精品解析： 山东省东营市垦利区（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年第二学期期末质量检测七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2. 数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 同角的余角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 面积相等的两个三角形全等 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 事件：小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．关于这个事件下列判断正确的是（ ） A. 是随机事件 B. 是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件或不可能事件 4. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 5. 如图，已知直线，点C、A分别在直线、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当点P运动至中点时，是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果） 11. 已知是二元一次方程的一组解，则m的值为____． 12. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 13. 如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____． 15. 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当_____时，． 16. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）用适当的方法解方程组：； （2）解不等式组：． 18. 某广告公司规定：设计一份广告200元，每印一份0.4元．客户小李在这个广告公司设计了一份广告，并印了若干份，平均每份的成本不高于0.5元．小李至少印了多少份？ 19. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线．请你证明这一结论． 20. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 21. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A．太空“冰雪”实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验．某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中D所对应的m＝ ； （3）若九年级共有650名学生，请估计九年级学生中对B．最感兴趣的学生大约有多少人； （4）3班被调查的学生中对A最感兴趣的有5人，其中有3名男生和2名女生，现从这5名学生中随意抽取1人进行观后感谈话，每人被抽到的可能性相同，恰好抽到男生的概率是 ． 22. 如图，一次函数的图象与正比例函数为常数，且的图象都过． （1）求点A的坐标及正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与x轴交于点，求的面积； （3）利用函数图象直接写出当时，x的取值范围． 23. 根据以下信息，探索完成任务． 奖项设置和采购方案 背景 某校为表彰在“七年级数学实践活动周”活动中表现突出的学生，准备购买一些奖品并分别设置了一等奖、二等奖和三等奖．已知买5盒水笔和3本笔记本共需130元，其中一盒水笔比一本笔记本贵10元． 材料1 材料2 本次活动的奖项设置如表： 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 人数（人） 18 30 材料3 张老师做完预算后，向财务处王老师说：“这次购买奖品共需花费1446元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买了奖品，那么钱肯定算错了．” 张老师突然想起，所做的预算中还包括活动组织者让他买的一支签字笔，已知签字笔的单价不大于10元且为整数． 问题解决 任务一 探究商品单价 请运用适当的方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务二 探究签字笔价格 请你用学过的知识求出签字笔的单价． 24. 综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． （1）如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； （2）如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末质量检测七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2. 数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 同角的余角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断真假命题，根据平行线的性质，余角、对顶角，以及全等三角形的判定注意判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、同角的余角相等，原命题是真命题，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，掌握大于折线向右是解本题的关键．由包含分界点用实心点，大于折线向右，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴1处是实心点，且折线向右． 故选：D． 3. 事件：小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．关于这个事件下列判断正确的是（ ） A. 是随机事件 B. 是必然事件 C. 是不可能事件 D. 是必然事件或不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道可能是红灯，也可能是绿灯，还可能是黄灯，是不确定的事件， ∴小明放学回家直行经过一个红绿灯路口，直行道恰好是绿灯．这是随机事件， 故选：A． 4. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 如图，已知直线，点C、A分别在直线、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角的性质可得，由平行线的性质可得，，进而得出即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ，， ， 故选：B 6. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：B． 7. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点， ∴方程组的解是， 故选：B． 8. 如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 只有选项A符合要求， 故选：A 9. 如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查基本作图——作角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，是解决问题的关键． 当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【详解】当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为2， 故选：A． 10. 如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当点P运动至中点时，是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果） 11. 已知是二元一次方程的一组解，则m的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于的方程是解此题的关键．把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 故答案为： 12. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数的计算，解题的关键是掌握频数的计算公式：频数等于频率乘以数据总数．据此解答即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 13. 如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度． 