精品解析：江西省赣州市龙南市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期未试题卷八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意； D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是(　　) A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意； B、，不能构成直角三角形，不合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 3. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，甲射击成绩的平均数是环，方差是环；乙射击成绩的平均数是环，方差是环．则下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 再各射击一次，肯定是甲的成绩好 C. 甲、乙两人的总环数不相同 D. 甲、乙成绩的众数相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解： ， 故甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故A正确，符合题意； 再各射击一次，不能肯定是甲的成绩好，故B不一定正确，故该选项不符合题意； 各射击10次，甲射击成绩的平均数是7环，乙射击成绩的平均数是7环，甲、乙的总环数相同，故C不正确，不符合题意； 由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，不符合题意． 故选：A． 4. 下列结论错误的是（ ） A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，结论正确，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论正确，不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，解题的关键是掌握它们的判定方法． 5. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，从而，求出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】由作法得，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 6. 如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和二元一次方程，判断T为的中点是解题的关键． 连接交直线于点T，先根据直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，得到T为的中点，进一步得到点T的坐标为，再根据直线与x轴交于点，列出方程组求解即可． 【详解】解：连接交直线于点T， ∵直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分， ∴点T为中点， ∵点B的坐标为， ∴点T的坐标为， 又∵与x轴交于点， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小地18分．） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 一组数据2，3，1，3，5的中位数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：一组数据2，3，1，3，5从大到小排列为：1，2，3，3，5， 排在中间的数为第三位为3， 故中位数为3， 故答案为：3． 9. 如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据函数平移的特点：上加下减，即可得到答案． 【详解】直线沿y轴向上平移2个单位所得直线的解析式为． 故答案为：． 10. 如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 11. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， ∵直角三角形的长直角边为4， ∴直角三角形的短直角边为， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积为， 故答案为：1． 12. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由点A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7， 分两种情况： （1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示： ①当A'E：A'F=1：3时， ∵A'E+A'F=BC=4， ∴A'E=1，A'F=3， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=， ∴A'（，3）； ②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）； （2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2， ∴A'F=EF=BC=2， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2， ∴A'（2，﹣2）； 故答案为（，3）或（，1）或（2，﹣2）． 考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、坐标与图形性质；3、矩形的性质 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和去绝对值，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 14. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】略 15. 一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴ 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴ ∴， 答：的面积为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 16. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1） 如图1，即为所作 （2） 如图2，四边形即为所作 【解析】 【分析】（1）连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，三角形中线等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． 17. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． （1）求，间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， 所以这辆小汽车没有超速． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可． 【小问1详解】 解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 18. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分） 教学能力 科研能力 组织能力 甲 81 85 86 乙 92 80 74 （1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用； （2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 【答案】（1）甲被录用；（2）乙被录用． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算，平均数大的将被录用； （2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答，加权平均数大的将被录用； 【详解】解：（1）甲的平均成绩为（分）； 乙的平均成绩为（分）， 因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩， 所以甲被录用； （2）根据题意，甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩， 所以乙被录用． 【点睛】本题重点考查了算术平均数和加权平均数的计算公式，希望同学们要牢记这些公式，并能够灵活运用，数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn)，加权平均数：（其中w1、w2、……wn为权数），算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数. 19. 【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，，矩形的对角线相交于点O，A我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：． （1）这一结论用文字语言阐述为：________________． （2）证明这一结论：已知：如图，在中，，是斜边边上的中线，求证：． 【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2） 证明：延长至，使得，连接，如下图， ∵为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）结合题目中的描述，即可获得答案； （2）延长至，使得，连接，然后证明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 【小问2详解】 略 20. 在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定、菱形的性质、勾股定理等知识． （1）由题意，利用证明，得到，进而得到，则问题可证； （2）连接交于点O，先求出，再由面积法得到，再用勾股定理求出，进而求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ， ∴， ∴ ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出扇形统计图中百分数的值为　　，所抽查的学生人数为　　． （2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图． （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数． （4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数． 【答案】（1），60 （2）18人 （3）7；7.2 （4）780人 【解析】 【分析】（1）用1减去其它部分所占的百分比，可求出平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，再用平均睡眠时间为9小时的人数除以其所占的百分比，可得总人数，即可求解； （2）用抽查的总人数乘以平均睡眠时间为8小时的人数所对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和平均数的意义，即可求解； （4）1200乘以睡眠不足（少于）8小时的学生数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：； 所抽查的学生人数为：人； 故答案为：，60； 【小问2详解】 解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人； 补全频数分布直方图，如下图： 【小问3详解】 解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大， ∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7， 平均数小时； 【小问4详解】 解：1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，众数，加权平均数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键． 22. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 （2）购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【小问1详解】 解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 六、解答题（本大题共12分） 23. 矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） 连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示： （2）①；②2 （3）或． 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求； （2）①根据折叠的性质直接计算即可；②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2； 【小问3详解】 解：由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期未试题卷八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是(　　) A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. ，， 3. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，甲射击成绩的平均数是环，方差是环；乙射击成绩的平均数是环，方差是环．则下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 再各射击一次，肯定是甲的成绩好 C. 甲、乙两人的总环数不相同 D. 甲、乙成绩的众数相同 4. 下列结论错误的是（ ） A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 5. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小地18分．） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 8. 一组数据2，3，1，3，5的中位数是_____． 9. 如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是_________． 10. 如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是____________． 11. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是______． 12. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 15. 一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 16. 如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作出的边上的中线； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 17. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． （1）求，间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 18. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分） 教学能力 科研能力 组织能力 甲 81 85 86 乙 92 80 74 （1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用； （2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 19. 【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，，矩形的对角线相交于点O，A我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：． （1）这一结论用文字语言阐述为：________________． （2）证明这一结论：已知：如图，在中，，是斜边边上的中线，求证：． 20. 在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出扇形统计图中百分数的值为　　，所抽查的学生人数为　　． （2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图． （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数． （4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数． 22. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． （1）如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $