1.2 绝对值和相反数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

1.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简 ． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 知识点2:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 一、单选题 1．2024的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和1 B．和2 C．2和 D．和2024 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）． A． B． C． D． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法：①如果，那么a为负数；②如果，那么；③如果，那么；④如果a是负数，那么是正数．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法中，正确的是（       ） A．整数包括正整数和负整数 B．绝对值等于它本身的数一定是0 C．具有相反意义的两个数互为相反数 D．任何有理数都有相反数 7．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 8．已知的相反数是2，的绝对值是3，则的值是（    ） A．5 B． C．5和 D．或 二、填空题 9．若与互为相反数，则的值为 ． 10．已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 11．定义运算，如．若，且，则的值为 ． 三、解答题 12．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 13．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是；直接写出最终结果) (2)写出使得成立的所有整数______； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． 15．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 16．出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“绝对值相同、符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据定义计算判断即可．本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义．根据题意逐一对选项分析再利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数， ∴A选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴B选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴D选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴C选项符合相反数定义，故互为相反数， 故选：C． 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多重符号化简的法则，逐一计算即可． 【详解】解：A、，选项正确； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查多重符号化简．熟练掌握多重符号的化简法则，是解题的关键． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简判断即可． 【详解】A．，化简错误，不符合题意； B． ，化简正确，符合题意； C． ，化简错误，不符合题意； D． ，化简错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0． 【变式2-3】化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】根据相反数的性质即可列式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查相反数的定义与性质与一元一次方程的求解，解题的关键是熟知：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得出，， ∴ ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的知识点是相反数的定义以及求代数式的值，利用已知条件得出是解此题的关键． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 【答案】2 【分析】根据已知条件：代数式x+1和x-5互为相反数，列方程，然后即可求解． 【详解】解：∵代数式x+1和x-5互为相反数， ∴x+1=-（x-5）， 移项，得 x+x=5-1， 合并同类项，得 2x=4， 系数化为1，得 x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，解答此题的关键是根据代数式x+1和x-5互为相反数列方程，难度适中． 知识点2:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查是绝对值的概念，根据绝对值的概念，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 比小的数是， 故选：D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、相反数，负数的绝对值等于它的相反数，由此可解． 【详解】解：， 故选A． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】点与原点之间的距离即到原点的距离．本题考查了数轴，关键是掌握用绝对值求两点间距离． 【详解】解：依题意，， ∴则点A与原点之间的距离为2 故选：D． 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：＜，＜，＞ （2）∵，， ∴ ． 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得， ∴． 故答案为3． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【答案】(1)5或，1 (2)，3 (3)或5 【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到2的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此x的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）解：当时， ，去绝对值为：， ； 当时，去绝对值为：（不成立）； 当时，去绝对值为：， ， 综上，或5． 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 一、单选题 1．2024的相反数是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和1 B．和2 C．2和 D．和2024 【答案】A 【分析】本题考查的是相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的概念， 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可解答． 【详解】解：和1互为相反数， 故选A． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数a，b在数轴上的位置可知 【详解】解：从图上看出， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，以及根据数轴比较有理数的大小，熟知数轴上左边的数总是小于右边的数是解本题的关键． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案． 【详解】解：的绝对值是2． 故选：D 5．下列说法：①如果，那么a为负数；②如果，那么；③如果，那么；④如果a是负数，那么是正数．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了正负数、化简绝对值以及平方性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：如果，那么a为负数或0，故①是错误的； 如果，那么；故②是错误的； 如果，那么；故③是正确的； 如果a是负数，那么不一定是正数．例如：，故④是错误的； 故选：A． 6．下列说法中，正确的是（       ） A．整数包括正整数和负整数 B．绝对值等于它本身的数一定是0 C．具有相反意义的两个数互为相反数 D．任何有理数都有相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，掌握整数的分类，相反数的定义，绝对值的性质是解题关键．根据整式的分类，相反数的定义，绝对值的性质，可得答案． 【详解】解：A、整数包括正整数、0和负整数，故错误，不符合题意： B、绝对值等于本身的数是正数或0，故错误，不符合题意； C、只有符合不同的两个数互为相反数，故错误，不符合题意； D、任何有理数都有相反数，故正确，符合题意． 故选：D． 7．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键． 根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：， ， 故最接近标准质量的足球是B． 故选：B． 8．已知的相反数是2，的绝对值是3，则的值是（    ） A．5 B． C．5和 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值及相反数，根据题意得，，分类讨论：当时，当时，将其代入即可求解，熟练掌握绝对值的意义及相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，，即：， 当时，则， 当时，则， 综上，的值是或 故选D． 二、填空题 9．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查相反数．根据相反数的性质得，求解即可，解题的关键是熟知相反数的性质． 【详解】解：∵与互为相反数， ， 解得：， 故答案为：2． 10．已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握互为相反数的两个数和为0是解本题的关键． 11．定义运算，如．若，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 三、解答题 12．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 13．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是；直接写出最终结果) (2)写出使得成立的所有整数______； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． 【答案】(1)， (2)，，， (3) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的意义； （1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据绝对值的意义可得数轴上表示的数到与两点的距离之和为，即可求解； （3）由于所给式子表示x到和的距离之和，当x在和之间时和最小，故只需求出和的距离即可． 【详解】（1）(1)数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）结合题意可知，表示： 数轴上表示的数到与两点的距离之和为， 因为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以在与之间， 即， 所有整数为，，，， 故答案为：，，，； （3）结合题意，表示： 数轴上表示的数到与两点的距离之和，因为的点位于与之间， 所以表示的数到与两点的距离之和为与之间的距离为， 即：． 15．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为， 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义． （1）分别表示，，即可求解； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离． 【详解】（1）解：，， 点到点的距离与点到点的距离之和为， 故答案为：； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， 的最小值是， 故答案为：； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， 在时取最小值，最小值为． 16．出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$