精品解析：湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

武汉外国语学校2023-2024学年度下学期期末考试 高一数学试卷 命题教师：夏贤聪 审题教师：刘小博 考试时间：2024年7月1日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 2. △ABC中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，即可求解，由三角形内角和即可求解. 【详解】由正弦定理可得，故, 由于，故，故， ， 故选：A 3. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可. 【详解】因为数据，，，的方差为25， 所以另一组数据，，，的方差为， 故所求的标准差为. 故选：C 4. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 5. 正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知， 即 由正弦定理化简得 即 故选：. 【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，； （2）角化边： ①利用正弦定理：，， ②利用余弦定理： 7. 设O为△ABC的外心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的外接圆半径为，由已知条件可得,，所以，且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】 设的外接圆半径为，因为,， 所以，且， 取的中点，连接，则，因为， 所以，即， 所以, 在中由余弦定理可得：， 在中，由正弦定理得：. 故选：D 8. 高为8的圆台内有一个半径为2的球，球心在圆台的轴上，球与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球，使得球与球、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】作过的圆台的轴截面，如图1.再作过与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆.由图1.易求得. 这个问题等价于：在以为圆心、4为半径的圆上，除外最多还可放几个点，使以这些点及为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，，有. 所以，最多还可以放入个点，满足上述要求. 因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（ ） A. 从高中生中抽取了460人 B. 每名学生被抽到的概率为 C. 估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D. 估计高中学生的近视人数约为44000 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】高中生抽取人，A选项错误. 每名学生被抽到的概率为，B选项正确. 学生总人数为， 估计该地区中小学生总体的平均近视率为， C选项错误. 高中学生近视人数约为人，D选项正确. 故选：BD 10. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量等于. C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D. 【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点， 因为是的重心，所以三点共线，且， 所以，，所以，故A正确； B.在上的投影向量等于，故B错误； C.如图，因为，所以, 即，即, 因为点是的重心，，故C正确； D. 取的中点，连结，取中点，则，， , 则， , 显然当重合时，，取最小值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点F的轨迹的线段为 C. 三棱锥的体积为 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH；选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为H到平面的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以//平面，同理可得：//平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH， 其长度为，故B错误； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为H到平面的距离，过点B作， 因为平面，平面，所以，又， 平面，所以平面， 所以，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且， 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得. 综上，可知长度的取值范围是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C，D选项关键是找到临界点，求出临界值. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数表示纯虚数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和复数的分类要求得出参数值； 【详解】因为复数表示纯虚数， 所以解得， 故答案为：. 13. 定义集合，则从A中任选一个元素，它满足的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求解符合条件的，即可利用古典概型的概率公式求解. 【详解】当时，，有2025种选择， 当时，，分别有2025种选择， 因此从A中任选一个元素，共有种选择， 若，则，此时由得，此时可取0，1，2， 若或3，则，此时由得，此时可取0，1，2，3， 若，则，此时由得，此时可取0，1，2，3，4， 综上可得满足的共有种情况， 故概率为 故答案为： 14. 在和中， 是的中点， ，若，则与的夹角的余弦值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意有： ,即，而，据此可得： ，即， 设与的夹角为，则. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求n和乙样本直方图中a的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 【答案】（1），； （2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为； （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出，由乙样本数据直方图能求出； （2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数； （3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在中抽取的2名学生分别记为，，从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，，利用列举法能求出这两人分数都在中的概率． 【小问1详解】 解：由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则， 解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； 【小问2详解】 解：甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为， ， 解得，所以乙样本数据的第75百位数为， 即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为； 【小问3详解】 解：由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，， 从分数在中抽取的4名学生分别记为，，，， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个， 即这两人分数都在中的概率为． 16. （建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线BC和平面所成角的正弦值的大小． 【答案】（1） 连接，交于点，连接，则为的中点，因为是的中点，所以， 又平面，平面，所以∥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线的性质，可知，再由线面平行的判定定理，得证； （2）过点作于点，连接，可证平面，从而知即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，连接，因为四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，因为是正三角形，且是的中点，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以， 又，平面，所以平面，所以就是直线和平面所成角， 设，在中，，所以，在中，. 17. 甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球. （1）求该局打4个球甲赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； （2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率. 【小问1详解】 设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题知，，，则， 所以， 所以该局打4个球甲赢的概率为. 【小问2详解】 设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，， 所以， ， 所以， 所以该局打5个球结束的概率为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题干及余弦定理可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由题可得为等边三角形，，在与中，分别由正弦定理求出，，根据三角形面积公式可得，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由及可知为等边三角形. 又因为，，所以.    在中，，由正弦定理可得，即. 在中，，由正弦定理可得，即. 所以. 因为 ， 因为，所以，所以， 所以. 所以，所以， 所以. 所以的取值范围为. 19. （建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． （1）若面ABCD，，，求证：； （2）若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，在中，， 则，，所以，，由，，所以， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）问题转化为证明平面，即证明和，转化为证明平面， 而则只需证明 （2）作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，列出的表达式，最后把问题转化为函数最值问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过点作，因为为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即，，又因为， 所以，由可得，， 设，，则，， 所以，当且仅当时等号，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，然后写出的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉外国语学校2023-2024学年度下学期期末考试 高一数学试卷 命题教师：夏贤聪 审题教师：刘小博 考试时间：2024年7月1日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. △ABC中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 4. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设O为△ABC的外心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 高为8的圆台内有一个半径为2的球，球心在圆台的轴上，球与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球，使得球与球、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（ ） A. 从高中生中抽取了460人 B. 每名学生被抽到的概率为 C. 估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D. 估计高中学生的近视人数约为44000 10. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量等于. C. D. 的最小值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点F的轨迹的线段为 C. 三棱锥的体积为 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数表示纯虚数，则________． 13. 定义集合，则从A中任选一个元素，它满足的概率是________． 14. 在和中， 是的中点， ，若，则与的夹角的余弦值等于__________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求n和乙样本直方图中a的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率． 16. （建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线BC和平面所成角的正弦值的大小． 17. 甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球. （1）求该局打4个球甲赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 19. （建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． （1）若面ABCD，，，求证：； （2）若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $