积为： 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）原式先同分母分数相加减，再通分计算加减运算即可求出值； （2）原式利用乘法分配律计算即可求值； （3）原式先计算乘方和括号内运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可求出值； （4）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值； 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 19．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以50元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示， 售出数量（件） 7 6 3 5 4 5 售价（元） 0 问：该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 【答案】元 【分析】此题主要考查了正数和负数，有理数加减乘除混合运算，以及单价、总价、数量的关系，要熟练掌握．首先根据总价＝单价×数量，求出30件连衣裙一共卖了多少钱；然后用它减去30件连衣裙的进价，求出赚了多少钱即可． 【详解】解： （元） 答：该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了元． 20．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)前三天共生产15300个口罩 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个 (3)本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用． （1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解； （2）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个）． 故前三天共生产15300个口罩； （2）解：（个）． 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个； （3）解：（个）， （元）． 故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$