【答案】25 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____． 【答案】225 【解析】 【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和． 【详解】正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2； 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15， 则AC2+BC2＝225， 即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225． 故答案为225． 【点睛】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 15. 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当_____时，． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得要使，则，则可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵、都与地面平行， ∴， ∴， 要使，则， ∴， ∵， ∴， 即当时，， 故答案为：． 16. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）用适当的方法解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握相关的解题方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）按照解一元一次不等式组的一般步骤求解即可． 【详解】解：（1） ，得 ③， ，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解是； （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集是． 18. 某广告公司规定：设计一份广告200元，每印一份0.4元．客户小李在这个广告公司设计了一份广告，并印了若干份，平均每份的成本不高于0.5元．小李至少印了多少份？ 【答案】至少印了2000份广告 【解析】 【分析】本题主要考查了用一元一次不等式解决实际问题，设小李印了x份广告，根据题意列出关于x的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小李印了x份广告， 根据题意，得． 解得． 答：小李至少印了2000份广告． 19. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线．请你证明这一结论． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），可得结论． 【详解】证明：∵∠OMP=∠ONP=90°， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠POM=∠PON， ∴射线OP就是∠AOB的平分线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作图-复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 21. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A．太空“冰雪”实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验．某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中D所对应的m＝ ； （3）若九年级共有650名学生，请估计九年级学生中对B．最感兴趣的学生大约有多少人； （4）3班被调查的学生中对A最感兴趣的有5人，其中有3名男生和2名女生，现从这5名学生中随意抽取1人进行观后感谈话，每人被抽到的可能性相同，恰好抽到男生的概率是 ． 【答案】（1）50，见解析 （2）10 （3）195人 （4） 【解析】 【分析】本题考查求概率，样本估计总体，扇形统计图和条形统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键． （1）根据由C类别人数及其所占百分比可得总人数，求出B组人数即可补全条形统计图； （2）用D的人数除以总人数乘以即可求m； （3）用总人数乘以样本中B类别人数所占比例即可； （4）直接根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生数为（人）。 B组人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 解： ∴， 故答案为：10； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计九年级学生中对B．最感兴趣的学生大约有195人； 【小问4详解】 解：∵5人中有3名男生， ∴恰好抽到男生的概率是， 故答案为： 22. 如图，一次函数的图象与正比例函数为常数，且的图象都过． （1）求点A的坐标及正比例函数的表达式； （2）若一次函数的图象与x轴交于点，求的面积； （3）利用函数图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握． （1）将点代入一次函数解析式求出的值，然后将点坐标代入正比例函数解析式，求出的值即可得出正比例函数的表达式； （2）根据函数解析式求得点的坐标，继而求得；然后由三角形的面积公式求解即可； （3）结合函数图象即可判断时的取值范围． 【小问1详解】 将点的坐标代入， 得， 解得， 故点的坐标为， 将点的坐标代入， 得， 则正比例函数的表达式为； 【小问2详解】 在中，令，则． ． ． ； 【小问3详解】 结合函数图象可得，当时，． 23. 根据以下信息，探索完成任务． 奖项设置和采购方案 背景 某校为表彰在“七年级数学实践活动周”活动中表现突出的学生，准备购买一些奖品并分别设置了一等奖、二等奖和三等奖．已知买5盒水笔和3本笔记本共需130元，其中一盒水笔比一本笔记本贵10元． 材料1 材料2 本次活动的奖项设置如表： 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 人数（人） 18 30 材料3 张老师做完预算后，向财务处王老师说：“这次购买奖品共需花费1446元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买了奖品，那么钱肯定算错了．” 张老师突然想起，所做的预算中还包括活动组织者让他买的一支签字笔，已知签字笔的单价不大于10元且为整数． 问题解决 任务一 探究商品单价 请运用适当的方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务二 探究签字笔价格 请你用学过的知识求出签字笔的单价． 【答案】任务一：每盒水笔的价格为20元，每本笔记本的价格为10元；任务二：签字笔的单价为每支6元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（任务（任务找准等量关系，正确列出一元一次方程；（任务找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务一∶设每本笔记本的价格为元，则每盒水笔的价格为元，利用总价单价数量，结合买5盒水笔和3本笔记本共需130元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出每本笔记本的价格，再将其代入中，即可求出每盒水笔的价格； 任务二∶设签字笔的单价为元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出结论． 【详解】解：任务一∶设每本笔记本的价格为x元，每盒水笔的价格为y元， 根据题意得： ， 解得 ． 答：每盒水笔的价格为20元，每本笔记本的价格为10元； 任务二∶设签字笔的单价为n元， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数，且， ∴． 答：签字笔的单价为每支6元． 24. 综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． （1）如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； （2）如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）3或7 【解析】 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况可求出的长． 【小问1详解】 解： 在与中 故答案为： 【小问2详解】 成立． 理由如下： 因为， ． ． 在和中， ． 所以． 因为在中，， 所以． 所以，即． 所以． 【小问3详解】 当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，3或7． 【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $