精品解析：山西省晋中市榆次区第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年榆次二中高二（下）期末数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 与具有正线性相关关系 B. 回归直线过样本点中心 C. 若该中学某女生身高，则可断定其体重必为 D. 若该中学某女生身高增加，则其体重约增加 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有6个实数解 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数 的递增区间是 B. 使得，若命题为真命题，则 C. 若对任意实数都有 成立，则是奇函数 D. 已知，则解析式为 11. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ） A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占 B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内 D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加 三､填空题：本题共3小题，每小题，6分，共15分. 12. 函数，则______. 13. 二项式的展开式中常数项为______．（用数字作答） 14. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.15题13分，16，17题个15分，18，19题17分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知集合，集合. （1）当a=1时，求，； （2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16. 化简求值： （1）； （2）． 17. 当今社会，以信息化、网络化，智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化时代的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少了制造领域对劳动力的需求. 某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机器人，需要有一名职工下岗）.据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润万元（为机器人台数且）. （1）写出工厂的年利润与购进智能机器人台数的函数关系； （2）为使工厂获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？（参考数据：） 18. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式． 19. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数 （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，]. （3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年榆次二中高二（下）期末数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 又因为，所以， 所以． 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将全称命题否定为特称命题即可 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：D 3. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，即，解得或， 所以由可以推出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 与具有正线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为 D. 若该中学某女生身高增加，则其体重约增加 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程一一判断即可. 【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A正确； 又回归直线必过样本点的中心，故B正确； 当时， 即若该中学某女生身高为，则其体重约为，故C错误； 因为回归直线方程为，所以若该中学某女生身高增加， 则其体重约增加，故D正确； 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数的性质判断即可. 【详解】因，又，在上单调递减， 所以，所以. 故选：B 6. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可． 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种， 所以， 则， 故选：B． 7. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出定义域，由得到为偶函数，结合函数在上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案. 【详解】变形为，定义域为， ，故为偶函数，关于y轴对称． 当时，，时，，排除BC， 又时，，故排除D，A正确. 故选：A． 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确. 【详解】因为为奇函数，所以，则关于对称，即， 又为偶函数，所以，则关于对称，即， 所以，则，故， 所以，即，故， 所以的周期为8， 又当时，， 所以，故A正确； 由周期性知：， 所以，从而为奇函数，故B正确； 由题意，在与上单调性相同，而上递增， 关于对称知：上递增，故上递增， 所以在上是增函数，故C错误； 的根等价于与交点横坐标， 根据、对数函数性质得：，， 所以如图示函数图象：函数共有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确． 故选：C 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】作差法判断A、B；特殊值法判断C；由基本不等式易知，再根据对数性质判断D. 【详解】A：，则，正确； B：，则，正确； C：当时，，错误； D：由（注意等号取不到），则，正确. 故选：ABD 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数 的递增区间是 B. 使得，若命题为真命题，则 C. 若对任意实数都有 成立，则是奇函数 D. 已知，则的解析式为 【答案】BC 【解析】 【分析】 对于A，两个相同的单调区间之间不能用并集符号，从而可判断A；对于B，若命题为真命题，则小于等于函数在上的最大值，从而可判断；对于C，赋值法先求出，然后再令，化简可得结果；对于D，没注明函数的定义域 【详解】解：对于A，因为函数在内的函数值反而比在的函数值小，所以函数的两个递增区间之间用和连接，不能用并集符号，所以A错误； 对于B，若命题为真命题，则小于等于函数在上的最大值，所以，所以B正确； 对于C，令，则，所以，令，则，所以，所以是奇函数，所以C正确； 对于D，由题意可知函数的定义域为，没注明定义域，所以D错误， 故选：BC 【点睛】此题考查函数的奇偶性的判断，考查函数解析式的求法，考查不等式能成立问题，属于基础题 11. 某校为了了解学生身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ） A. 该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占 B. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C. 该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内 D. 相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据饼状图和条形图对四个选项逐个计算可得答案. 【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确. 由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为， 则2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为， 因，故 B正确； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，故C错误； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占， 届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，因为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题，6分，共15分. 12. 函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由解析式先求，再求即得. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 13. 二项式的展开式中常数项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，（且）， 令，得， 可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围. 【详解】当时，， 由于为对称轴为开口向下的二次函数， ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 可得在上单调递减，在上单调递增，， 在上的值域为，在上的值域为， 在上的值域为， ， 故当， 在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为， ，解得，故的范围是； 当时，为单调递减函数，在上的值域为， ，解得故的范围是， 综上可知故的范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分.15题13分，16，17题个15分，18，19题17分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当a=1时，求，； （2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解. (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当a=1时，，， 所以，. 【小问2详解】 因为a>0，则，由(1)知，， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. 化简求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 当今社会，以信息化、网络化，智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化时代的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少了制造领域对劳动力的需求. 某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机器人，需要有一名职工下岗）.据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润万元（为机器人台数且）. （1）写出工厂的年利润与购进智能机器人台数的函数关系； （2）为使工厂获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）时，工厂的利润=总创利-成本，依题意可列出对应的等量关系；时，； （2）根据二次函数以及对数函数的单调性分别求出每种情况下的利润，比较大小即可得出结果. 【详解】（1）当购进智能机器人台数时， 工厂的利润 ， ∴. （2）由（1）知，时，， 时，， 当时，为增函数， ， 综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大效益，最大利润为8205万元. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，根据题意找出等量关系，得出对应函数解析式，再对函数研究即可，属于基础题型. 18. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得； （2）根据单调性定义证明即可； （3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域． 【小问1详解】 解：是定义在上的奇函数， ， ， 又由， ∴ ． ， ∴奇函数， 故符合题意，为所求解． 【小问2详解】 解：在区间上为增函数． 证明：设． 而， 由， 得， ， 即， ． 故函数在上为增函数． 【小问3详解】 解：由函数为奇函数且在上为增函数知： ， ， 解得：． 故不等式的解集为． 【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域． 19. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数 （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，]. （3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值. 【答案】（1）70 （2）0.8186 （3）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值； （2）分析易知，，而正品概率，然后结合参考数据即可得解； （3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， . 【小问2详解】 由题意可知，样本方差，故，所以， 该厂生产的产品为正品的概率： . 【小问3详解】 X所有可能值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以的分布列为 数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $